Lei de Darcy e Fluxo Subterrâneo

Escolha um material e uma diferença de carga para ver o volume de água que o atravessa, a velocidade real da água e onde a lei deixa de ser válida.

Exemplo resolvido — Lei de Darcy e Fluxo Subterrâneo

Gradiente hidráulico	0,0010
Fluxo de Darcy	1,000 × 10⁻⁸ m/s
Vazão	1,000 × 10⁻⁸ m³/s
Velocidade da água nos poros	2,857 × 10⁻⁸ m/s
A água supera o fluxo em	2,86×
Tempo de percurso	1.109 anos
Número de Reynolds nos poros	1,4949 × 10⁻⁶
Maior gradiente que mantém Re ≤ 1	668,9374

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Lei de Darcy e Fluxo Subterrâneo

A lei de Darcy afirma que o fluxo através de um meio poroso é proporcional à perda de carga ao longo dele e inversamente proporcional à distância em que essa perda ocorre: Q = K A Δh/L. A constante K é a condutividade hidráulica. Ela pertence ao meio e ao fluido de forma conjunta, não sendo exclusiva da rocha. Isole a influência do fluido com k = Kμ/(ρg). O que sobra é a permeabilidade intrínseca, uma propriedade que depende apenas da geometria dos poros. É por isso que o mesmo arenito é expresso em m/s por um hidrogeólogo e em darcys por um engenheiro de petróleos: eles estão avaliando os mesmos poros, mas com fluidos diferentes dentro deles.

Pressupõe: Fluxo saturado, permanente e laminar através de um meio que seja uniforme na escala do percurso de fluxo. As seis condutividades apresentadas aqui são números redondos representativos, e não medições exatas. Cada um destes materiais abrange pelo menos duas ordens de grandeza nas compilações publicadas, pois o termo areia designa o tamanho de um grão e não uma rocha. As porosidades indicadas são as totais. Isso faz com que a velocidade nos poros seja a mais lenta que os dados permitem. O transporte acompanha a fração conectada, que é ainda menor.

324 dias no cascalho, 634 milhões de anos no granito 🖖

Pressione Aquífero de areia: um metro de carga através de um quilômetro de areia fina, e a linha do tempo de percurso indica 1.109 anos. Agora, clique nos botões dos materiais e não altere mais nada. O cascalho faz o mesmo quilômetro em 324,1 dias. O silte leva 1,426 × 10⁵ anos, a argila 1,584 × 10⁷ e o granito maciço 6,338 × 10⁸.

Uma única coluna é responsável por tudo isso. A condutividade hidráulica vai de 10⁻² m/s no cascalho a 10⁻¹² m/s no granito, dez potências de dez. O fluxo, a velocidade, o tempo de percurso e o número de Reynolds decorrem todos dela. Henry Darcy não procurava uma lei quando descobriu a relação. Ele estava construindo o sistema de abastecimento de água de Dijon e precisava saber a rapidez com que os seus filtros de areia operariam. O detalhe acabou num apêndice do relatório de 1856 sobre as fontes da cidade.

Essa amplitude explica por que o engenheiro de aterros sanitários e o perfurador de poços usam a mesma equação sem nunca precisarem conversar. Um deles paga para reduzir K até o limite da compactação. O outro paga para encontrar o maior K que conseguir perfurar.

A água está 2.060 anos à frente do fluxo 🖖

Pressione Aquífero de areia novamente. O tempo de percurso indica 1.109 anos. A linha Fluxo de Darcy logo acima exibe 1,000 × 10⁻⁸ m/s, e um quilômetro dividido por isso resulta em 3.169 anos. Ambos são cálculos corretos, porém apenas um deles é um tempo de percurso autêntico.

O fluxo é a vazão dividida por toda a seção transversal, incluindo os grãos. É, portanto, um fluxo por unidade de solo e não a velocidade de algo físico: a maior parte dessa seção transversal é quartzo. Faça a mesma vazão passar pelos 35% que correspondem aos poros e a água mover-se-á 1/n vezes mais depressa. É isso que a linha A água supera o fluxo em imprime. Ela mostra 2,86 aqui, e 2,86 é exatamente a razão entre os dois tempos de percurso.

O local onde o fator é maior não é o que se imaginaria. O cascalho tem a menor porosidade dos cinco sedimentos, com 0,28, fazendo a sua água correr a 3,57 vezes o fluxo. A argila, que retém mais água com 0,50, corre apenas ao dobro. O extremo é o granito, onde 2% de porosidade faz com que a pouca água existente viaje cinquenta vezes mais rápido do que o fluxo sugere.

O tempo de percurso aqui constitui uma estimativa tardia, e de forma deliberada. O transporte segue o espaço poroso conectado e não o total. Na argila, uma grande fração da água fica aderida às superfícies minerais e nunca sai do lugar. Um traçador não sorvente, como o cloreto, chega mais depressa do que esta página estipula. Um composto que adira à argila pode atrasar-se décadas a mais. O modelo não computa nenhuma dessas correções.

