A Equação da Onda em Uma, Duas e Três Dimensões

Um pulso, percutido ou tangido, numa linha, numa membrana e no espaço. Observe a sua propagação e veja o que um ouvinte à distância r regista em cada uma delas, muito depois de a perturbação ter passado.

Exemplo resolvido — A Equação da Onda em Uma, Duas e Três Dimensões

A perturbação chega ao ouvinte, em ct/a	4
A sua retaguarda passa pelo ouvinte, em ct/a	6
Maior leitura da corda	0,5333

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Equação da Onda em Uma, Duas e Três Dimensões

A equação da onda, u_tt = c²∇²u, estabelece que a segunda derivada de u em ordem ao tempo em cada ponto (a sua aceleração, quando u é um deslocamento) é igual a c² vezes o seu laplaciano, o qual é proporcional à diferença entre a média de u na vizinhança imediata do ponto e o próprio u. Numa dimensão, qualquer solução corresponde a duas formas a viajar à velocidade c em sentidos opostos (d'Alembert, 1747). Em três dimensões, uma perturbação confinada a uma região atinge um ponto distante apenas enquanto a esfera de raio ct, centrada nesse ponto, atravessa a região, deixando-o em repouso de seguida. Em duas dimensões, isso não acontece: permanece uma cauda residual que, após um início percutido, decai apenas como 1/t.

O que significa cada símbolo

u: o valor da onda: o deslocamento da corda ou da membrana, ou, no espaço, uma grandeza como o excesso de pressão do ar
c: a velocidade da onda
a: o raio do pulso inicial; cada comprimento na página é expresso em unidades de a e cada tempo em unidades de a/c
g: a forma do pulso inicial, (1 − s²)² à distância s do seu centro (em unidades de a), e zero para s ≥ 1

Pressupõe: Uma linha, membrana ou espaço sem extremidades nem paredes, para que nada seja refletido de volta para o ouvinte. Pequenos deslocamentos, para que a equação seja linear: um pulso percutido com o dobro da força duplica cada número na página.

Uma corda percutida nunca regressa ao repouso 🖖

Prima Percutida, ouvida a 5a e observe a corda verde-azulada. O impulso envia uma rampa em cada sentido e, atrás das rampas, a corda fica elevada e plana em 0,5333 v₀a/c. O ponto do ouvinte sobe enquanto a perturbação passa e depois permanece lá, tanto em ct = 20a como em 80a. Mude para Tangida e o mesmo pulso, elevado e solto, divide-se em duas cópias com metade da sua altura que se afastam: o ponto sobe para 0,5000 e desce de novo para exatamente 0. D'Alembert demonstrou em 1747 que qualquer movimento de uma corda consiste em duas formas a viajar em sentidos opostos. Escrita em termos da forma inicial f e da velocidade inicial g, lê-se u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫_x−ct^x+ctg. Uma forma afasta-se com as duas metades em movimento. Uma velocidade é somada ao longo do troço de corda num raio de ct do ponto, e assim que esse troço cresce o suficiente para englobar toda a zona, a soma corresponde a todo o impulso, ½∫g = 8/15. Uma corda real possui extremidades fixas cujas reflexões a puxam de volta. Esta não tem extremidades, logo nada regressa.

Numa membrana, um impulso nunca acaba de chegar 🖖

Prima Percutida, ouvida a 5a e observe as duas superfícies. Cada uma transporta um anel para o exterior, e ambos os anéis já passaram pelo ouvinte em ct = 6a. No interior do círculo pontilhado, por onde a retaguarda da onda já passou, o espaço é plano: o seu ouvinte regista exatamente 0 a partir daí, e a última coluna da tabela é zero em todas as casas decimais. A membrana no interior do seu círculo continua elevada. Em ct = 20a o seu ouvinte regista 0,00861, 9,93% dos 0,0867 que atingiu no pico; prima Percutida, 5a, aos 80a e o valor é 0,00209, cerca de um quarto disso para uma espera quatro vezes maior. A cauda decai como 1/t e nunca chega a zero. As fórmulas das duas soluções explicam o porquê. No espaço, a resposta num ponto é construída a partir da média inicial sobre a superfície de uma esfera de raio ct centrada nele, e assim que essa esfera ultrapassa o pulso, não resta nada sobre ela. Numa membrana, a resposta é uma integral sobre todo o disco no interior do círculo de raio ct, por isso o pulso permanece no seu interior para sempre, ponderado por 1/√(c²t² − ρ²). Hadamard, nas palestras de Yale que publicou em 1923, chamou ao que sobra uma integral residual e escreveu que as ondas cilíndricas, ao contrário das esféricas, se difundem.

