A Equação do Calor

Escolha um perfil de temperatura inicial ou desenhe um no gráfico, e selecione um material. Ambas as extremidades da barra são mantidas a 0 °C. A página resolve a equação do calor com exatidão e aciona o relógio, deixando o perfil inicial marcado como um fantasma.

Exemplo resolvido — A Equação do Calor

Tempo no relógio	432,2 s
Tempo para o 1º modo cair por e	875,7 s
Altura do 1º modo agora	38,9 °C
Temperatura no centro	39,4 °C
Ponto mais quente	0,500 m
Calor restante na barra, como fração do inicial	73,91%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Equação do Calor

A equação do calor ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² afirma que a temperatura em um ponto muda a uma taxa definida pela curvatura do perfil naquele local: um ponto mais frio que a média de seus vizinhos esquenta, um ponto mais quente que eles esfria. κ = k/(ρc_p), a difusividade térmica, é a condutividade dividida pela capacidade térmica por unidade de volume. Para uma barra de comprimento L cujas extremidades são mantidas a 0, a solução a partir de um perfil inicial f(x) é u = Σ b_k sin(kπx/L) e^{−k²π²κt/L²}, com b_k = (2/L) ∫ f(x) sin(kπx/L) dx ao longo da barra.

O que significa cada símbolo

u: a temperatura na posição x e no tempo t, em °C
κ: a difusividade térmica em m²/s: 1,157 × 10⁻⁴ para o cobre, 1,17 × 10⁻⁵ para o aço carbono
τ: κt/L², o tempo como a equação o conta; duas barras iniciadas com o mesmo perfil têm a mesma forma no mesmo τ
b_k: o tamanho do modo seno k no início, calculado a partir do perfil inicial

Uma barra quente perde suas arestas vivas primeiro 🖖

Pressione Terço médio, cobre. O fantasma tracejado é onde a barra começou, um bloco de 100 °C com paredes verticais. Qualquer perfil inicial pode ser escrito como uma soma de modos seno que se anulam em ambas as extremidades, com o modo k possuindo k ventres, e a tabela abaixo fornece os seus tamanhos: b₁ = 63,662, b₃ = −42,441, b₅ = 12,732. Cada modo decai em seu próprio relógio, como e^{−k²π²κt/L²}, então o modo 3 morre nove vezes mais rápido que o modo 1 e o modo 5 vinte e cinco vezes. As paredes verticais são construídas a partir dos modos rápidos, e é por isso que elas somem primeiro. Em τ = κt/L² = 0,05, aos 7,2 minutos em um metro de cobre, o perfil difere do primeiro modo isolado por no máximo 1,27% de seu pico e o centro marca 39,4 °C. A partir daí a forma quase não muda; o que cai é a sua altura. No gráfico logarítmico cada modo é uma reta, k² vezes mais inclinada que a primeira. Esta é a série que o Construtor de Séries de Fourier monta, e Fourier a escreveu para o calor: sua Théorie analytique de la chaleur (1822) nasceu de uma memória que ele enviou ao Institut de France no fim de 1807.

O dobro do comprimento leva o quádruplo do tempo 🖖

Pressione Terço médio, cobre, e depois Cobre, meio metro. Os perfis são idênticos, porque a equação mantém apenas um relógio, τ = κt/L²: o comprimento da barra entra ao quadrado e o material apenas através de κ, sua difusividade térmica. Assim, o metro de cobre atinge τ = 0,05 após 432,2 s e o meio metro após 108,0 s, um quarto do tempo. O tempo próprio do primeiro modo para cair por um fator e é L²/(π²κ): 875,7 s para um metro de cobre, 8.659,9 s para o aço carbono, cujo κ é 9,89 vezes menor, e 36,1 horas para o Pyrex. O calor não viaja a uma velocidade. A distância que ele se espalhou cresce com a raiz quadrada do tempo, razão pela qual a mesma raiz quadrada aparece na dispersão de um caminhante aleatório clássico em Passeio Aleatório Quântico.