Um dreno de cascalho com declive de um para vinte já ultrapassa a lei 🖖

Pressione Dreno de cascalho: um metro de carga em vinte metros de cascalho limpo, o que representa um dreno de solo comum. A linha de Reynolds marca 4,9830 perante um teto de 1. O painel à direita sombreia tudo além do gradiente em que esse teto cai.

A lei de Darcy é linear. Essa linearidade é uma premissa com um preço de admissão. Substituir q = Ki em Re = ρqd/μ resulta em Re(i) = ρKdi/μ, que é linear em i. O gradiente no qual qualquer limiar é atingido pode ser escrito diretamente em vez de procurado: i_max = Re_maxμ/(ρKd). Para este cascalho, a linha diz 0,0100, uma queda de um metro em cem. Aplique o mesmo metro de carga em 100 m e o Re é 0,9966, mesmo no limite interno. Em 20 m, o valor passa a 4,9830. Em 1 m, sobe para 99,6605.

O cascalho é o único dos seis materiais cujo teto se situa num gradiente que alguém construiria. A areia grossa atinge Re = 1 num gradiente de 2,0068, que se encontra numa coluna de laboratório e não num aquífero. A areia fina atinge-o em 668,9374. A argila chega lá aos 5,0170 × 10⁸, um número cuja única leitura honesta é que a argila nunca abandonará a lei de Darcy.

Após o teto, o fluxo continua a subir em função do gradiente, mas perde a proporcionalidade. A inércia nos poros passa a assumir uma fatia da pressão que antes cabia apenas ao arrasto viscoso. Isso faz com que a vazão impressa por esta página para o dreno de cascalho seja demasiado alta. A equação de Forchheimer acrescenta um termo quadrático ao formato linear de Darcy. É essa a ferramenta de eleição do engenheiro de drenagem.

Problema resolvido na íntegra

O que atravessa um revestimento de aterro 7 passos
Um aterro sanitário possui um revestimento de argila compactada de 600 mm: condutividade hidráulica de 10⁻⁹ m/s, porosidade de 0,50. O sistema de coleta retém 300 mm de lixiviado sobre ele e a base do revestimento drena livremente. Calcule quanto tempo a água demora a atravessar a argila. Em seguida, determine o volume que sai de um hectare do revestimento ao longo de uma vida útil de trinta anos.

Abrir este problema na ferramenta
1. O gradiente dita onde este problema é ganho ou perdido. A carga hidráulica é a elevação mais a pressão, por isso meça ambas a partir da base do revestimento. O topo do lixiviado assenta 0,6 m de argila mais 0,3 m de líquido acima desse referencial, o que dá 0,9 m de carga. A base drena livremente à pressão atmosférica, ou seja, zero. Perdem-se assim 0,9 m de carga num percurso com 0,6 m de comprimento. Se dividir 0,3 por 0,6, terá contabilizado o líquido mas ignorado o peso da água contida na própria argila. Essa água representa dois terços da força que impulsiona o fluxo.
  
  $i = \frac{Δ h}{L} = \frac{0 . 3 + 0 . 6}{0 . 6} = \frac{0 . 9 m}{0 . 6 m} = 1.5$
2. A lei de Darcy na sua forma de fluxo: multiplique a condutividade pelo gradiente. A linha Fluxo de Darcy indica 1,500 × 10⁻⁹ m/s, um número impossível de se intuir. Vamos estendê-lo para um ano. Multiplicado por 3,15576 × 10⁷ segundos, torna-se 0,047336 m de água por ano através de cada metro quadrado, o que resulta em 47,34 litros por metro quadrado ao ano. O órgão regulador escreve a especificação sob a forma de condutividade. Na prática, este é o resultado que a especificação entrega.
  
  $q = K i = 1 0^{- 9} \cdot 1.5 = 1.500 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1} ⟹ q \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 0.047336 m y r^{- 1} = 47.34 L m^{- 2} y r^{- 1}$
3. Esse fluxo não é uma velocidade. Ele divide a vazão por todo o metro quadrado, incluindo a parte sólida. Metade de uma argila tão porosa é sólida. A água é empurrada através da metade correspondente aos poros e move-se ao dobro do fluxo: Velocidade da água nos poros indica 3,000 × 10⁻⁹ m/s, e a linha imediatamente abaixo marca 2,00×. A argila oferece o menor fator desse tipo entre todos os materiais desta página. Tem, afinal, o maior espaço poroso para distribuir a mesma vazão.
  
