Calculadora de Deflexão de Vigas

Selecione o tipo de viga e o carregamento para ver a curva de deflexão e os diagramas de momento fletor e força cortante.

Exemplo resolvido — Calculadora de Deflexão de Vigas

R_A	5 kN
R_B	5 kN
M_max	12,5 kN·m
δ_max	15,631 mm

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Calculadora de Deflexão de Vigas

A rigidez de uma viga não é uma propriedade da viga. Carregue a mesma prancha da mesma maneira e a resposta muda por um fator próximo de cinquenta consoante apenas o modo como as suas extremidades estão presas — é por isso que uma estante cede a meio e uma varanda pende na ponta. Condições de fronteira é o nome formal desse modo de prender as extremidades, e escolhê-las é a maior parte do que é o cálculo de estruturas.

O que significa cada símbolo

EI: a rigidez à flexão — o módulo do material vezes o momento de inércia da secção. É a contribuição própria da viga e a única parte da resposta em que os apoios não tocam.
y′: a inclinação da deformada. Que um apoio a permita ou não é toda a diferença entre uma rótula e um encastramento, e essa única distinção gera quase toda a lista pendente.
δ_max: a maior flecha em todo o vão — o número de destaque, e aquele que os ocupantes de um pavimento realmente sentem debaixo dos pés.
L/δ: o vão a dividir pela flecha máxima. Os regulamentos escrevem-se nesta razão e não em milímetros, porque 10 mm de abatimento são invisíveis em 12 m e alarmantes em 1 m.

De onde vem a fórmula

Escrevamos a equação uma só vez, porque só há uma. Para uma viga com carga distribuída w(x), EI·d⁴y/dx⁴ = w(x). Repare no que não lá está: nada sobre rótulas, encastramentos, apoios intermédios ou consolas. Integrada quatro vezes devolve y(x) e surgem quatro constantes de integração. Tudo o que a lista de apoios faz é fixar esses quatro números.
Perguntemos então o que um apoio consegue fazer; a lista é curta. Pode impedir a extremidade de se deslocar, impedi-la de rodar, ambas as coisas, ou nenhuma. Uma rótula segura a extremidade mas deixa-a rodar livremente: y = 0 com momento nulo. Um encastramento segura-a e recusa-lhe a rotação: y = 0 e y′ = 0. Uma extremidade livre nada retém — momento nulo e esforço transverso nulo. Cada uma das oito entradas da lista é um par tirado desse vocabulário, e mais nada.
Agora o preço. Não mexa em mais nada — os 1000 N/m distribuídos por 5 m de aço com que esta página abre — e mude apenas as extremidades. Sobre duas rótulas a viga desce 4,885 mm. Encastre ambas as pontas e a viga idêntica desce 0,977 mm: exatamente cinco vezes mais rígida, porque 5wL⁴/384EI passou a wL⁴/384EI. Retire um apoio por completo e a consola cai 46,894 mm, quarenta e oito vezes o valor encastrado. À viga nunca foi acrescentado nada.
A flecha é o que se nota; o momento é o que parte. Uma viga simplesmente apoiada tem momento nulo nas extremidades e wL²/8 a meio vão — a página imprime 3,125 kN·m. Encastre as extremidades e elas passam a poder suportar momento, pelo que o máximo cai para wL²/12, 2,083 kN·m, e desloca-se do meio vão para os apoios. A viga não ficou mais resistente. A exigência foi redistribuída para material que não estava a fazer nada.
Fica a pergunta óbvia: porque não encastrar tudo? Conte as incógnitas. A estática dá três equações, portanto uma viga cujos apoios fornecem exatamente três reações é isostática — as reações resultam só do equilíbrio e mais nada as pode alterar. Uma quarta reação torna-a hiperstática: mais rígida, mais esbelta, mais leve — e a partir daí a viga tem opinião sobre ser deslocada. É o negócio que o caso escorado faz, e o mesmo negócio que um tabuleiro de ponte contínuo faz sobre cada pilar que atravessa.

Como ler o que vê

Três painéis empilhados por ordem causal — a viga carregada com os apoios desenhados como de facto se comportam, depois o esforço transverso, depois o momento — e trocar o tipo de apoio redesenha os três de uma vez, que é a forma mais rápida de ver que a carga nunca mudou. Por baixo ficam as reações, o momento máximo, a flecha máxima e uma razão vão/flecha. É essa última linha que o projetista lê: um limite de serviço comum é L/250, o caso simplesmente apoiado ultrapassa-o aqui cerca de quatro vezes, e a consola, perto de L/107, é a única configuração desta página que falha.