A barra esquece qual lado foi aquecido 🖖

Pressione Metade esquerda quente. Todo o calor começa à esquerda, e é natural esperar que a barra permaneça assimétrica até esfriar. A assimetria desaparece muito antes do calor. A parte assimétrica do perfil é composta por seus modos pares, cada um com tantos ventres para cima quanto para baixo. O maior e mais lento deles, o modo 2, um ventre para cima e um para baixo, começa exatamente com o mesmo tamanho que o primeiro modo: b₂ = b₁ = 63,662. Ele morre quatro vezes mais rápido. Em τ = 0,1, aos 14,4 minutos no cobre, o modo 2 tem 0,0193 de si restante contra os 0,3727 do primeiro modo, o ponto mais quente caminhou para 0,468 m, a 3,2 cm do centro, e o ponto a um quarto da barra no lado aquecido está apenas 2,5 °C mais quente que o seu espelho, enquanto 30,21% do calor ainda está na barra. Desenhe qualquer perfil que quiser e a mesma coisa acontece, a menos que seu primeiro modo seja exatamente zero. Todos os modos morrem mais rápido que o primeiro, então todo perfil desse tipo termina como o mesmo arco e, no fim, tudo o que a barra recorda de onde começou é um único número, b₁, a altura do arco.

Problema resolvido na íntegra

Quanto tempo até que o centro de uma barra de aço esfrie? 3 passos
Uma barra de aço carbono de 1 m de comprimento tem o seu terço médio a 100 °C e ambas as extremidades no gelo. Quanto tempo até que o centro fique abaixo de 1 °C? O controle de tempo para em τ = 0,3, antes da resposta. Pressione Terço médio, aço primeiro: a página fornece b₁ e o tempo que o primeiro modo leva para cair por um fator e.

Abrir este problema na ferramenta
1. Muito antes de o centro chegar a 1 °C, todos os modos exceto o primeiro já sumiram (em τ = 0,1 o perfil já está a 0,02% de um único arco). Assim, o centro é b₁e^−π²τ, e igualar isso a 1 fornece τ:
  
  $b_{1} e^{- π^{2} τ} = 1 \Rightarrow τ = \frac{ln 63 . 662}{π ^{2}} = \frac{4 . 1536}{9 . 8696} = 0.42085$
2. Como τ = κt/L² e T_1 = L²/(π²κ), o tempo corresponde a ln(b_1) vezes o tempo de queda do primeiro modo por um fator e:
  
  $t = \frac{τ L ^{2}}{κ} = ln (b_{1}) T_{1} = 4.1536 \times 8, 659.9 s = 35, 970 s$
3. Verifique se o modo 3, o maior dos restantes, realmente já sumiu a essa altura:
  
  $∣ b_{3} ∣ e^{- 9 π^{2} τ} = 42.441 \times e^{- 9 π^{2} \times 0.42085} = 42.441 \times e^{- 37.38} = 2.5 \times 1 0^{- 15}^{\circ} C$
Resposta

Pouco menos de dez horas: 35.970 s. A resposta é ln(63,662) = 4,15 tempos de queda por fator e, seja qual for o material, então a mesma barra em cobre leva 4,1536 × 875,7 s = 3.637 s, cerca de uma hora. O modo 3 já caiu para 2,5 × 10⁻¹⁵ °C a essa altura, portanto a fórmula de arco único é exata até muito mais casas decimais do que qualquer termômetro pode ler.

$t = 35, 970 s \approx 9.99 h; copper: 4.1536 \times 875.7 s = 3, 637 s$

Percurso de aprendizagem

As equações do calor, da onda e de Laplace

Referências (2)

Fourier's own account of where the theory began: first set out in a manuscript sent to the Institute of France at the end of 1807, with an extract in the Bulletin des Sciences for 1808 (Preliminary Discourse); and the first problem the book solves with a trigonometric series, the steady temperatures of a plate between two parallel sides held at 0 with its base held at 1, which is Laplace's equation rather than the cooling rod (Art. 163 onwards): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman. Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Preliminary Discourse; Chapter III, Section I, Arts. 163–166.
The thermal diffusivities this page uses, at 20 °C: pure copper 11.57 × 10⁻⁵ m²/s, pure aluminium 9.61 × 10⁻⁵ and carbon steel with 1.0% C 1.17 × 10⁻⁵ (Table A.1), Pyrex borosilicate glass 7.8 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the history in the caption of Fig. 1.4, Fourier's 1807 monograph refereed by Lagrange and Laplace and his series not in print until 1822: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. Table A.1, p. 739; Table A.2, p. 742; Fig. 1.4, p. 12.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.