Jatos de Efluxo de um Tanque

Um tanque é mantido cheio até a marca de 1,20 m. Três furos são feitos em sua lateral, a 0,30 m, 0,60 m e 0,90 m acima da mesa em que ele se apoia. Calcule onde cada jato cai e determine a altura que lança a água mais longe.

1. A água expelida por um furo é impulsionada apenas pela coluna de líquido acima dela. Essa pressão confere ao jato a exata velocidade que uma pedra teria após cair em queda livre por essa mesma distância. Este é o resultado de Torricelli. O furo mais baixo tem 0,90 m de água sobre ele.

   $$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.81\times 0.90}=4.20m/s$$

2. No ar, o jato é um projétil disparado horizontalmente. O seu tempo de voo é decidido unicamente pela distância que a água tem de cair. A profundidade acima do furo define a velocidade. A altura abaixo do furo dita o tempo.

   $$t=\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{2\times 0.30}{9.81}}=0.2473\mathrm{s}$$

3. Multiplique os dois fatores e g se cancela do resultado. Um jato na Lua sairia mais devagar e passaria mais tempo no ar, mas cairia exatamente no mesmo ponto.

   $$R=vt=\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{2y}{g}}=2\sqrt{hy}=2\sqrt{0.90\times 0.30}=1.039\mathrm{m}$$

4. O alcance enxerga apenas o produto da profundidade acima pela altura abaixo, e a soma desses dois valores resulta sempre em H. Trocar y por H − y não altera o produto. Assim, o furo a 0,90 m atira a água rigorosamente à mesma distância que o furo a 0,30 m.

   $$R(y)=2\sqrt{(H-y)y}⟹R(0.90)=2\sqrt{0.30\times 0.90}=1.039\mathrm{m}=R(0.30)$$

5. O produto de dois números com soma fixa atinge o máximo quando eles são iguais. Isso coloca o melhor orifício na exata metade da altura. A profundidade acima e a altura abaixo passam a valer H/2. O alcance resultante atinge o valor exato de H.

   $$\underset{y}{\max }(H-y)y⟹y=\frac{H}{2}=0.60\mathrm{m},R_{\max }=2\sqrt{\frac{H}{2}\cdot \frac{H}{2}}=H=1.200\mathrm{m}$$

6. Logo, nenhum tanque lança a água ao longo da mesa além de sua própria profundidade, independentemente do que você faça com a furadeira. E os jatos gêmeos atingem o mesmo ponto sem chegarem juntos: o fluxo superior voa por 0,4284 s contra os 0,2473 s do inferior. O piso molhado é atingido duas vezes, com 0,18 s de diferença.

   $$t_{0.90}=\sqrt{\frac{2\times 0.90}{9.81}}=0.4284\mathrm{s},t_{0.90}-t_{0.30}=0.1810\mathrm{s}$$