No espaço, um pulso solto chega como um pulso e uma depressão 🖖

Prima Tangida, ouvida a 5a e observe o traço azul. Nada no pulso esteve alguma vez abaixo de zero, mas o ouvinte no espaço regista uma subida para 0,02862 seguida de uma descida igualmente profunda, com áreas de 0,01667 e −0,01667 que se cancelam exatamente. Para r > a, a resposta é u = (r − ct) g(ct − r)/(2r): a forma inicial multiplicada por uma rampa que passa pelo zero no preciso instante em que o centro do pulso chega. A pressão sonora obedece a esta equação, pelo que uma bola de ar comprimido solta em repouso chega a um ouvinte como uma compressão seguida de uma rarefação igual, sem deixar qualquer empurrão resultante. A corda transporta a mesma libertação sem alterar o seu sinal. A membrana regista um pulso e depois uma cauda abaixo de zero que decai como 1/t², sendo este o sinal que Hadamard calculou para um resíduo a duas dimensões.

Problema resolvido na íntegra

Quanto tempo persiste um bater de palmas num mundo plano? 4 passos
Na membrana, percutida, um ouvinte a 5a de distância regista uma leitura máxima de 0,0867 v₀a/c. Quanto tempo decorre até a cauda decair para 1% desse valor? Prima Percutida, ouvida a 5a: a página imprime o pico, e a leitura em ct = 20a ao lado da lei da cauda.

Abrir este problema na ferramenta
1. Muito depois de a onda ter passado, a leitura da membrana segue a lei da cauda para um impulso pontual. Em ct = 20a os dois já coincidem em três algarismos:
  
  $\frac{1}{6 2 0 ^{2} - 5 ^{2}} = \frac{1}{6 375} = 0.00861$
2. Um por cento do pico é
  
  $0.01 \times 0.0867 = 0.000867$
3. Iguale a lei da cauda a este valor e resolva para ct/a:
  
  $(c t / a)^{2} - 25 = \frac{1}{6 \times 0 . 000867} = 192.2 \Rightarrow \frac{c t}{a} = 192 . 2^{2} + 25 = 192.3$
4. No espaço, o mesmo ouvinte fica em silêncio a partir de ct = 6a. Para uma perturbação com cerca de 10 cm de largura, a = 0,05 m, originada por um bater de palmas no ar a c = 343 m/s, a unidade de tempo a/c é
  
  $\frac{a}{c} = \frac{0 . 05 m}{343 m/s} = 0.146 ms, 6 \frac{a}{c} = 0.87 ms, 192.3 \frac{a}{c} = 28 ms$
Resposta

Perto de ct = 192a, trinta e duas vezes o instante 6a no qual o espaço silencia. Para um bater de palmas com 10 cm de largura isso corresponde a 28 milissegundos face a menos de um. Num mundo plano qualquer som arrastaria uma cauda que se sobreporia ao que viesse a seguir. Um limiar de 2% reduziria a espera para cerca de metade, uma vez que a cauda decai como 1/t.

$\frac{c t}{a} \approx 192 \approx 32 \times 6$

Percurso de aprendizagem

As equações do calor, da onda e de Laplace

Referências (2)

The vibrating string's equation solved as the sum of two arbitrary functions, y = Ψ(t + s) + Γ(t − s): every motion of the string is two shapes travelling in opposite directions (art. VII), followed by a long continuation working out which shapes satisfy fixed ends: J. le Rond d'Alembert, "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin 3 (1747, published 1749), 214–219; "Suite des recherches…", same volume, 220–249.
Huygens' principle in its narrow sense, a disturbance localised at the start stays localised on a thin spherical shell (Book II, §33), and its failure in two dimensions: the 'residual integral' left after the wave has passed, so that 'cylindrical waves, unlike spherical ones, diffuse' (Book III, §111), and the sign of that residual, negative for a positive starting displacement when there are three variables (§112): J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale University Press, New Haven, 1923 (Mrs. Hepsa Ely Silliman Memorial Lectures), Book II §33, pp. 53–55, and Book III §§111–112, pp. 175–178.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.