Velocidade Terminal e Lei de Stokes

Defina um raio, um material e um fluido para ver a rapidez com que uma esfera decanta e o tamanho a partir do qual a fórmula perde a validade.

Exemplo resolvido — Velocidade Terminal e Lei de Stokes

Sentido	afunda
A lei de Stokes prevê	0,8985 m/s
Número de Reynolds da esfera	895,4
Previsão por arrasto quadrático	0,2146 m/s
Maior raio coberto pela lei de Stokes	5,19 × 10⁻⁵ m
A sua velocidade terminal	0,009671 m/s

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Velocidade Terminal e Lei de Stokes

A velocidade terminal é atingida quando uma esfera em queda deixa de acelerar, pois o arrasto cresceu até se igualar ao seu peso no fluido. Trata-se do peso menos o empuxo. Logo, o que importa é a diferença de densidades e não a densidade em si. A lei de arrasto aplicável dependerá da velocidade já alcançada pelo corpo. A lei de Stokes, na qual o arrasto é proporcional à velocidade, mantém-se válida enquanto o escoamento ao redor da esfera for laminar.

O que significa cada símbolo

Δρ: a densidade da esfera menos a densidade do fluido
μ: a viscosidade dinâmica do fluido

Pressupõe: Uma esfera rígida e perfeitamente lisa, isolada, num fluido infinito. Num cilindro graduado, cada uma dessas premissas falha: as paredes retardam a sedimentação, as partículas vizinhas alteram o escoamento umas das outras, e um grão de areia não é uma esfera.

O número de Reynolds é 895,4; a lei de Stokes exige Re ≤ 1 🖖

Pressione Grão areia 1 mm em água. A lei de Stokes prevê 0,8985 m/s, e nada parece estar errado. A areia afunda. Um grão desta dimensão a decantar a cerca de um metro por segundo insere-se na ordem de grandeza esperada. A linha de baixo indica 895,4. É o número de Reynolds do próprio grão à velocidade referida. A lei de Stokes foi deduzida para escoamento rasteiro. Mantém-se válida com um erro de poucos pontos percentuais apenas enquanto Re se situar abaixo de cerca de 1. O escoamento começa a descolar na retaguarda da esfera perto de Re = 20. Este grão está a gerar um rasto.

A equação v = 2r²Δρg / (9η) não contém nenhum termo capaz de impor limites. Responde com a mesma compostura quer para Re = 895 quer para Re = 0,001. A linha da previsão por arrasto quadrático apresenta 0,2146 m/s para o mesmo grão. É um valor quatro vezes mais lento e essa estimativa não é mais segura. Um Re = 895 cai na faixa entre as duas leis, onde nenhuma delas é exata e não existe qualquer forma fechada.

O limite é uma raiz cúbica e o gráfico destaca-o 🖖

Substituir a velocidade de Stokes de volta no número de Reynolds colapsa a expressão numa única potência do raio: Re(r) = 4gρ_fΔρr³ / (9η²). Se igualarmos isto a 1, o raio surge isolado como r³ = 9η² / (4gρ_fΔρ). O Re sobe monotonicamente com r. Existe exatamente uma raiz positiva e não há nada para pesquisar. Para areia de quartzo em água o valor é 5,19 × 10⁻⁵ m, com uma decantação a 0,009671 m/s. Pressione Areia no limite Re = 1 e a linha de Reynolds mostrará 1,0000. Stokes deduziu o arrasto em que este cálculo se baseia em 1851, num artigo que questionava a razão pela qual um pêndulo oscila de forma diferente no ar e no vácuo. A esfera foi um resultado secundário.

O gráfico delimita esse raio a vermelho e sombreia toda a área para lá dele. Ambas as previsões estão desenhadas ao longo de todo o domínio. Em eixos log-log as suas inclinações diferem: 2 para a lei de Stokes contra ½ para o arrasto quadrático. As duas linhas cruzam-se uma vez e separam-se em ambas as direções a partir dessa intersecção. Mude o fluido para mel e a fronteira vermelha avança para 0,02360 m. Temos agora uma bola de areia com 2,4 cm de raio que ainda decanta em escoamento rasteiro. Isto acontece porque a viscosidade do mel é quatro ordens de grandeza superior à da água.

