Explorador do teorema central do limite

Isso acontece porque tirar a média é essencialmente uma convolução repetida, e convoluir uma distribuição consigo mesma o suficiente suaviza suas particularidades — a assimetria e os picos multimodais decaem mais rápido do que a dispersão, de modo que o que resta se parece cada vez mais com uma gaussiana, independentemente do ponto de partida. O único requisito real é uma variância finita; uma fonte uniforme, uma exponencial e uma bimodal de dois picos são todas atraídas para a mesma curva em sino ao promediar sorteios suficientes, só que em velocidades diferentes — por isso n=30 se tornou a regra empírica informal da estatística, e não um limiar exato.

À medida que você continua a extrair, o histograma das médias não só fica mais suave: fica mais estreito. Sua dispersão é o erro padrão σ/√n, de modo que a precisão melhora apenas com a raiz quadrada do tamanho da amostra — para reduzir a largura à metade é preciso quadruplicar n. Esse é o cerne prático do teorema: amostras maiores fixam a média com mais exatidão, mas com retornos cada vez menores.

O teorema pressupõe silenciosamente uma variância finita, e um famoso fora da lei a viola: a distribuição de Cauchy, a razão entre duas normais padrão. Calcule a média de um milhão de extrações de Cauchy e o resultado segue exatamente a mesma curva de Cauchy de uma única extração — o sino nunca surge e mais dados não servem de nada. Suas caudas são tão pesadas que um único valor monstruoso pode dominar qualquer média, por maior que seja.