Lei de Poiseuille e Escoamento em Tubos

Defina um raio, um comprimento e uma pressão para ver quanto o tubo transporta e a partir de que ponto a lei deixa de descrever o que ocorre no seu interior.

Exemplo resolvido — Lei de Poiseuille e Escoamento em Tubos

Caudal	120,4 L/min
Velocidade média	39,9 m/s
Número de Reynolds	318.404
Regime de escoamento	Turbulento
Resistência hidráulica	9,96 × 10⁷ Pa·s/m³
Raio necessário	3,3605 mm
Regime nesse raio	Turbulento

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Lei de Poiseuille e Escoamento em Tubos

A lei de Poiseuille dita o que uma diferença de pressão consegue fazer num tubo: Q = πΔp r⁴ / (8ηL). A quarta potência explica tudo e provém de dois fatores em simultâneo. Um tubo mais largo dispõe de maior secção transversal para transportar o fluido. Paralelamente, o fluido que passa no centro está mais afastado da parede que cria a resistência. O primeiro fator dá-nos r², o segundo outro r².

O que significa cada símbolo

Q: caudal volumétrico, o volume que sai por segundo
Δp: a diferença de pressão que o impulsiona
r: o raio do tubo, o termo que surge elevado à quarta potência
L: o seu comprimento, ao qual o caudal é inversamente proporcional
η: a viscosidade do fluido

Falha quando: Pensemos no sangue, o exemplo a que todos recorrem. O sangue não é newtoniano — a sua viscosidade diminui sob tensão de corte. Uma artéria é elástica em vez de rígida e o caudal é pulsátil, não contínuo. O estreitamento de 30% referido nesta página apresenta a forma certa da resposta, mas o número errado para qualquer paciente real.

Estreitar uma artéria em 30% reduz o caudal em 76% 🖖

O caudal num tubo cilíndrico varia com a quarta potência do raio. Reduzir o raio a metade não divide o caudal por dois, nem por quatro: divide-o por 16. E por 16,0000 em vez de um valor aproximado, porque r⁴ é o único termo dependente do raio em Q = πΔP·r⁴ / 8ηL e nada mais se altera na fórmula.

Prima Tubo fino (meio milímetro de raio, um metro de tubo, 5 000 Pa) e a linha do caudal mostrará 7,351 mL/min. Prima Metade do raio e o valor passa a 0,459 mL/min, que é o primeiro número dividido por 16 e arredondado.

Pequenas alterações têm um impacto tremendo. Retirar 10% a um raio implica perder 34,4% do caudal. Ao retirar 30%, restam apenas 24,0%, que é exatamente o que as duas predefinições para o sangue fazem na ferramenta: de 2 mm para 1,4 mm sob a mesma pressão de 200 Pa, o que resulta numa perda de 76,0%.

Uma conduta de água com 10% de calcário ainda fornece cerca de dois terços do seu caudal e ninguém reclama. Uma artéria com um estreitamento de 10% obedece à mesma aritmética, mas não tem esses dois terços de margem. Poiseuille era médico. Mediu a quarta potência na década de 1840 ao forçar a passagem de líquidos por tubos estreitos, tentando perceber o movimento do sangue.

Mais 18,92% de raio vale o dobro da pressão 🖖

Q varia linearmente com ΔP e com a quarta potência de r. Existem, assim, duas formas de duplicar um caudal, mas custam coisas muito diferentes.

Considere a predefinição laminar da água: 0,5 mm de raio, 1 m de comprimento, 5 000 Pa. A linha do caudal indica 7,351 mL/min. Ao aumentar a pressão para 10 000 Pa, o valor sobe para 14,703. Em alternativa, se mantiver a pressão e alargar o raio para 0,5946 mm (mais 18,92%), o resultado será 14,702. A milésima que falta corresponde ao resto de 2^1/4 = 1,1892071, omitida ao digitar apenas quatro casas decimais.

Saber a qual das opções se pode recorrer não é uma questão de física. A pressão da rede pública pertence à companhia das águas, e um coração capaz de duplicar o seu débito a pedido não seria aquele com que nos devêssemos preocupar.

Re 318 404: o caudal inicial desta página é ficção 🖖

A página arranca com água num tubo de 4 mm de raio e 10 m de comprimento, empurrada por 2 bar. A lei de Poiseuille devolve 120,4 L/min e a aritmética subjacente é inquestionável. Esse caudal implica uma velocidade média de 39,9 m/s, cerca de 144 km/h de água, e um número de Reynolds de 318 404 (aproximadamente 138 vezes o teto de 2300 abaixo do qual a lei se verifica).

Acima desse limite, o escoamento deixa de ser laminar. A energia perde-se para remoinhos, além do cisalhamento viscoso. Na realidade, um tubo sob 2 bar transporta muito menos do que 120,4 L/min. A fórmula não possui qualquer termo capaz de o detetar.

Por conseguinte, as linhas do caudal, do número de Reynolds e do regime de escoamento ficam vermelhas, e o gráfico sombreia tudo o que tenha um raio superior a 0,7732 mm, retirando-lhe a cor verde. Reduza o tubo para 0,77 mm e a ferramenta voltará a ficar verde: Re 2271, laminar, um resultado em que pode confiar. Todas as outras predefinições desta página já cumprem essa condição.

