Pressão em Profundidade

Escolha um recipiente, uma profundidade e um líquido. A página calcula a pressão na base, a força que essa pressão nela exerce e como essa força se compara com o peso do líquido que está acima.

Exemplo resolvido — Pressão em Profundidade

Densidade do líquido	998 kg/m³
Pressão na base	4,896 kPa
Área da base	0,0314 m²
Força do líquido sobre a base	153,8 N
O que o recipiente contém	15,708 L
Peso desse líquido	153,8 N
Força na base ÷ peso do líquido	1,000
Força na parede vertical por metro	1.224,0 N/m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Pressão em Profundidade

A pressão é a força distribuída por uma área, p = F/A, medida em pascais: um pascal é um newton sobre um metro quadrado. Num líquido em repouso, a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície é p = ρgh, onde ρ é a densidade do líquido e g é 9,81 m/s². Leia a fórmula e repare no que não está lá: não há nela qualquer área, nenhum volume, e nada sobre o recipiente. As três afirmações desta página decorrem dessa ausência. Cada pressão aqui é uma pressão manométrica, o que significa que é a quantidade que o líquido adiciona àquilo que já estiver a pressionar a sua superfície.

O que significa cada símbolo

p: pressão, em pascais. 1 Pa = 1 N/m², e um quilopascal corresponde a mil deles
ρ: densidade do líquido, em kg/m³. A única propriedade do líquido que aparece em toda esta página
h: profundidade abaixo da superfície, em metros. A profundidade, não a altura do recipiente nem a quantidade de líquido
A: a área sob pressão, em m². A pressão multiplicada pela área dá a força
g: 9,81 m/s², para que ρgh resulte em pascais

Pressupõe: Que o líquido está imóvel e a sua densidade é igual em todo o lado. Ambas as condições são válidas para a água num tanque, mas não para a atmosfera, e é por isso que esta página trata de líquidos e não de gases. A pressão atmosférica é omitida em todos os cálculos porque se anula: o ar empurra a superfície do líquido para baixo e a parte inferior da base para cima com os mesmos 101 kPa, logo, nunca entra na força que a base suporta. Um medidor de profundidade numa piscina funciona da mesma maneira, o que explica por que os valores aqui apresentados são os que mediria na prática.
Falha quando: Assim que o líquido se move. Um cano com fluxo obedece a Bernoulli em vez disto, e é em Bernoulli e o Efeito Venturi que se calcula a pressão que um fluido em movimento perde para a sua própria velocidade. Os fluidos compressíveis quebram a outra premissa: o ar reduz a sua densidade a metade a cada 5,5 km, de modo que ρgh com um ρ constante é incorreto para algo além de umas poucas dezenas de metros de atmosfera. Recipientes muito pequenos também a quebram: num tubo com cerca de um milímetro de diâmetro, a tensão superficial puxa o líquido para cima ou para baixo por uma altura que esta página simplesmente não modela. Por fim, a força na parede aqui considerada é por metro de uma parede vertical reta; uma barragem curva suporta a sua carga parcialmente através do arqueamento contra as encostas do vale, o que constitui um cálculo diferente e a razão pela qual as barragens em arco podem ser finas.

Quatro recipientes, quarenta e duas vezes a água, uma leitura 🖖

Prima Alargado, 68 litros e depois Tubo sobre disco, 1,6 litros. Mesma base, mesmo meio metro de água, e o volume altera-se por um fator de 42. A pressão marca 4,896 kPa nas duas vezes e a força na base é de 153,8 N em ambos os casos. Só a profundidade e a densidade entram em p = ρgh, e nenhuma delas sabe o que quer que seja sobre as paredes. A tabela abaixo simula os quatro recipientes em simultâneo, para que possa ver duas das suas colunas imóveis enquanto as outras se movem.

A base suporta mais do que o líquido pesa 🖖

O tubo num disco contém 1,606 litros (cerca de 1,6 kg) e a sua base suporta 153,8 N, o peso de 15,7 kg. Isso representa 9,78 vezes a água que ali repousa, e o recipiente alargado é a imagem invertida a 0,231. Nada está a ser criado: as paredes inclinadas empurram o líquido para baixo no recipiente afunilado e puxam-no para cima no alargado, e a diferença é exatamente o que a base sente. A demonstração com o nome de Pascal é isto levado ao extremo — algumas centenas de gramas de água num cano longo e estreito, e o barril na base rebenta — e o problema resolvido abaixo é esse mesmo barril, com os números.