A velocidade varia com r², o número de Reynolds com r³ 🖖

Leia as duas fórmulas pelas suas potências de r. A velocidade de Stokes acarreta r². Um grão dez vezes mais largo decanta cem vezes mais depressa. O número de Reynolds volta a multiplicar essa velocidade pelo diâmetro, o que o coloca em r³. Ao ser dez vezes mais largo, o número de Reynolds é mil vezes maior. Arraste o controlo deslizante e observe ambas as linhas. Areia com 5 µm de raio em água decanta a 8,98 × 10⁻⁵ m/s com Re = 8,95 × 10⁻⁴. Aos 50 µm decanta a 0,008985 m/s com Re = 0,8954.

Este cubo é o motivo que leva a janela útil a fechar de forma tão rápida. A areia na água deixa a lei de Stokes aos 5,19 × 10⁻⁵ m e chega ao regime de Newton aos 5,19 × 10⁻⁴ m. Passa-se exatamente uma década, uma vez que 1000 é 10³. Em diâmetros, são os 0,104 mm e 1,04 mm. Na escala de Wentworth, isto abrange desde areia muito fina a areia muito grossa. A totalidade da faixa intermédia cabe dentro de uma única década do controlo deslizante.

Problema resolvido na íntegra

O tempo que um grão de quartzo demora a decantar em 2 m de água parada 7 passos
Pressione Grão areia 1 mm em água. A lei de Stokes devolve 0,8985 m/s e devolverá um valor para qualquer grão que lhe forneça. Mas será que é válida? Se não for, determine o grão mais grosso para o qual a lei é válida e cronometre a sua queda ao longo de uma coluna de 2 m de água parada.

Abrir este problema na ferramenta
1. Uma única subtração estabelece tudo o que vem a seguir. O quartzo tem 2650 kg/m³ e a água a 20 °C tem 998,2. O grão pesa mais do que a água que desloca, pelo que a linha Sentido indica afunda. O que o puxa para baixo é a diferença de densidades, não a densidade do grão por si só. Se colocar o mesmo grão em glicerol a 1261 kg/m³, a força motriz cai de 1651,8 para 1389. A lei de Stokes é diretamente proporcional a este valor. A fórmula do arrasto quadrático mais abaixo varia com a sua raiz quadrada.
  
  $Δ ρ = ρ_{s} - ρ_{f} \Rightarrow 2650 - 998.2 = 1651.8 kg m^{- 3}$
2. À velocidade terminal a força resultante é zero. O peso menos a impulsão iguala o arrasto. A lei de Stokes considera que este arrasto é 6πηrv, e a resolução em ordem a v gera a linha A lei de Stokes prevê. A fórmula pede um raio, logo um grão de 1 mm de diâmetro entra como 5×10⁻⁴ m. A ferramenta imprime 0,8985 m/s.
  
  $v = \frac{2 r ^{2} Δ ρ g}{9 η} = \frac{2 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.8985 m s^{- 1}$
3. Importa agora perguntar se a fórmula estava autorizada a responder. Stokes deduziu-a para escoamento rasteiro. A grandeza que determina se o escoamento é rasteiro é o número de Reynolds do próprio grão, construído a partir da velocidade que acabou de calcular. A dimensão linear no número de Reynolds é o diâmetro, 2r. É aqui que costuma faltar um fator dois. A linha Número de Reynolds da esfera indica 895,4 contra um teto de 1. A linha Regime nomeia a faixa em que o grão se encontra. Trata-se do regime Intermédio (1 < Re ≤ 1000). Nenhuma forma fechada é exata neste intervalo, e os engenheiros utilizam, em alternativa, correlações empíricas.
  
  $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 r )}{η} = \frac{( 998.2 ) ( 0.8985 ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} )}{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 895.4 \Rightarrow 1 < R e \leq 1000$
4. A outra fórmula que consta dos manuais é o arrasto quadrático, com C_d ≈ 0,47 para uma esfera lisa. É a equação exata de Re = 1000 até cerca de 2×10⁵. A linha Previsão por arrasto quadrático indica 0,2146 m/s. Um só grão, duas fórmulas, um fator de 4,19 entre as respetivas respostas. O grão fica fora do domínio de ambas. Nenhum dos valores corresponde à velocidade de decantação de um grão de areia de 1 mm.
  