Pressupõe: Teoria de vigas de Euler–Bernoulli — as secções planas mantêm-se planas, pelo que a deformação por corte é ignorada; flechas suficientemente pequenas para escrever a curvatura como y″; material elástico linear bem abaixo da cedência; e secção constante ao longo do vão. E acima de tudo, para esta lição: apoios perfeitos. Uma rótula sem atrito e um encastramento de rigidez à rotação infinita.
Falha quando: É nessa última hipótese que o modelo se afasta do mundo, e são os casos hiperstáticos que dão por isso. Um encastramento só vale o que valer aquilo em que está encastrado; as ligações reais têm rigidez à rotação finita e ficam algures entre os 4,885 mm e os 0,977 mm que esta página oferece como opções separadas. A falha mais funda: esta página resolve para uma carga dada — e uma viga hiperstática pode ser solicitada por um deslocamento imposto, sem carga nenhuma. Deixe um apoio da viga encastrada assentar três milímetros, ou ambas as extremidades ficarem aparafusadas enquanto o aço aquece ao sol da tarde, e surgem momento e esforço axial que o equilíbrio não sabe prever e que nada nesta página irá desenhar. A viga isostática sobre duas rótulas encolhe os ombros e desloca-se. É por isto que um tabuleiro de ponte assenta em aparelhos de apoio deslizantes e encontra o encontro através de uma junta de dilatação dentada: o engenheiro está a recomprar o movimento que o encastramento lhe tirou, e a pagá-lo em flecha.

As secções planas continuam planas, até a viga ficar curta 🖖

A teoria de vigas de Euler-Bernoulli assume que seções planas permanecem planas após a flexão. Isso vale bem quando o comprimento da viga ≫ a altura. A deformação por cisalhamento, que a teoria ignora, torna-se significativa em vigas altas ou curtas — nesses casos, usa-se a teoria de vigas de Timoshenko.

Três diagramas, uma cadeia de causa e efeito 🖖

A ferramenta empilha três gráficos porque eles são etapas ligadas de uma mesma história: a carga gera uma força cortante, o cortante se acumula em um momento fletor, e o momento curva a viga até sua forma deformada. Cada diagrama é, em essência, a soma acumulada do que está acima dele. Consequência útil: o momento fletor é máximo exatamente onde a força cortante cruza o zero, e é aí que a viga mais trabalha.

Galileu errou o primeiro problema de vigas 🖖

Galileu formulou o problema da resistência de uma viga em balanço em suas Duas Novas Ciências (1638), o texto fundador da análise de vigas — mas supôs que todas as fibras da seção eram tracionadas por igual. Ele não percebeu que as fibras de um lado se alongam enquanto as do outro se comprimem, girando em torno de um eixo neutro. Seu modelo superestimava a resistência à flexão por um fator de cerca de 3, e foi preciso quase um século para que Parent, e depois Euler e Bernoulli, o corrigissem.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma viga de aço de 5 m simplesmente apoiada a suportar 10 kN a meio do vão 5 passos
Uma viga de aço de 5 m, simplesmente apoiada, a suportar 10 kN a meio do vão. Determine as reações, o momento fletor e a flecha — e depois verifique em relação ao limite que realmente condiciona o dimensionamento.
1. A simetria resolve a estática. A carga encontra-se a meio do vão, pelo que cada apoio suporta metade, não sendo necessária qualquer equação para além dessa observação.
  
  $\sum M = 0 ⟹ R_{A} = R_{B} = \frac{P}{2} = 5 kN$
2. O momento máximo ocorre na posição da carga, onde cada reação atuou ao longo de metade do vão. Vale a pena memorizar PL/4: é o caso de carga pontual em viga simplesmente apoiada em relação ao qual todos os outros casos são comparados.
  
  $M_{m a x} = R_{A} \cdot \frac{L}{2} = \frac{P L}{4} = \frac{10 \times 5}{4} = 12.5 kN m$
3. A flecha exige a rigidez da viga, não apenas a carga. Intervêm duas propriedades — o material através de E e a forma através de I — e entram apenas sob a forma do seu produto, razão pela qual uma liga mais rígida e uma secção mais alta são permutáveis neste caso.
  
  $δ_{m a x} = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = \frac{1 0 ^{4} \times 5 ^{3}}{48 \times 200 \times 1 0 ^{9} \times 8.33 \times 1 0 ^{- 6}}$
4. A substituição resulta em 15,631 mm. Note-se onde se encontra o vão: ao cubo. A flecha é muito mais sensível ao comprimento do que a qualquer outro elemento da expressão.
  
