Ruína do jogador

Um jogador aposta até ficar sem fichas ou atingir o saldo pretendido. Comece por enfrentar um adversário rico. Depois, passe à roleta e varie o valor da aposta, de uma ficha a tudo o que tem.

Exemplo resolvido — Ruína do jogador

Vantagem da casa por ficha apostada	0,00%
Probabilidade de atingir 1.010	0,9901%
Probabilidade de ficar sem fichas	99,0099%
Número esperado de apostas, E(T)	10.000,0
Total esperado de fichas apostadas, E(S)	10.000,0
Perda esperada, calculada pelo resultado	0,00
Perda esperada, calculada pelas apostas	0,00
Aposta até à qual metade dos jogadores termina	220

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Ruína do jogador

A ruína do jogador é o problema de um jogador que começa com a fichas e faz apostas independentes, cada uma com probabilidade p de vitória, até ficar sem fichas ou atingir o objetivo N. Apostando uma ficha de cada vez, a probabilidade de atingir N é (1 − r^a)/(1 − r^N), com r = q/p, ou a/N quando p = ½. O número esperado de apostas é a/(q − p) − (N/(q − p))·P(atingir N), ou a(N − a) quando p = ½. Qualquer que seja a estratégia, a perda esperada é o produto da vantagem da casa, q − p, pelo total esperado de fichas apostadas.

O que significa cada símbolo

a: o número de fichas com que começa
N: o objetivo; o adversário tem N − a
p: a probabilidade de ganhar uma aposta cujo lucro iguala o valor apostado, com q = 1 − p
T: o número de apostas ao longo da noite
S: o total de fichas apostadas durante a noite, contando uma vez o valor de cada aposta

Pressupõe: Cada aposta ganha dá um lucro igual ao valor apostado e é independente da anterior. Uma aposta perdida custa todo o valor apostado, mesmo quando sai o zero. Só se apostam números inteiros de fichas, e o jogador só para ao chegar a 0 ou a N.

Um jogo justo pode arruiná-lo contra um adversário mais rico 🖖

Carregue em 10 fichas contra 1 000. Cada lançamento é justo e nada nesta página favorece qualquer dos lados. O resultado médio de todos os jogadores é exatamente zero. Por isso, a linha tracejada mantém-se nas 10 fichas, enquanto os jogadores por baixo dela vão ficando sem nada. É a essa média que se refere a justiça do jogo. A sua probabilidade de ganhar as 1 000 fichas do adversário é 10/1 010 = 0,9901%. Os 99,0099% que ficam sem fichas compensam os poucos que ganham: se 1 jogador em 101 regressar com 1 010, a média mantém-se em 10. A duração da noite é tão desigual como a distribuição das fichas. Metade dos jogadores termina até ao lançamento 220, mas a média é de 10 × 1 000 = 10 000 lançamentos, elevada pelas raras trajetórias que se prolongam muito. Nenhuma estratégia altera os 0,9901%: num jogo justo, a probabilidade de atingir N é sempre a/N, o valor da coluna da direita. O jogo ousado muda a duração da noite e o total apostado, mas mantém a probabilidade de sucesso e o resultado médio. Contra um adversário com recursos ilimitados, a ruína é certa. Grinstead e Snell obtêm esse resultado fazendo N tender para infinito em 1 − a/N. Além disso, a probabilidade de atingir N a partir de x fichas é a média aritmética das probabilidades a partir de x − 1 e x + 1. É a mesma regra que determina a temperatura de uma placa na <a href="/math/laplace-equation">equação de Laplace</a>.

A vantagem da casa incide sobre cada ficha apostada 🖖

Carregue em Duplicar 100, uma a uma. Na roleta europeia, o vermelho dá um lucro igual à aposta e sai 18 vezes em 37. Cada ficha apostada perde, por isso, 1/37 = 2,70% em média. É natural interpretar isto como «uma noite custa-me cerca de 2,7% do que levo». A linha tracejada mais ténue assinala o saldo que resultaria desse desconto: 97,30 fichas. A média de todos os jogadores acaba abaixo de uma ficha. Para tentar chegar às 200 com apostas de uma ficha, a noite dura, em média, 3 666,9 apostas. Cada uma põe uma ficha em jogo, e 1/37 de 3 666,9 é 99,11. Esta é a perda esperada. O cálculo pelo saldo final dá exatamente o mesmo: 100 − 200 × P(atingir 200). A tabela de resultados apresenta os dois cálculos. Agora carregue em Duplicar 100 de uma vez. Aposta 100 uma única vez, a vantagem da casa custa-lhe 2,70 e a probabilidade de duplicar é 18/37 = 48,6486%. Apostando uma ficha de cada vez, seria 0,4466%. Quando todas as apostas são desfavoráveis ao jogador, nenhuma estratégia atinge o objetivo com maior probabilidade do que o jogo ousado: apostar tudo o que se tem ou apenas o que falta para lá chegar. Kyle Siegrist demonstra-o no seu manual de acesso livre Random, num capítulo baseado no livro de Lester Dubins e Leonard Savage de 1965, How to Gamble If You Must. O preço do jogo ousado é a duração da noite: uma só jogada em vez de 3 666,9.

