Empuxo e Princípio de Arquimedes

Um barco num tanque e um bloco de carga que pode estar a bordo ou na água. A página calcula a profundidade a que o barco assenta, onde o nível da água se encontra e quanto esse nível se altera quando a carga sai do barco.

Exemplo resolvido — Empuxo e Princípio de Arquimedes

Massa suportada pelo barco	160,0 kg
Líquido deslocado pelo barco	160,29 L
Empuxo sobre o casco	1.569,6 N
Profundidade a que o casco mergulha	100,2 mm
Líquido deslocado pela carga, através do casco	40,07 L
Altura da superfície da água acima do fundo	1,0267 m
Variação do nível quando a carga vai para a água	−5,83 mm
Quanto o barco sobe nessa altura	25,0 mm

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Empuxo e Princípio de Arquimedes

Princípio de Arquimedes: um corpo total ou parcialmente submerso num fluido sofre uma força vertical ascendente, o empuxo, igual ao peso do fluido que desloca, F_b = ρgV. A força resulta da pressão. O líquido exerce mais pressão na base do corpo do que no topo, porque a base encontra-se a maior profundidade. Um corpo flutua quando o empuxo sobre a sua parte submersa iguala o seu peso. Assim, um corpo flutuante desloca exatamente a sua própria massa em líquido. Um corpo que se afunda não consegue deslocar mais do que o seu próprio volume. Qualquer porção do seu peso não suportada pelo empuxo ficará assente no fundo. Todos os valores nesta página provêm destas duas frases.

O que significa cada símbolo

ρ: densidade do líquido, em kg/m³: 998,2 para a água doce a 20 °C e 1025 para a água do mar
V: volume de líquido deslocado, em m³. Mil litros equivalem a um metro cúbico
F_b: o empuxo, ρgV, em newtons. Num corpo flutuante, é igual ao peso do mesmo
d: calado, a profundidade a que o casco mergulha: a sua massa a dividir por ρ vezes a área da base
A_t: área do fundo do tanque. Um volume adicionado abaixo da superfície faz subir o nível no equivalente a esse volume a dividir por A_t
A_b: área da base do casco, a área do seu fundo plano

Pressupõe: Considera um casco em forma de caixa, com fundo plano e paredes retas, bem como um tanque de paredes retas. Assim, um volume dividido por uma área corresponde a uma altura. O líquido encontra-se imóvel, é incompressível e possui densidade uniforme. Um bloco submerso corresponde a um cubo assente no fundo, afastado do casco e totalmente coberto de água. A conclusão avisa quando a água for demasiado rasa para o cobrir. A água do degelo assume a densidade da água doce a 20 °C e mantém o seu volume ao misturar-se com o mar. O valor de Noerdlinger e Brower ronda os 2,6%, em contraste com os 2,68% desta página. As densidades e a mistura explicam a diferença, já que esta página trata ambos de forma simples. A densidade do pinho assume o valor representativo de 500 kg/m³. Qualquer madeira que flutue resulta no mesmo zero.
Falha quando: Falha assim que o casco deixa de ser uma caixa. A área da linha de água de um barco real varia com a profundidade. O seu calado calcula-se integrando a forma do casco, e a subida do barco deixará de ser uma proporção simples. A variação do nível do lago mantém-se intacta, pois depende exclusivamente de volumes. A tensão superficial invalida a hipótese do tanque à justa nas escalas mais reduzidas, quando a folga em redor do casco for de um ou dois milímetros. A compressibilidade não afeta nada nestas profundidades. Poucos metros de água comprimem o líquido muito abaixo de qualquer valor que a página apresente. E um barco que deixa entrar água pelos bordos deixa de ser um barco. Ao ultrapassar a altura do casco, esta página declara o barco inundado em vez de simular o seu afundamento.

A âncora vai à água e o lago desce 🖖

Selecione Âncora no barco e depois Âncora no fundo. No barco, a âncora flutua acompanhando o casco. Qualquer corpo a flutuar desloca a sua própria massa em água: 40 kg de âncora equivalem a 40,07 litros. No fundo, desloca apenas o seu próprio volume. No caso do ferro a 7874 kg/m³, são 5,08 litros. Os 35 litros em falta, espalhados pelos 6 m² do lago, forçam a superfície a descer 5,83 mm. No mesmo instante, o barco sobe 25,0 mm. O olhar humano segue sempre aquilo que sobe. A tabela abaixo dos resultados aplica os mesmos 40 kg a seis materiais. O pinho e o gelo não alteram o nível. O ouro é o mais denso e faz o nível descer 6,33 mm. Fica muito próximo dos 6,68 mm que corresponderiam à perda total dos 40,07 litros.

O degelo mantém o nível num copo de água, mas sobe os oceanos 🖖

O gelo a flutuar em água doce desloca a sua própria massa de água. Quando derrete, transforma-se nessa mesma massa de água, deixando o nível intacto: a ferramenta exibe 0,000 mm para um bloco de qualquer dimensão. Na água do mar, as duas medidas deixam de coincidir. A predefinição Gelo na água do mar flutua 200 kg de gelo deslocando 195,12 litros de mar. O gelo derrete e origina 200 kg de água doce, a qual é menos densa do que o mar e ocupa 2,68% mais espaço. O nível sobe 0,873 mm. A densidade do gelo não entra neste cálculo. Apenas as duas águas importam. Noerdlinger e Brower estudaram este efeito nos oceanos em 2007. Situaram o excesso em cerca de 2,6%. Calcularam ainda que, caso todo o gelo marinho e as plataformas de gelo flutuantes derretessem, o nível do mar subiria cerca de 4 cm.