O dobro da profundidade significa quatro vezes a carga na parede 🖖

A pressão na parede de uma barragem não é um número único, porque cresce do zero à superfície até ρgh no fundo. Em média, ao longo da parede, é metade do máximo, e a área molhada também cresce com a profundidade, logo, a força por metro de largura é ½ρgh²: um quadrado. Ao passar uma albufeira de 1 m para 2 m, a carga na parede vai de 4.896 para 19.585 N por metro, quatro vezes mais. É também por isso que uma barragem é espessa no fundo e estreita no topo: a resultante atua a um terço da base, e não a meio.

Problema resolvido na íntegra

O barril de Pascal: quanta força exerce meio litro de água sobre a tampa? 6 passos
Um barril selado possui uma tampa com 0,60 m de diâmetro. Um cano fino com 5 mm de raio é encaixado na tampa e cheio de água até uma altura de 5 m. Calcule a força que a água exerce na tampa e compare-a com o peso da água no cano, antes de continuar a ler. Prima Tubo num disco, 1,6 litros para ver a mesma situação a um décimo da escala.

Abrir este problema na ferramenta
1. O cano adiciona pressão através da sua altura e nada mais. Cinco metros de água:
  
  $p = ρ g h = 998.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 48, 962 Pa$
2. Essa pressão atua sobre toda a tampa, que é um disco com um raio de 0,30 m:
  
  $A_{lid} = π R^{2} = π \cdot 0.3 0^{2} = 0.28274 m^{2}$
3. A força é a pressão vezes a área. Expressa como uma massa, é mais fácil de percecionar: a tampa suporta cerca de 1,4 toneladas.
  
  $F = p A_{lid} = 48, 962 \cdot 0.28274 = 13, 844 N (\frac{13 , 844}{9 . 81} = 1, 411 kg)$
4. Agora, a água que causou isto. O orifício do cano tem 5 mm, por isso a sua secção transversal é minúscula:
  
  $bore radius cross-section π r^{2} volume π r^{2} h mass ρ V weight ρ V g 0.005 m 7.854 \times 1 0^{- 5} m^{2} 3.927 \times 1 0^{- 4} m^{3} = 0.3927 L 0.392 kg 3.85 N$
5. Divida um pelo outro. Trezentos e noventa gramas de água exercem 13.844 N sobre a tampa:
  
  $\frac{F}{W} = \frac{13 , 844}{3 . 85} = 3, 600$
6. E aqui está a parte que vale a pena reter. Se escrever a proporção em símbolos a altura anula-se, porque aparece na pressão e de novo no volume. O mesmo acontece com a densidade e com g. A multiplicação é o rácio entre as duas áreas e nada mais — que é exatamente a forma como um macaco hidráulico levanta um carro.
  
  $\frac{F}{W} = \frac{ρ g h A _{lid}}{ρ g A _{pipe} h} = \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = (\frac{0 . 30}{0 . 005})^{2} = 6 0^{2} = 3, 600$
Resposta

13.844 N na tampa, a partir de 3,85 N de água: uma multiplicação de 3.600. Esse valor é (0,30 ÷ 0,005)² e seria igual para um cano de qualquer altura e um líquido de qualquer densidade. Pascal não precisou de muita água, precisou de um cano fino — e o barril não rebenta devido ao que está no cano, rebenta devido à proporção entre o cano e a tampa.

$13, 844 N from 3.85 N \Rightarrow \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = 3, 600$

Referências (3)

How the result on this page was arrived at, and by whom. Stevin had the paradox in 1586, half a century before Pascal, and the paper follows what each of them actually added: A. F. Chalmers, "Qualitative novelty in seventeenth-century science: Hydrostatics from Stevin to Pascal." Studies in History and Philosophy of Science Part A 51, 2015, pp. 1-10. DOI 10.1016/j.shpsa.2015.01.001
Stevin's own hydrostatics, where the force on the base was first separated from the weight of the liquid: E. J. Dijksterhuis, "Hydrostatics." In Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Springer Netherlands, 1970, pp. 64-69. DOI 10.1007/978-94-010-3207-0_5
The paradox had a name and a readership long before it had a syllabus. This is the 1869 note it carried in Scientific American: "The Hydrostatic Paradox." Scientific American 21, 1869, p. 249. DOI 10.1038/scientificamerican10161869-249

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.