  $v_{N} = \frac{8 r g ∣ Δ ρ ∣}{3 C _{d} ρ _{f}} = \frac{8 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ( 9.80665 ) ( 1651.8 )}{3 ( 0.47 ) ( 998.2 )} = 0.046035 = 0.2146 m s^{- 1} \frac{0.8985}{0.2146} = 4.187$
5. Vamos então descobrir o grão para o qual a página pode dar uma resposta. Substituir o v de Stokes no número de Reynolds deixa apenas uma função do raio. Esta função é proporcional a r³ e, por conseguinte, estritamente crescente. A condição Re = 1 tem exatamente uma raiz positiva e pode ser escrita de forma direta em vez de ser pesquisada. A linha Maior raio coberto pela lei de Stokes apresenta 5,19×10⁻⁵ m. Estamos a falar de um grão com 0,104 mm de diâmetro. Encontra-se na ponta fina daquilo a que qualquer um chamaria areia.
  
  $R e (r) = \frac{4 g ρ _{f} Δ ρ r ^{3}}{9 η ^{2}} = 1 \Rightarrow r_{m a x} = 3 \frac{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4 ( 9.80665 ) ( 998.2 ) ( 1651.8 )} = 3 1.3960 \times 1 0^{- 13} = 5.1875 \times 1 0^{- 5} m$
6. A linha A sua velocidade terminal indica 0,009671 m/s. Se levar a raiz não arredondada para essa linha: 51,8 µm devolve 0,009643 m/s. Nessa situação, o raio e a velocidade não se encontrariam na mesma curva. O grão na fronteira de validade decanta 93 vezes mais devagar do que a lei de Stokes alegava para o grão de 1 mm, e aqui a ferramenta não pode ir mais longe. Dividir 2 m por esta velocidade significa que o grão necessita de 206,8 segundos, ou seja, três minutos e vinte e sete segundos. Nenhuma linha nesta página imprime tempos.
  
  $v (r_{m a x}) = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.009671 m s^{- 1} t = \frac{2}{0.009671} = 206.8 s$
7. Essa divisão pressupôs que o grão já se encontrava a 0,009671 m/s no momento em que foi largado. Se linearizarmos a queda com m·dv/dt = W_b − 6πηrv, a aproximação à velocidade terminal é exponencial com a constante de tempo τ = m/(6πηr). Quando a massa é explicitada, este termo converte-se em 2r²ρ_s/(9η). Se contabilizarmos apenas a inércia do próprio grão, temos 1,582 milissegundos. A distância que perde enquanto acelera é vτ = 15,3 µm. Isto equivale a menos de oito partes por milhão da coluna de água. A adição da inércia da água deslocada eleva τ para 1,88 ms e não afeta nada que se pudesse cronometrar.
  
  $τ = \frac{2 r _{m a x}^{2} ρ _{s}}{9 η} = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 2650 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 1.582 \times 1 0^{- 3} s v τ = 0.009671 \times 1.582 \times 1 0^{- 3} = 1.530 \times 1 0^{- 5} m$
Resposta

A lei de Stokes cobre o quartzo na água até um raio de 51,9 µm, e esse grão atravessa 2 m em 3 minutos e 27 segundos. O grão de 1 mm com que começou não obtém resposta alguma. As suas duas fórmulas apontam para 2,2 segundos e 9,3 segundos. Nada na página lhe diz em que lado deve acreditar.

Aqueles 206,8 segundos são o que converte uma coluna de decantação num instrumento. Misture uma amostra de silte em água parada. Extraia com uma pipeta a uma profundidade fixa ao fim de um tempo predeterminado e a lei de Stokes transforma o relógio num tamanho de grão. Este é o método da pipeta. Continua a ser assim que se determina a dimensão da fração de silte e argila de um solo. Funciona enquanto o Re se mantiver abaixo de 1. Para o quartzo em água, isto significa um raio inferior a cerca de 52 µm. Acima desse limite, a cronometragem é igualmente repetível, mas o tamanho que relata está errado.

$t = \frac{h}{v} = \frac{9 η h}{2 r ^{2} Δ ρ g}$

Referências (1)

Where the drag on a slow-moving sphere comes from — a paper about pendulums: G. G. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1851, pp. 8–106.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.