O critério de Kelly

Prima Apostar tudo. A moeda dá-lhe a vitória em 60% dos lançamentos e o ganho é igual à aposta, pelo que cada aposta rende, em média, 20% do valor apostado. Apostar tudo de cada vez leva o capital médio ao maior valor possível: 1,2¹⁰⁰ = 8,28×10⁷ vezes o inicial após 100 apostas. Essa média assenta num único resultado: ganhar as 100 apostas, com probabilidade 0,6¹⁰⁰ = 6,53×10⁻²³. Todos os outros apostadores ficam sem dinheiro, tal como os 200 desta simulação. John Kelly escreveu em 1956 que um apostador assim «ficaria arruinado com probabilidade um se continuasse indefinidamente». Apostar menos não resolve, por si só, o problema. Prima Dobro de Kelly, com 40% do capital em cada aposta: após 100 apostas, a média é 2 199,76, a mediana é 0,78 e 53,8% dos apostadores têm menos do que tinham ao começar. O <a href="/stat/martingale-betting">sistema de duplicação da aposta</a> apresentava a situação inversa: uma média que perde, composta por sessões em que quase todos ganham.

No gráfico superior, a linha fantasma tracejada representa o logaritmo do fator de crescimento da média, ln(1 + 0,2f), e sobe sempre que aumenta a fração apostada. A curva contínua é g(f) = 0,6 ln(1 + f) + 0,4 ln(1 − f), a taxa a que o capital de um apostador cresce, aposta após aposta, com probabilidade um. Atinge o máximo na fração de Kelly, 0,200, e volta a zero em 0,3894, ou seja, 1,947 vezes Kelly. Nesse ponto, cada aposta ainda rende, em média, 7,79% do capital. Acima dessa fração, o capital do apostador tende para zero com probabilidade um, por mais favorável que seja cada aposta; Edward Thorp enuncia este resultado na alínea (ii) do seu primeiro teorema sobre o tema. Quando o ganho é igual à aposta, o crescimento anula-se antes do dobro de Kelly, seja qual for a probabilidade de ganhar. Prima Dobro, 1 000 apostas: o capital médio é 2,65×10³³ e a mediana é 0,0866. Perto de f = 0, a distância entre as duas curvas é aproximadamente metade da variância do retorno de uma aposta. É a penalização de metade da variância que a lição sobre quedas desde o máximo e penalização pela volatilidade mede em carteiras reais; na fração de Kelly, já é quase tão grande como o próprio crescimento.

Prima Metade de Kelly. Apostar 0,1 do capital em vez de 0,2 reduz cada aposta a metade e conserva 74,7% da taxa de crescimento, porque g(f) tem tangente horizontal no máximo: afastar-se um pouco desse ponto custa pouco. A tabela mostra o benefício dessa redução: após 100 apostas, a probabilidade de ficar abaixo do capital inicial desce de 17,9% para 6,4%. Continua a valer o resultado de Kelly: o seu apostador «acabará, com probabilidade um, por passar à frente e manter-se à frente» de qualquer apostador que use outra fração fixa. Mas isso pode demorar. Com os mesmos 100 resultados, quem usa Kelly termina à frente de quem usa metade de Kelly em 69,7% dos casos; após 1 000 apostas, em 94,3%. Segundo Thorp, metade de Kelly conserva três quartos do crescimento e, quando o ganho é igual à aposta, nunca conserva mais do que isso. Foi Claude Shannon quem lhe deu a conhecer o artigo de Kelly, no MIT, em 1960. Thorp aplicou o critério nas mesas de blackjack e apresentou-o aos apostadores em Beat the Dealer, em 1962, observando que, na prática, a fração apostada costuma ser reduzida. A fração de Kelly também maximiza a esperança matemática do logaritmo do capital, a medida que Daniel Bernoulli propôs a propósito do jogo de São Petersburgo.