Equação de Laplace: uma placa em estado estacionário

Defina as quatro bordas de uma placa quadrada e escolha um ponto. A página determina a temperatura estacionária nesse local de três maneiras: pela série de Fourier, por uma malha relaxada varredura a varredura a partir do frio, e por caminhantes aleatórios iniciados no ponto, contando por onde saem.

Exemplo resolvido — Equação de Laplace: uma placa em estado estacionário

O seu erro padrão	0,35
Passos que um caminhante deu, em média	91,6
A estimativa de uma chapa, ignorando os lados	75,00

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Equação de Laplace: uma placa em estado estacionário

A equação de Laplace, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, é válida para a temperatura de um corpo uniforme sem fontes de calor no seu interior, depois de este ter estabilizado: o calor entra por alguns locais e sai por outros, mas nenhum ponto ganha nem perde calor. As suas soluções, as funções harmónicas, possuem a propriedade do valor médio: o valor em qualquer ponto é igual à média sobre qualquer círculo em torno dele que pertença à região. Numa malha, a equação converte-se na regra em que cada ponto é a média dos seus quatro vizinhos. Trata-se do primeiro problema que Fourier resolve com a sua série na Teoria Analítica do Calor (1822): uma placa de comprimento infinito, com uma extremidade mantida à temperatura da água a ferver e ambos os lados à do gelo, no seu estado final e inalterável.

O que significa cada símbolo

u: a temperatura estacionária, °C
T: a temperatura fixa de uma borda: T_t, T_r, T_b, T_l para o topo, direita, base e esquerda
N: o número de quadrados da malha ao longo de um lado; o espaçamento da malha é 1/N do lado
W: o número de caminhantes iniciados em P

A temperatura num ponto é a probabilidade de vaguear até à borda quente 🖖

Pressione Topo quente, P a 3/4. A série coloca P a 54,05 °C. Agora esqueça a placa e faça um jogo: comece em P, dê um passo para um dos quatro pontos vizinhos da malha com igual probabilidade, e continue até atingir uma borda. De 20.000 caminhantes, 10.825 alcançam primeiro o topo, portanto 54,13% dos caminhantes terminam a 100 °C e os restantes a 0, o que dá uma média de 54,13 ± 0,35. Na malha, a concordância é exata e não aproximada: a probabilidade de terminar no topo obedece à mesma regra da temperatura, onde cada ponto é a média dos seus quatro vizinhos com os mesmos valores nas bordas, e os 53,98 da malha representam precisamente essa probabilidade até ao último dígito. Os caminhantes descobrem a temperatura de P sem calcular a de mais nenhum ponto. As barras fora da placa mostram por onde saíram: a maioria fá-lo perto do meio da borda superior, que é a mais próxima.

Cada ponto é a média de qualquer círculo à sua volta 🖖

Mantenha-se em Topo quente, P a 3/4 e observe o círculo verde. O seu topo encontra-se a 89,97 °C e a sua base a 29,46, e a meio caminho entre eles temos 59,71. A média de todo o círculo é 54,05, a própria temperatura de P, e este valor mantém-se em 54,05 para qualquer círculo em torno de P que caiba na placa. A regra da malha, em que cada ponto é a média dos seus quatro vizinhos, é apenas esta mesma propriedade na sua forma mais pequena. Isto traz uma consequência que pode verificar arrastando P para qualquer lado: nenhum ponto no interior pode ser mais quente que todos os pontos à sua volta, pelo que os lugares mais quentes e mais frios da placa situam-se sempre nas suas bordas. É também esta propriedade do potencial elétrico que impede que qualquer arranjo de cargas fixas mantenha outra carga em equilíbrio estável no espaço vazio, assunto que o Visualizador de Campo Elétrico explora.