Problema resolvido na íntegra

O preço que o coração teria de pagar 7 passos
Uma porção de artéria com 10 cm de comprimento e 2 mm de raio transporta sangue (η = 3,5 × 10⁻³ Pa·s, ρ = 1060 kg/m³) sob uma queda de pressão de 200 Pa. A placa de ateroma estreita a secção em 30%, passando o raio para 1,4 mm. Determine o caudal restante e, de seguida, a queda de pressão necessária para devolver o caudal original ao vaso estreitado.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comece pelo vaso saudável e mantenha tudo no Sistema Internacional. Raio de 2 × 10⁻³ m, comprimento de 0,1 m, 200 Pa de pressão, sangue a 3,5 × 10⁻³ Pa·s. A quarta potência do raio é 1,6 × 10⁻¹¹ m⁴ e a expressão completa resulta em 3,590 × 10⁻⁶ m³/s, o que corresponde a 0,2154 litros por minuto.
  
  $Q_{0} = \frac{π Δ P r _{0}^{4}}{8 η L} = \frac{π \cdot 200 \cdot ( 2 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{4}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} m^{3} /s$
2. Agora reduza o vaso. O comprimento, a pressão e o sangue mantêm-se intactos. A razão entre os dois caudais é a razão entre os termos r⁴ e de mais nada na fórmula. Dividir 1,4 por 2 dá 0,7, e 0,7⁴ é 0,2401. Uma secção que à vista parece quase normal transporta agora 24,01% da sua capacidade. A linha do Caudal indica 51,723 mL/min.
  
  $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{r _{1}}{r _{0}})^{4} = 0. 7^{4} = 0.2401 \Rightarrow Q_{1} = 8.621 \times 1 0^{- 7} m^{3} /s = 51.723 mL/min$
3. A velocidade média é esse caudal distribuído pela secção. Dividir Q por πr² anula duas das quatro potências, restando v̄ = ΔP r²/(8ηL). A velocidade decai com o quadrado, enquanto o caudal cai com a quarta potência. Neste caso, o resultado é de exatamente 0,140 m/s, algo que a linha da Velocidade média confirma.
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{Q _{1}}{π r _{1}^{2}} = \frac{Δ P r _{1}^{2}}{8 η L} = \frac{200 \cdot ( 1.4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 0.140 m/s$
4. Antes de confiar nos resultados, comprove que a lei é aplicável. A dedução de Poiseuille pressupõe um escoamento laminar, e o teste é o número de Reynolds assente no diâmetro: 119, contra um limite de 2300. A linha do Regime de escoamento diz Laminar. Note a direção para onde o estreitamento empurrou o sistema. Coloque o valor 2 de volta no campo do raio e o Re passa a 346, pelo que estrangular o fluxo tornou a aritmética mais segura, e não mais incerta.
  
  $Re = \frac{ρ v ˉ D}{η} = \frac{1060 \cdot 0.140 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 118.7 < 2300$
5. A mesma quarta potência rege a resistência. R = 8ηL/πr⁴ é a pressão que um vaso exige por cada unidade de caudal, e a linha da Resistência hidráulica mostra 2,32 × 10⁸ Pa·s/m³, quando na artéria saudável indicava 5,57 × 10⁷. O fator entre os dois é 4,1649, que corresponde ao inverso de 0,2401.
  
  $R = \frac{8 η L}{π r ^{4}} : R_{0} = 5.57 \times 1 0^{7}, R_{1} = 2.32 \times 1 0^{8} Pa s/ m^{3}, \frac{R _{1}}{R _{0}} = \frac{1}{0.2401} = 4.1649$
6. Q = ΔP/R é o rearranjo da lei de Poiseuille, sendo esta a regra com que a circulação tem de viver. Manter o Q nos saudáveis 3,590 × 10⁻⁶ m³/s através da nova resistência tem um custo de ΔP = Q₀R₁ = 833 Pa. O caudal varia de forma linear com a pressão. A queda de pressão tem, por isso, de subir exatamente pelo mesmo fator que a resistência: 200 × (10/7)⁴, sendo que (10/7)⁴ equivale a 10 000/2401.
  
  $Δ P_{1} = Q_{0} R_{1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} \cdot 2.320 \times 1 0^{8} = 833 Pa$
7. Confronte a resposta com a sua premissa inicial. A 833 Pa, a velocidade média no vaso estreitado é 0,583 m/s e o número de Reynolds é 494, perfeitamente abaixo de 2300. A lei que produziu o número mantém-se válida no estado que previu. Digite 833 no campo da pressão mantendo o raio a 1,4 mm e a linha do Caudal regressará aos 0,22 L/min, o ponto de partida da artéria saudável.
  
  $\overset{v}{ˉ}_{1} = 0.583 m/s, Re_{1} = \frac{1060 \cdot 0.583 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 494 < 2300$
Resposta

833 Pa, contra os 200 Pa de que o vaso saudável precisava. É quatro vezes e um sexto da pressão motriz, para mover os mesmos litros por minuto através de uma secção 0,6 mm mais estreita. A ferramenta responder-lhe-á à outra inversão: escreva 0,2154 na caixa do caudal pretendido e a linha do Raio necessário apresentará 1,9999 mm, que devolve a artéria saudável e representa a solução de um cirurgião em vez da de um coração. Nenhuma funcionalidade na página resolve o problema pela pressão, mas a pressão é precisamente a metade que um corpo tem de encontrar.

$Δ P_{1} = Δ P_{0} (\frac{r _{0}}{r _{1}})^{4} = 200 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2401} = 833 Pa$

Referências (1)

The measurements the fourth power came out of, made by a physician looking for how blood moves: J. L. M. Poiseuille, "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres." Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France 9, 1846, pp. 433–544.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.