Navier–Stokes: Escoamento em torno de um Cilindro

Defina o número de Reynolds e a página resolve as equações de Navier-Stokes para o escoamento por um cilindro enquanto você observa, com as cores indicando o sentido de rotação do fluido. O traçado sob a imagem mostra a velocidade lateral três diâmetros a jusante. Ele informa o que a imagem não consegue mostrar perto do limiar: se a esteira está estabilizando, morrendo ou oscilando definitivamente.

Exemplo resolvido — Navier–Stokes: Escoamento em torno de um Cilindro

Viscosidade do solver (rede)	0,01000
Tempo de relaxamento τ	0,5300
Oscilação em que estabiliza	0,636 U
Número Strouhal, do período	0,1690
Coeficiente de arrasto médio	1,489
Parcela de pressão	1,157
Fração de atrito superficial	22%
Strouhal (túnel de Roshko)	0,1671

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Navier–Stokes: Escoamento em torno de um Cilindro

As equações de Navier-Stokes representam a segunda lei de Newton para um fluido. Cada pequena parcela acelera sob a ação da pressão que a empurra e do arrasto viscoso dos seus vizinhos. Para um fluido incompressível, escrevem-se como ∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p/ρ + ν∇²u e ∇·u = 0, onde u é a velocidade, p a pressão, ρ a densidade e ν a viscosidade cinemática.

O que significa cada símbolo

Re: o número de Reynolds UD/ν, derivado da velocidade do escoamento U, do diâmetro do cilindro D e da viscosidade cinemática ν. O passo 1 mostra que esta é a única constante que resta nas equações
St: o número de Strouhal fD/U, sendo a frequência de desprendimento f expressa em unidades de U/D
C_D: o coeficiente de arrasto: o arrasto sobre uma unidade de comprimento do cilindro dividido por ½ρU²D
A: a amplitude da oscilação: metade da velocidade lateral pico a pico três diâmetros atrás do cilindro, como uma fração de U
ω: a vorticidade ∂v/∂x − ∂u/∂y, o dobro da velocidade a que uma parcela de fluido gira. Representa a cor na imagem

De onde vem a fórmula

Por que um controlo deslizante basta. Meça os comprimentos em diâmetros, as velocidades em unidades de U e o tempo em unidades de D/U: defina u = U u′, x = D x′, t = (D/U) t′ e p = ρU² p′. Cada termo à esquerda da equação da quantidade de movimento passa a conter um fator U²/D, tal como o termo da pressão; o termo viscoso carrega νU/D². Divida tudo por U²/D e a equação mantém-se igual à anterior, escrita nas grandezas com plica, exceto que ν se transformou em ν/(UD) = 1/Re. Dois escoamentos com o mesmo Re são o mesmo escoamento em diferentes tamanhos e velocidades, pelo que a página necessita apenas de um controlo, em vez de quatro.
Como a página distingue estabilização de dissipação. Chame A à amplitude da oscilação. Enquanto for pequena, ela cresce ou encolhe exponencialmente, dA/dt = σA, com σ positivo acima do limiar e negativo abaixo dele. Perto do limiar, σ é proporcional a Re − Re_c. O crescimento não pode continuar para sempre. O primeiro termo capaz de o travar, para uma oscilação que parece idêntica quando invertida de cima para baixo, é cúbico: dA/dt = σA − ℓA³, a equação de Landau. Dividida por A, resulta numa linha reta em A², d ln A/dt = σ − ℓA². A página ajusta essa linha aos ciclos de cada simulação e extrai dela o σ. É assim que descobre em Re 48 que uma oscilação a diminuir está a estabilizar em vez de desaparecer. Igualar dA/dt = 0 fornece a oscilação onde a esteira estabiliza, A∞² = σ/ℓ: uma reta em Re que atinge zero em Re_c. Essa é a linha do segundo painel.
Arrasto nulo sem viscosidade. Sem viscosidade, o escoamento em torno de um cilindro de raio R é ψ = U(r − R²/r) sin θ, e na superfície a sua velocidade é 2U sin θ: zero na frente e atrás, o dobro da corrente livre nos lados. A equação de Bernoulli, p + ½ρv² constante ao longo do escoamento, transforma isso numa pressão, C_p = (p − p∞)/(½ρU²) = 1 − 4 sin²θ. O arrasto é essa pressão a empurrar a superfície, somada a toda a volta: C_D = ∫₀^π C_p cos θ dθ = ∫₀^π cos θ dθ − 4∫₀^π sin²θ cos θ dθ = 0 − [4 sin³θ/3]₀^π = 0. As metades frontal e traseira anulam-se com exatidão. A página integra a pressão do próprio solver da mesma forma e exibe-a como a parcela de pressão do arrasto.
A frequência. Com a escala do passo 1, a frequência de desprendimento f passa a St = fD/U, e tal como tudo o resto nas equações redimensionadas, apenas pode depender de Re. Quando St é conhecido num certo número de Reynolds, f = St·U/D para qualquer fluido, velocidade e diâmetro que o partilhem. Roshko ajustou St = 0.212(1 − 21.2/Re) às suas medições no túnel de vento entre Re 50 e 150; o St deste solver está 4% acima disso em Re 55, aproximando-se de 1% em Re 100.