Apostando uma ficha de cada vez, quanto mais levar, menos provável é duplicar 🖖

Carregue em Duplicar 10, uma a uma: 36,8031%. Percorra depois a tabela. Com 50 fichas, a probabilidade de duplicar é 6,2775%; com 100, é 0,4466%; com 1 000, é 3,30×10⁻²²%. O jogo ousado mantém-se nos 48,6486%, qualquer que seja o saldo inicial. Mais fichas permitem jogar durante mais tempo. Esse tempo tem um custo, pois a vantagem da casa incide sobre cada aposta adicional. Quando o objetivo é duplicar, a fórmula reduz-se a uma expressão curta e exata: a razão entre as probabilidades de fracasso e de sucesso é (19/18)^a para 1. Cada ficha adicional no saldo inicial, mantendo o objetivo de o duplicar, multiplica essa razão por 19/18. Para 100 fichas, são 222,9 para 1. Abraham de Moivre deduziu a fórmula geral em 1711 com um artifício que Grinstead e Snell descrevem: atribuir a cada ficha um valor nominal que cresce pelo fator q/p. Medido nesses valores, o jogo desfavorável torna-se justo. Carregue em O segundo zero para ver como uma pequena alteração pesa no resultado. A casa adicional da roleta americana quase duplica a vantagem da casa, de 2,70% para 5,26%. Duplicar 100 fichas apostando uma de cada vez torna-se cerca de 168 vezes menos provável: 0,002656% em vez de 0,4466%. Com jogo ousado, a probabilidade desce apenas de 48,6486% para 47,3684%. O passo seguinte, o sistema de apostas em martingala, procura contornar precisamente esta dificuldade: começar com uma aposta pequena e duplicá-la após cada perda.

Problema resolvido na íntegra

Uma num milhão 4 passos
Apostando uma ficha de cada vez no vermelho, com quantas fichas precisa de começar para que a probabilidade de as duplicar desça a 1 em 1 000 000? Comece por carregar em Duplicar 100, uma a uma: a página mostra a probabilidade para 100 fichas.

Abrir este problema na ferramenta
1. Para 100 fichas na roleta europeia, a página dá:
  
  $P = \frac{1 - r ^{100}}{1 - r ^{200}} = 0.004466, r = \frac{q}{p} = \frac{19}{18}$
2. Quando o objetivo é duplicar o saldo inicial, N = 2a, a fração simplifica-se, pois 1 − r^2a = (1 − r^a)(1 + r^a). Para 100 fichas, r¹⁰⁰ = 222,90:
  
  $\frac{1 - r ^{a}}{1 - r ^{2 a}} = \frac{1}{1 + r ^{a}} : \frac{1}{1 + 222 . 90} = 0.004466$
3. Iguale a probabilidade ao valor pedido e resolva em ordem a a:
  
  $\frac{1}{1 + r ^{a}} = 1 0^{- 6} \Rightarrow a = \frac{ln 999 , 999}{ln ( 19/18 )} = \frac{13 . 8155}{0 . 054067} = 255.52$
4. O número de fichas tem de ser inteiro. Verifique os inteiros imediatamente abaixo e acima:
  
  $a = 255 : 1.03 \times 1 0^{- 6}, a = 256 : 9.75 \times 1 0^{- 7}$
Resposta

256 fichas na roleta europeia. Com 255, a probabilidade é de 1,03 por milhão; com 256, é de 0,975 por milhão. Na roleta americana, r = 20/18 e o mesmo cálculo dá 131,1, pelo que são necessárias 132 fichas. Com jogo ousado, a probabilidade de duplicar é 48,65% na roleta europeia e 47,37% na americana, para qualquer destes saldos iniciais. Escolha 256 e 512 na página e varie o valor da aposta para comparar as duas estratégias.

$a = 256 (r = \frac{19}{18}), a = 132 (r = \frac{20}{18})$

Percurso de aprendizagem

Jogos justos que te levam à ruína

Referências (3)

The gambler's ruin problem and its formula for the chance of ruin, the limit against an "infinitely rich" adversary (ruin with probability tending to 1 in a fair game, which the first insight quotes), and de Moivre's 1711 derivation by giving the counters nominal values (q/p)^k so that the unfair game becomes fair, which the third insight retells: C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006, freely redistributable under the GNU Free Documentation License. Section 12.2, Gambler's Ruin, pp. 486–490.
Timid play (a constant bet until ruin or the target) with its probability of winning f(x) = ((q/p)^x − 1)/((q/p)^a − 1), or x/a when p = 1/2, and its expected number of games g(x) = x/(q − p) − (a/(q − p)) f(x), or x(a − x); that larger constant bets help in an unfair game and make no difference in a fair one; bold play's functional equation F(x) = pF(2x) or p + qF(2x − 1), its binary-digit sum, the table F(k/8) and G(k/8), and that for p = 1/2 bold play reaches the target with probability x/a, as timid play does. The page's formulas are these, and check:compute holds its bold-play solver to the binary-digit sum and to the table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance: §9 Red and Black, §10 Timid Play, §11 Bold Play.
Bold play is optimal when the trials are unfair (p ≤ 1/2), proved through the sufficient condition pV(x + y) + qV(x − y) ≤ V(x); bold play is not the only optimal strategy; and the chapter's own statement that its exposition 'is based primarily on' Dubins and Savage. The second insight cites both through this page, and check:compute applies the same condition to every whole-chip bet in the page's table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance, §12 Optimal Strategies; the chapter is based on L. E. Dubins and L. J. Savage, Inequalities for Stochastic Processes (How to Gamble If You Must), 1965.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.