Uma tonelada de barco flutua em 50 kg de água 🖖

O empuxo sobre um casco equivale à pressão sob o mesmo multiplicada pela sua área. Essa pressão é dada por ρgh. Depende exclusivamente da profundidade do casco e não do volume de água circundante. O barco precisa apenas de água suficiente para preencher a folga ao seu redor até ao calado. A predefinição Uma tonelada à justa coloca um barco de 1000 kg com um casco de 2 m² num tanque de 2,1 m². A água mínima para o fazer flutuar é 50,00 kg. Divida este valor pela massa do barco e obtém 5,0%. Este valor representa a proporção entre a área da folga e a área do casco, 0,1 ÷ 2. A densidade e o peso anulam-se no cálculo. A secção Pressão em Profundidade exibe o mesmo princípio a partir de baixo. A força sobre uma base é definida pela profundidade da água acima dela. Um tubo estreito de água exerce sobre a sua base uma pressão equivalente a quase dez vezes o seu próprio peso.

Problema resolvido na íntegra

Baixe a âncora com uma corda. Quando é que o lago desce? 5 passos
O barco a remos da primeira predefinição, pesando 120 kg com uma âncora de ferro de 40 kg, num lago de 6 m². Em vez de atirar a âncora, opta por descê-la amarrada a uma corda até ficar suspensa na água. Mantém-na afastada do fundo e só depois a deixa assentar. O nível altera-se enquanto ela pende da corda? Quanto varia o nível ao tocar no fundo? Tome uma decisão antes de continuar a ler.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comece com tudo a bordo. O barco suporta 160 kg, logo desloca 160 kg de água:
  
  $V_{1} = \frac{120 + 40}{998 . 2} = 0.16029 m^{3} = 160.29 L$
2. O volume da própria âncora, e o empuxo que recebe quando debaixo de água, equivalem ao peso de 5,07 kg de água:
  
  $V_{a} = \frac{40}{7874} = 0.00508 m^{3} ρ V_{a} = 998.2 \times 0.00508 = 5.07 kg$
3. Suspensa na corda, a âncora é suportada em parte pela água e o restante pela corda. A corda carrega a diferença:
  
  $T = (40 - 5.07) g = 34.93 kg \times 9.81 = 342.65 N$
4. Essa tensão puxa o barco para baixo. O barco flutua agora com 154,93 kg. Some o líquido deslocado pelo casco ao volume deslocado pela âncora ao seu lado:
  
  $V_{2} = \frac{120 + 34 . 93}{998 . 2} + 0.00508 = 0.15521 + 0.00508 = 0.16029 m^{3} = V_{1}$
5. O total perfaz precisamente o valor com a carga a bordo. Agora deixe a âncora assentar no fundo. O solo assume os 34,93 kg retidos pela corda. O barco volta a flutuar apenas com os seus 120 kg de tara. A água liberta-se dessa parcela da carga:
  
  $V_{3} = \frac{120}{998 . 2} + 0.00508 = 0.12530 m^{3} Δ h = \frac{V _{3} - V _{1}}{A _{t}} = \frac{0 . 12530 - 0 . 16029}{6} = - 5.83 mm$
Resposta

Nenhum valor mexe enquanto a âncora se encontrar suspensa. A água carrega a totalidade dos 160 kg, distribuídos entre o casco e a âncora, tal como acontecia com a carga a bordo. O nível desce 5,83 mm no exato instante em que a âncora toca no fundo. A partir desse momento, é o solo que sustenta os 34,93 kg anteriormente a cargo da água. O nível final depende exclusivamente de quem suporta o peso. A passagem para o lado de fora do barco não representa o fator de mudança.

$V_{2} = V_{1} \Rightarrow Δ h = 0 V_{3} < V_{1} \Rightarrow Δ h = - 5.83 mm$

Referências (3)

The principle in Archimedes' own two halves: Proposition 5, a floating solid sinks until it displaces its own weight of fluid, and Proposition 7, a solid heavier than the fluid goes to the bottom and weighs less there by the weight of the fluid it displaces: T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897. On Floating Bodies, Book I, Propositions 5-7, pp. 257-258.
Why melting floating ice raises the sea, and by about how much: meltwater takes up about 2.6% more room than the seawater the ice displaced, and melting all sea ice and floating ice shelves would raise sea level about 4 cm: P. D. Noerdlinger and K. R. Brower, "The melting of floating ice raises the ocean level." Geophysical Journal International 170(1), 2007, pp. 145-150. DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03472.x
The density of ice, 916.72 kg/m³ at its normal melting point, from the international equation of state for ordinary ice: International Association for the Properties of Water and Steam, Revised Release on the Equation of State 2006 for H2O Ice Ih, IAPWS R10-06(2009). Doorwerth, The Netherlands, September 2009. Table 6.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.