Relaxar uma placa é calor a fluir, pelo que uma malha duas vezes mais fina leva quatro vezes mais varreduras 🖖

Pressione O centro em 10 × 10, depois Topo quente, P no centro e a seguir O centro em 40 × 40. O centro chega a 0,1 °C de 25 após 120, 485 e 1.945 varreduras. Substituir cada valor pela média dos seus vizinhos é exatamente um passo no tempo da equação do calor, o maior passo que essa malha consegue dar sem se tornar instável. Por isso, uma varredura de Jacobi é apenas uma versão congelada no tempo da placa a arrefecer e herda a lentidão inerente ao calor: reduza o espaçamento para metade e cada passo abrangerá um quarto do tempo, pelo que o mesmo arrefecimento exigirá quatro vezes mais passos. Os caminhantes pagam o mesmo preço. A sua viagem média até uma borda é de 29,5, 118,0 e 467,6 passos nas três malhas. Consequentemente, uma malha suficientemente fina para ser precisa torna-se cara de relaxar desta maneira. No centro, as varreduras adicionais não compram precisão rigorosamente nenhuma: pelo argumento do quarto de volta, a resposta de qualquer malha aí é exatamente 25.

Problema resolvido na íntegra

De quantas varreduras precisaria uma malha fina? 4 passos
A malha 20 × 20 necessita de 485 varreduras de Jacobi, a partir do frio, antes que o centro da placa estabilize dentro de 0,1 °C de 25. De quantas precisaria uma malha 1.000 × 1.000? Pressione Topo quente, P no centro: a página imprime os 485.

Abrir este problema na ferramenta
1. A partir de um começo frio, o erro que perdura mais tempo é o padrão mais suave, sin πx sin πy, e cada varredura multiplica-o por cos(π/N). Com o topo a 100, a amplitude desse padrão no centro é 400/π² numa malha fina, e encontra-se a menos de meio por cento desse valor em N = 20:
  
  $\frac{4}{π ^{2}} \times 100 \times sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{400}{π ^{2}} = 40.53$
2. Este erro tem de encolher para 0,1 °C, logo o número de varreduras s resolve a equação 40,53 cos(π/N)^s = 0,1. Na malha 20 × 20 isto dá a contagem da página:
  
  $s = \frac{ln ( 40 . 53/0 . 1 )}{- ln cos ( π /20 )} = \frac{6 . 0046}{0 . 012388} = 484.7 \Rightarrow 485$
3. Numa malha 1.000 × 1.000, o cos(π/N) está muito mais próximo de 1:
  
  $- ln cos \frac{π}{1 , 000} = 4.935 \times 1 0^{- 6}, s = \frac{6 . 0046}{4 . 935 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.22 \times 1 0^{6}$
4. Cada varredura atualiza 999² pontos interiores:
  
  $1.22 \times 1 0^{6} \times 99 9^{2} = 1.22 \times 1 0^{6} \times 998, 001 \approx 1.2 \times 1 0^{12}$
Resposta

Cerca de 1,22 milhões de varreduras, o que equivale a 1,2 × 10¹² atualizações de um único ponto. Isto é cerca de 2.500 vezes as 485 varreduras para uma malha 50 vezes mais fina, correspondendo ao quadrado da razão. É por este motivo que as malhas grandes não são resolvidas exclusivamente através de varreduras simples de Jacobi.

$s \approx 1.22 \times 1 0^{6} sweeps \approx 2, 500 \times 485$

Percurso de aprendizagem

As equações do calor, da onda e de Laplace

Referências (2)

Fourier's first worked example of his method: the permanent temperatures of a rectangular plate of infinite length, its base held at the temperature of boiling water and its two sides at that of ice (Arts. 163–165), solved as a series whose terms are e^(−kx) cos ky with the coefficients found by expanding 1 in cosines (Arts. 171–190): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by A. Freeman, Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822), Chapter III, Arts. 163–165, pp. 131–133, and Art. 190, p. 154.
The random-number generator the walkers use, transcribed into the page from the authors' reference C and checked against it output for output: D. Blackman and S. Vigna, xoshiro128** 1.1, reference implementation in C (public domain), 2018, https://prng.di.unimi.it/xoshiro128starstar.c.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.