  $v = \frac{q}{n} = \frac{1 . 500 \times 1 0 ^{- 9}}{0 . 50} = 3.000 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1}, \frac{v}{q} = \frac{1}{n} = 2.00$
4. Passemos à travessia. Seiscentos milímetros a 3 × 10⁻⁹ m por segundo resultam em 2 × 10⁸ segundos. O Tempo de percurso converte isso em 6,34 anos. Use o fluxo no lugar da velocidade nos poros e obterá 12,68 anos. O erro é o mesmo de antes, custando o dobro exato da resposta certa.
  
  $t = \frac{L}{v} = \frac{0 . 6}{3 . 000 \times 1 0 ^{- 9}} = 2.000 \times 1 0^{8} s = 6.34 yr$
5. Questione se a lei era válida para dar a resposta, porque ela responderá de qualquer maneira. O número de Reynolds nos poros constrói-se com o fluxo de Darcy e um diâmetro de grão representativo, 2 × 10⁻⁶ m para a argila, resultando em 2,9898 × 10⁻⁹ perante um teto de 1. O gradiente necessário para atingir esse teto seria de 5,0170 × 10⁸: quinhentos milhões de metros de carga por metro de revestimento. Nenhuma alteração que se faça a uma argila nesta página a tirará da lei de Darcy.
  
  $Re = \frac{ρ q d}{μ} = \frac{998 . 2 \cdot 1 . 500 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{1 . 0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.9898 \times 1 0^{- 9} ≪ 1$
6. Troque o material e não altere mais nada. Os mesmos 600 mm sob os mesmos 0,9 m de carga, preenchidos com cada material que a página oferece, geram a coluna abaixo. O silte é um degrau mais grosso do que a argila e, mesmo assim, ninguém o consideraria permeável. É atravessado em três semanas. A razão de condutividade entre os dois é de exatamente cem. A razão do tempo de percurso é de 111. A diferença suplementar provém do fato de a argila reter mais água por metro cúbico para ser empurrada. O cascalho completa o percurso em onze segundos e fá-lo a Re = 149,49, ponto em que o número já não significa nada.
  
  $fill gravel coarse sand fine sand silt clay granite q (m s^{- 1}) 1.50 \times 1 0^{- 2} 7.50 \times 1 0^{- 4} 1.50 \times 1 0^{- 5} 1.50 \times 1 0^{- 7} 1.50 \times 1 0^{- 9} 1.50 \times 1 0^{- 12} t 11.2 s 4.3 min 3.9 h 20.8 d 6.34 yr 254 yr Re 149.49 0.747 2.24 \times 1 0^{- 3} 2.99 \times 1 0^{- 6} 2.99 \times 1 0^{- 9} 1.49 \times 1 0^{- 12}$
7. A página esgotou as suas informações. O projetista, no entanto, continua sem o seu número. O fluxo exprime-se por metro quadrado e a área de um aterro não se resume a um metro quadrado. Um hectare desse revestimento tem 10⁴ m², logo ele deixa passar 1,5 × 10⁻⁵ m³ por segundo, 473,4 m³ por ano e 14.200 m³ ao longo de uma vida útil de trinta anos. Isso equivale a quase seis piscinas olímpicas de lixiviado, atravessando um revestimento que opera rigorosamente de acordo com as especificações.
  
  $V = q A t = 1.500 \times 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{4} \cdot 30 \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 1.42 \times 1 0^{4} m^{3}$
Resposta

A água atravessa o revestimento de 600 mm em 6,34 anos. Um hectare do material deixa passar 14.200 m³ ao longo de trinta anos. Nenhum dos números representa uma falha. O revestimento atende à sua especificação até ao último dígito. Quando se converte os valores para uma unidade que a mente consegue visualizar, o significado prático daquela especificação é precisamente de 47 litros por metro quadrado ao ano.

A aritmética não resistirá, porém, à carga hidráulica. Coloque 3 m de lixiviado sobre o revestimento em vez de 0,3 m, o que acontece quando a camada de coleta entope. O gradiente saltará de 1,5 para 6. O fluxo é linear em relação ao gradiente, o que faz com que todos os números acima se multipliquem por quatro: 6,34 anos viram 1,58, e o volume de trinta anos sobe para 56.800 m³. O limite de 300 mm imposto pela regulamentação não é, na verdade, uma afirmação sobre o revestimento. Assim que a argila é instalada no solo, a carga converte-se no único termo da equação que os responsáveis ainda podem alterar.

$Δ h : 0.9 \to 3.6 m ⟹ i : 1.5 \to 6, t = \frac{6 . 34}{4} = 1.58 yr, V = 4 V_{0} = 5.68 \times 1 0^{4} m^{3}$

Referências (3)

The experiment itself, in an appendix to a report about a city's water supply: H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris, 1856.
Where the conductivity and porosity ranges for real materials are compiled: R. A. Freeze and J. A. Cherry, Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979.
The Reynolds-number convention used here, and where the linear law stops: J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, 1972. Reprinted by Dover, 1988.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.