Pressupõe: Duas dimensões: um cilindro infinitamente longo sem variações ao longo do seu comprimento. Um fluido que não pode ser comprimido, o qual o solver aproxima operando a cerca de um sexto da sua própria velocidade do som. Um canal com vinte diâmetros de largura, com o topo unido ao fundo. Assim, o cilindro tem vizinhos a vinte diâmetros de distância, o que acrescenta alguns pontos percentuais ao arrasto e à frequência.
Falha quando: Acima de Re 188,5, uma esteira real desenvolve ondas ao longo do cilindro (Barkley e Henderson, 1996) e a resposta 2D deixa de a descrever. Perto do limiar, tudo abranda. Em Re 47 a oscilação ainda está a dissipar-se após 300 D/U, e precisaria de mais 2.000 D/U adicionais para desaparecer completamente. É por isso que a página lê a tendência com a equação de Landau em vez de esperar.

Abaixo de cerca de Re 47 a esteira estabiliza; acima, as mesmas equações oscilam para sempre 🖖

Pressione Re 44 e depois Re 48. O cilindro é simétrico, o escoamento que chega até ele é simétrico e, em ambos os números de Reynolds, as equações possuem uma resposta simétrica: dois vórtices espelhados e imóveis. Em 44, a esteira perturbada regressa a esse estado. Em 48, nunca o faz. A resposta simétrica continua a existir, mas tornou-se instável, e o escoamento abandona-a à mais pequena perturbação. Aqui, o motivo provém da própria página: um empurrão lateral no fluxo de entrada após cada alteração e um cilindro posicionado a um terço de célula de distância da linha central da malha. Num canal de água, qualquer vibração é suficiente. O grupo de Camichel, em Toulouse, mediu o limiar em 47. A taxa de crescimento deste solver muda de sinal entre 47 e 48, por volta de 47,4, e o ajuste no segundo painel resulta em 47,5.

Sem viscosidade, um cilindro não sofreria arrasto 🖖

Remova a viscosidade das equações e o escoamento em torno de um cilindro pode ser resolvido com um lápis (passo 3 abaixo). A pressão na metade traseira resulta na imagem espelhada da pressão frontal. O empurrão e o puxão anulam-se e o arrasto é exatamente zero. d'Alembert publicou isso em 1752, algo que tem sido chamado de paradoxo desde então, visto que todos os corpos reais sofrem arrasto. O primeiro painel mostra onde ocorre a falha. Em Re 100, a pressão sem atrito sobe novamente para +1 na traseira do cilindro; a do solver para em −0,94, pois o escoamento descola da superfície antes de conseguir recuperar. Essa pressão em falta representa mais de três quartos do arrasto. O restante é a aderência do fluido à superfície: 22% do arrasto em Re 100, 40% em Re 20.

A nota que um fio canta não é um número fixo 🖖

St = fD/U é a frequência de desprendimento em unidades do tempo que o escoamento demora a percorrer um diâmetro. É frequentemente arredondada para 0,2. Nesta página, o valor sobe de 0,128 em Re 50 para 0,169 em 100 e 0,192 em 180. O ajuste do túnel de vento de Roshko, a linha verde, sobe juntamente com ele: 0,167 em Re 100. O 0,2 pertence a escoamentos mais rápidos. O ajuste de Roshko para Re 300 a 2.000 resulta em 0,203 a 0,211, e aí a esteira é tridimensional, algo que um solver 2D não consegue acompanhar. Uma esteira real torna-se tridimensional em Re 188,5, razão pela qual o controlo deslizante para no 180.