  $= \frac{1.25 \times 1 0 ^{6}}{7.997 \times 1 0 ^{7}} = 0.015631 m = 15.631 mm$
5. Resta a verificação que decide o dimensionamento. Os limites do estado limite de utilização são comummente definidos como o vão a dividir por 360, o que para 5 m dá 13,89 mm.
  
  $\frac{L}{360} = \frac{5000}{360} = 13.89 mm < 15.631 mm$
Resposta

A ferramenta indica 5 kN em cada apoio, 12,5 kN·m de momento fletor e 15,631 mm de flecha. Este último valor não cumpre o limite de utilização L/360 de 13,89 mm — embora a viga esteja longe de atingir a cedência. Isto é o que os cursos de estruturas destacam e a intuição contraria: as vigas são geralmente dimensionadas pelo quanto fletem, e não pelo quão próximas estão de quebrar. O cubo no vão é a razão disso. Aumente a mesma viga para 10 m e a flecha não duplica, aumenta oito vezes para 125 mm, e nenhuma margem de resistência resolve o problema.

$δ = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = 15.631 mm > \frac{L}{360} = 13.89 mm$
Uma viga com uma flecha de 15,631 mm face a um limite de utilização de 13,89 mm 6 passos
O painel diz que esta viga flete 15,631 mm e que o limite de serviço L/360 é 13,89 mm — um oitavo acima. A pergunta seguinte de um construtor é quanto maior tem de ficar a viga, e a resposta é muito menor do que o excesso faz supor.
1. Tome o quociente dos dois números que já estão no painel. A viga é 1,1254 vezes mais flexível do que o limite permite.
  
  $\frac{δ _{m a x}}{L /360} = \frac{15.631}{13.89} = 1.1254$
2. A flecha é inversamente proporcional ao momento de inércia, e num retângulo essa grandeza leva a altura ao cubo, ao passo que a largura entra apenas uma vez. As duas dimensões não são intermutáveis.
  
  $I = \frac{b d ^{3}}{12} ⟹ δ \propto \frac{1}{I} \propto d^{- 3}$
3. Vale a pena enunciar essa consequência antes de a usar: duplique a altura e a flecha cai para um oitavo, não para metade.
  
  $d \to 2 d : δ \to \frac{δ}{2 ^{3}} = \frac{δ}{8}$
4. Então inverta o cubo. Dividir a flecha por 1,1254 exige multiplicar a altura pela raiz cúbica do mesmo número.
  
  $(\frac{d}{d ^{'}})^{3} = \frac{1}{1.1254} ⟹ \frac{d ^{'}}{d} = 1.125 4^{1/3} = 1.0402$
5. Quatro por cento. Uma vigota de 300 mm passa a 312 mm, e a viga que chumbava passa.
6. Agora o preço da alternativa. Resolver pela largura significa o 1,1254 inteiro — três vezes mais material acrescentado pelos mesmos milímetros ganhos.
  
  $\frac{d ^{'}}{d} - 1 = 0.0402, \frac{b ^{'}}{b} - 1 = 0.1254$
Resposta

Uma viga 4 % mais alta corrige um excesso de 12,5 %; uma 12,5 % mais larga faz o mesmo trabalho por três vezes mais material acrescentado. É essa toda a razão por que as vigotas de pavimento são retângulos altos assentes de cutelo e não quadrados nem pranchas deitadas: um milímetro de altura vale três de largura, e o cubo explica por que a mesma tábua se comporta como um pavimento de cutelo e como uma prancha de saltos deitada.

$δ \propto d^{- 3} : δ \times 1.1254 ⟺ d \times 1.0402 ⟺ b \times 1.1254$

Referências (2)

The lesson — where the support-case coefficients (5/384, 1/384, 1/8) are tabulated: W. C. Young, R. G. Budynas and A. M. Sadegh, Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th edition, ch. 8 — beams; flexure of straight bars. McGraw-Hill, 2012. ISBN 978-0-07-174247-4.
The shear correction this tool's first block says Euler–Bernoulli leaves out: S. P. Timoshenko, "On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars." Philosophical Magazine Series 6, 41, 744–746, 1921.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-18

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Problemas de exemplo

Carga no meio do vão - Uma carga pontual a meio vão custa 15,631 mm de flecha e 12,5 kN·m de momento, com 5 kN em cada apoio.
Ponta do balanço - Livre numa extremidade, a ponta desce 27,011 mm — uma razão de L/111,07.
Ponte com carga distribuída - Distribuída como carga uniforme, a mesma viga cede 78,156 mm, o pior destes quatro casos.
Carga excêntrica - Fora do centro é mais suave do que a meio vão: 13,437 mm, com as reações a repartirem-se 6,67 kN contra 3,33 kN.