Drenagem de Tanques e Decaimento de Torricelli

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Exemplo resolvido — Drenagem de Tanques e Decaimento de Torricelli

Seção do tanque (A) (m²)	0,0707
Área do orifício (a) (m²)	7,85 × 10⁻⁵
Tempo de Esvaziamento (T) (s)	655,4
Nível Atual da Água (h) (m)	1,000
Vazão Atual (Q) (m³/s)	0,0002
Tempo até 50% do Nível	29,3%
Razão de Tempo Fundo / Topo	2,414
Nível Inicial de Água (H)	1,00 m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um tanque a esvaziar não tem meia-vida 🖖

Toda a gente espera que isto decaia como um condensador carregado, e não decai. O caudal de saída segue √h e não h, pelo que o nível desce segundo H(1 − t/T)² — uma parábola que chega a zero num tempo finito. Ajuste uma exponencial ao mesmo instante de meio esvaziamento: quando este tanque está mesmo seco, ela ainda garante que restam 9,4%, e nunca se esvazia. É esta a diferença entre um ritmo fixado pela quantidade e um ritmo fixado pela sua raiz quadrada.

Quatro vezes a profundidade é o dobro da espera 🖖

T = (A / C_dA₀)√(2H/g): o H está debaixo de uma raiz quadrada e as duas áreas não estão. Encha o mesmo tanque quatro vezes mais fundo e demora o dobro, não o quádruplo. Reduza o furo a metade e demora exatamente quatro vezes mais, porque a área acompanha o quadrado do diâmetro. Aqui a profundidade é o termo complacente e o furo é o impiedoso.

O furo é mais pequeno do que o furo que abriu 🖖

O coeficiente de descarga não é um fator de correção improvisado. A água que se aproxima de um orifício de aresta viva não consegue virar a esquina de um instante para o outro, por isso a veia continua a estreitar-se depois de deixar a parede e só atinge o mínimo verdadeiro um pouco mais à frente — a vena contracta. Um furo de aresta viva anda perto de 0,62, ou seja, a abertura efetiva não chega a dois terços daquela que abriu. Ponha C_d a 1 e o tanque esvazia-se em 62% do tempo real: é esse o tamanho do erro que comete ao confiar no desenho.

Problema resolvido na íntegra

Por que a metade inferior de um barril demora 2,4 vezes mais que a superior 8 passos
Um barril de 300 mm é preenchido com 1,00 m de água e abre-se um orifício de 10 mm no fundo. Quanto tempo o barril leva para esvaziar, e quanto desse tempo corresponde à metade final da água?
1. Duas áreas sustentam todo o problema. A seção transversal do barril dita a quantos litros equivale um milímetro de nível. A área do orifício estipula a rapidez com que esses litros conseguem sair.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π ( 0.30 ) ^{2}}{4} = 0.0707 m^{2}, a = \frac{π ( 0.010 ) ^{2}}{4} = 7.85 \times 1 0^{- 5} m^{2}$
2. A velocidade no orifício obedece novamente à lei de Torricelli, definida pela carga hidrostática ainda restante acima dele. O coeficiente de descarga se faz presente porque o jato se contrai para cerca de 62% da área do buraco ao sair. Multiplique pela área do orifício para obter o volume por segundo. Em seguida, divida pela seção transversal do barril e encontrará a velocidade de queda do nível.
  
  $\frac{d h}{d t} = - \frac{C _{d} a 2 g h}{A}$
3. A profundidade figura em ambos os membros da equação, então isole a variável e integre do nível máximo até o esvaziamento. Este é o único cálculo integral do problema. Todo o comportamento físico subsequente deriva dele.
  
  $\int_{H}^{0} \frac{d h}{h} = - \frac{C _{d} a 2 g}{A} \int_{0}^{T} d t ⟹ 2 H = \frac{C _{d} a 2 g}{A} T$
4. Reordenada a expressão, tem-se o tempo total de escoamento. Substituem-se então os valores numéricos.
  
  $T = \frac{A}{C _{d} a} \frac{2 H}{g} = \frac{0.0707}{0.62 \times 7.85 \times 1 0 ^{- 5}} \frac{2 \times 1.00}{9.81} = 655.4 s$
5. Ao interromper a mesma integral em uma profundidade h em vez de zero, e inverter a expressão, determina-se o nível em qualquer instante. Trata-se de uma parábola: ela chega a zero em T e lá permanece. Um capacitor nunca termina totalmente a sua descarga. Um barril sim, porque a última fração de água continua sendo empurrada pela última fração de profundidade.
  
  $h (t) = H (1 - \frac{t}{T})^{2}$
6. Iguale o nível à metade e resolva a equação para encontrar o tempo. O resultado não é a metade de T.
  
  $\frac{H}{2} = H (1 - \frac{t}{T})^{2} ⟹ \frac{t}{T} = 1 - \frac{1}{2} = 0.293$
7. A metade superior se esvai em 29,3% do processo, o que reserva os 70,7% restantes à metade inferior. Nenhuma parte dessa proporção tem ciência da profundidade, do diâmetro, da gravidade ou do coeficiente de descarga.
  
  $\frac{T - t _{1/2}}{t _{1/2}} = \frac{1/ 2}{1 - 1/ 2} = 1 + 2 = 2.414$
8. A grandeza T carrega uma raiz quadrada de H e absolutamente mais nada a respeito da água. Portanto, preencher o mesmo barril até a marca de 2,00 m não duplica a espera. A duração apenas se multiplica por 1,414.
  
  $\frac{T ( 2.00 )}{T ( 1.00 )} = \frac{2.00}{1.00} = 1.414 ⟹ T = 926.9 s$
Resposta

655,4 segundos, e 70,7% deles recaem sobre a metade inferior. O nível cai de acordo com a expressão H(1 − t/T)². Essa parábola atinge o estado vazio em um tempo finito, opondo-se a uma curva exponencial que apenas o tangencia. Metade do volume de água se perde após 29,3% do escoamento. Isso obriga a metade de baixo a demorar 1 + √2 = 2,414 vezes mais que a de cima. Não existe tanque algum nesse número.

$T = \frac{A}{C _{d} a} \frac{2 H}{g} \propto H$

Percurso de aprendizagem

Água de um tanque: uma velocidade, dois destinos

Referências (1)

Torricelli's law applied to quasi-steady tank draining kinetics and parabolic depth decay: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-01

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Drenagem de Tanques e Decaimento de Torricelli

Um tanque a esvaziar não tem meia-vida 🖖

Quatro vezes a profundidade é o dobro da espera 🖖

O furo é mais pequeno do que o furo que abriu 🖖

Problemas de exemplo