Problema resolvido na íntegra

Que nota canta um fio ao vento? 4 passos
Um fio esticado com 3 mm de espessura encontra-se num vento de 8 m/s. Desprendem-se vórtices alternadamente de cada lado, e o fio zumbe na frequência de desprendimento. Que frequência é essa? O ar a 20 °C tem uma viscosidade de 1,813×10⁻⁵ Pa·s e uma densidade de 1,204 kg/m³.

Abrir este problema na ferramenta
1. Primeiro, o número de Reynolds, a partir da viscosidade cinemática ν = η/ρ:
  
  $ν = \frac{η}{ρ} = \frac{1 . 813 \times 1 0 ^{- 5} Pa s}{1 . 204 kg/ m ^{3}} = 1.506 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s, Re = \frac{U D}{ν} = \frac{8 m/s \times 0 . 003 m}{1 . 506 \times 1 0 ^{- 5} m ^{2} /s} = 1, 594$
2. Isso ultrapassa muito os 188,5, ponto em que uma esteira real se torna tridimensional, pelo que o solver desta página não consegue dar a resposta. Roshko mediu a frequência de desprendimento exatamente neste intervalo e obteve o ajuste:
  
  $St = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{Re}) = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{1 , 594}) = 0.2103 (300 < Re < 2, 000)$
3. Em seguida, f resulta da definição de St:
  
  $f = \frac{St U}{D} = \frac{0 . 2103 \times 8 m/s}{0 . 003 m} = 561 Hz$
4. O solver justifica a sua utilidade abaixo de Re 150, onde ele e o mesmo túnel de vento podem ser comparados diretamente. Pressione Re 100 e leia ambos na tabela de resultados:
  
  $Re = 100 : St_{solver} = 0.1690, St_{Roshko} = 0.212 (1 - \frac{21 . 2}{100}) = 0.1671$
Resposta

O fio canta a cerca de 561 Hz. Reduza a espessura a metade e a frequência sobe para 1.113 Hz. Fica um pouco aquém do dobro, porque Re também cai para metade e St desce de 0,2103 para 0,2086.

$f \approx 561 Hz; D = 1.5 mm : Re = 797, St = 0.2086, f = 1, 113 Hz$

Referências (5)

Wind-tunnel shedding frequencies behind circular cylinders from Re 40 to 10,000, and the two fits this page plots and the worked problem uses: S = 0.212(1 − 21.2/R) for 50 < R < 150 and S = 0.212(1 − 12.7/R) for 300 < R < 2,000: A. Roshko, "On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets", NACA Report 1191, National Advisory Committee for Aeronautics, 1954.
Where a two-dimensional solver stops describing a real wake: the periodic 2D wake becomes unstable to three-dimensional disturbances at Re = 188.5 ± 1.0, which is where this page's slider stops: D. Barkley and R. D. Henderson, "Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder", Journal of Fluid Mechanics 322, 215–241 (1996).
The history of the instability: Bénard's experiments, the threshold Re_c = 47 that Camichel's group in Toulouse measured with circular cylinders, and Mathis, Provansal and Boyer's 1984 measurement that the oscillation's amplitude grows as (Re − Re_c)^½, the Landau law this page fits: J. E. Wesfreid, "Henri Bénard: Thermal convection and vortex shedding", Comptes Rendus Mécanique 345, 446–466 (2017).
The method this page solves the equations with: a lattice-Boltzmann fluid with a curved wall placed on the true circle by interpolating along each lattice link, and the drag from the momentum each link exchanges with the wall: M. Bouzidi, M. Firdaouss and P. Lallemand, "Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries", Physics of Fluids 13, 3452–3459 (2001).
Steady flow past a cylinder computed up to Re 100, with the drag, the surface pressure and the separation bubble, which first appears just below Re 7: S. C. R. Dennis and G.-Z. Chang, "Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100", Journal of Fluid Mechanics 42, 471–489 (1970).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.