Explorador do teorema central do limite

observe as médias amostrais assumirem forma de sino

Valores iniciais — Explorador do teorema central do limite

Distribuição de origem	Uniforme
Tamanho da amostra (n)	30
Velocidade automática	12
Classes do histograma	34
Taxa exponencial	1
Separação bimodal	2

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

Por que as médias se tornam normais mesmo a partir de fontes estranhas 🖖

As médias aproximam-se da normal porque calcular médias sucessivas equivale a repetir convoluções, salvo uma mudança de escala, e a convolução reiterada de uma distribuição consigo própria acaba por suavizar as suas irregularidades. Depois de eliminar o efeito da largura por reescalamento, a assimetria e os picos vão diminuindo, mas a dispersão mantém-se; por isso, o resultado parece cada vez mais gaussiano, seja qual for a distribuição de partida. A única condição essencial é que a variância seja finita. Uma distribuição uniforme, uma exponencial e uma bimodal com dois picos tendem todas para a mesma curva em forma de sino, embora a ritmos diferentes. Foi assim que n = 30 se tornou uma regra prática informal da estatística, e não um limiar exato.

A lei da raiz quadrada por trás do estreitamento 🖖

À medida que você continua a extrair, o histograma das médias não só fica mais suave: fica mais estreito. Sua dispersão é o erro padrão σ/√n, de modo que a precisão melhora apenas com a raiz quadrada do tamanho da amostra — para reduzir a largura à metade é preciso quadruplicar n. Esse é o cerne prático do teorema: amostras maiores fixam a média com mais exatidão, mas com retornos cada vez menores.

A distribuição que quebra o teorema 🖖

O teorema pressupõe silenciosamente uma variância finita, e um famoso fora da lei a viola: a distribuição de Cauchy, a razão entre duas normais padrão. Calcule a média de um milhão de extrações de Cauchy e o resultado segue exatamente a mesma curva de Cauchy de uma única extração — o sino nunca surge e mais dados não servem de nada. Suas caudas são tão pesadas que um único valor monstruoso pode dominar qualquer média, por maior que seja.

Problema resolvido na íntegra

A regra n = 30 para uma fonte uniforme em [0, 1] 5 passos
Sobre o que é na realidade a regra n = 30? Este é o estado predefinido: uma fonte Uniforme em [0, 1] com dimensão da amostra n = 30.
1. A fonte uniforme é plana em [0, 1], pelo que a sua média se situa no ponto médio e a sua variância é o segundo momento menos o quadrado dessa média. Todos os números apresentados abaixo decorrem deste valor.
  
  $μ = \frac{1}{2}, σ^{2} = \int_{0}^{1} x^{2} d x - μ^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}, σ = \frac{1}{12} = 0.288675$
2. O erro padrão decorre da variância e de mais nada. Não necessita que a fonte seja simétrica, nem em forma de sino, nem que n seja grande — a fórmula é exata quer para n = 1 quer para n = 30, e o único facto de que se serve é que as variâncias de grandezas independentes se somam.
  
  $σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = \frac{0.288675}{30} = \frac{0.288675}{5.477226} = 0.052705$
3. Portanto, a largura nunca foi assunto do teorema. A forma é que é, e a medida padrão de uma assimetria é o coeficiente de assimetria. Os terceiros momentos centrais somam-se para extrações independentes tal como as variâncias, e a assimetria é construída para resistir a uma alteração de escala do eixo, pelo que juntar ambas as propriedades faz com que a assimetria da média diminua segundo 1/√n.
  
  $μ_{3} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = n μ_{3}, σ (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = σ n ⟹ γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{n μ _{3}}{( σ n ) ^{3}} = \frac{γ _{1}}{n}$
4. As fontes da ferramenta partem de assimetrias muito diferentes. Uma fonte uniforme não tem assimetria a perder, pelo que a sua média amostral é simétrica para todo o n, n = 1 incluído; uma fonte exponencial começa com uma assimetria de 2 e continua inclinada à direita para n = 30.
  
  $U (0, 1) : γ_{1} = 0 \Rightarrow γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = 0 \forall n; Exp (1) : γ_{1} = 2 \Rightarrow \frac{2}{30} = 0.3651$
5. Aplique a mesma relação no sentido inverso para uma assimetria suficientemente pequena para ser ignorada.
  
  $\frac{2}{n} \leq 0.1 ⟹ n \geq 400$
Resposta

A tabela apresenta uma média da distribuição de partida igual a 0,5 e um erro-padrão de 0,052705; para reproduzir estes valores, bastou usar a variância 1/12. Os últimos três passos esclarecem que esta linha não resulta do teorema: o erro-padrão é exato para qualquer n e qualquer distribuição com variância finita. O aumento de n melhora a forma.

A distribuição uniforme já é simétrica, pelo que elevar n para 30 não reduz a sua assimetria. Neste exemplo predefinido, a regra prática de n = 30 não acrescenta nada. Com uma distribuição exponencial e n = 30, a assimetria ainda é 0,365; para a reduzir a menos de 0,1, é necessário n = 400.

A distribuição bimodal parece a menos normal das três, mas converge quase tão depressa como a uniforme. Também é simétrica, logo a sua assimetria vale 0 para todo o n. A curtose em excesso, inicialmente −1,28, diminui proporcionalmente a 1/n e chega a −0,043 quando n = 30, enquanto a da uniforme é −0,040. Nenhum destes três valores aparece numa linha da tabela, por isso a convergência só pode ser observada no histograma.

$σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = 0.052705, γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{1}}{n}, γ_{2} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{2}}{n}$

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Conduz a Valor z o motivo pelo qual essa curva continua a aparecer quando nada é binomial.

Referências (1)

Insight block 3 — why averaging Cauchy draws returns the same Cauchy curve: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd ed., ch. VI and XVII. Wiley, 1971. ISBN 978-0-471-25709-7 — stable laws, and the finite-variance condition the central limit theorem actually needs.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

uniforme, n=5 - Uma distribuição uniforme em [0, 1] tem desvio-padrão 0,2887, pelo que a média de 5 observações tem erro-padrão 0,129. O histograma já é simétrico, pois uma distribuição uniforme não tem assimetria a perder. Com n = 5, ainda falta concentração; a forma já está correta.
uniforme, n=30 - Multiplicar o tamanho da amostra por 6 melhora a precisão por um fator √6: o erro-padrão desce de 0,129 para 0,0527. Como a forma nunca foi um problema para uma distribuição uniforme, a regra prática de n = 30 não tem efeito neste caso predefinido.
exponencial, n=30 - Esta distribuição apresenta uma forte assimetria à direita, com valor 2. Uma amostra de 30 observações divide esse valor por √30, deixando uma assimetria de 0,365, ainda visível no histograma. Para a reduzir a menos de 0,1, seria necessária uma amostra de 400.
bimodal, n=30 - Tem dois picos e converge quase tão depressa como a distribuição uniforme. Por ser simétrica, a sua assimetria é 0 para todo o n. A curtose em excesso, inicialmente −1,28, diminui proporcionalmente a 1/n, e não a 1/√n, chegando a −0,043 com 30 observações.