Bernoulli e o Efeito Venturi

Estreite um tubo e veja a velocidade subir e a pressão cair, até a água chegar ao ponto em que entra em ebulição.

Exemplo resolvido — Bernoulli e o Efeito Venturi

Razão de velocidades	4,00×
Velocidade na garganta	8,00 m/s
Variação de pressão	-29,95 kPa
Pressão absoluta na garganta	71,38 kPa
Número de Mach na garganta	0,005
Caudal	3,93 L/s
Cavita abaixo desta garganta	18,75 mm
Cavita acima desta velocidade	3,64 m/s

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Bernoulli e o Efeito Venturi

Duas afirmações sobre um tubo, e tudo nesta página é consequência delas. Continuidade: o que entra tem de sair, logo A₁v₁ = A₂v₂ e uma garganta mais estreita resulta em água mais rápida. Bernoulli: ao longo de uma linha de corrente, o total de pressão e energia cinética por unidade de volume é fixo. Como tal, p + ½ρv² = constant e a água mais veloz tem de estar a uma menor pressão. Não porque algo a empurre nesse sentido — porque a energia já foi gasta na velocidade.

O que significa cada símbolo

A: a secção transversal do tubo
v: a velocidade do fluido que o atravessa
ρ: a massa volúmica do fluido

Pressupõe: Escoamento incompressível, invíscido e estacionário ao longo de uma única linha de corrente. A viscosidade é o que mais importa aqui: um venturi real não recupera toda a sua pressão a jusante, e a diferença é a pressão definitivamente perdida por atrito. É este o custo de funcionamento do medidor.

A velocidade é o quadrado da razão; a pressão é o quadrado da velocidade 🖖

Regule a entrada para 50 mm e a garganta para 25 mm, com água a 2 m/s. A linha da velocidade na garganta indica 8,00 m/s e a da variação de pressão regista −29,95 kPa. A continuidade justifica o primeiro resultado: o mesmo volume, ao atravessar um quarto da área, tem de avançar quatro vezes mais depressa, e a linha da razão de velocidades mostra 4,00×, o quadrado de 50/25. A equação de Bernoulli encarrega-se do resto. Como o seu termo cinético contém v², uma velocidade quatro vezes maior custa dezasseis vezes a pressão cinética.

Agora digite 10 na caixa da garganta. Razão de velocidades 25,00×, velocidade na garganta 50,00 m/s, variação de pressão −1245,75 kPa. A entrada é agora cinco vezes maior do que a garganta, em vez do dobro, e a queda de pressão é 41,6 vezes a que acabou de ler. É no segundo painel que isto se torna visível em vez de meramente aritmético. Este mantém a entrada e o fluido fixos e varre apenas a garganta, estreitando-a para a direita. A curva permanece quase plana ao longo das gargantas largas antes de cair a pique.

Onde a aritmética continua mas a água não 🖖

Esse valor de −1245,75 kPa é descontado de uma pressão ambiente de 101,325 kPa, o que deixa a garganta com −1144,43 kPa absolutos. Nenhum fluido, seja de que tipo for, consegue existir a uma pressão absoluta negativa, e a água desiste muito acima do zero. A 20 °C entra em ebulição aos 2339 Pa, e a faixa sombreada na base de ambos os painéis está desenhada exatamente nessa linha. Observe a curva de pressão a atravessá-la e a ficar vermelha.

A linha da tabela imprime o valor de qualquer modo, assinalando-o como sem sentido físico, porque o número é em si a lição. Além disso, a ferramenta calcula a fronteira a partir do lado oposto. Com uma entrada de 50 mm, água a 2 m/s e ambiente ao nível do mar, a linha Cavita abaixo desta garganta mostra 18,75 mm. Se apertar além dessa marca, o líquido rasga-se em vez de afinar. Digite 19 na caixa da garganta, depois 18, e o veredicto alterna entre os dois.

Dez metros de água custam quase uma atmosfera inteira 🖖

Dez metros de altura custam quase toda a atmosfera, e esse custo existe quer o tubo estreite ou não. Regule ambos os diâmetros para 50 mm. Depois, arraste o controlo deslizante da altura, que define a elevação da garganta face à entrada, para +10,0 m. A linha da variação de pressão apresenta −97,92 kPa, e cada parcela desse valor é ρgh: água a 998,2 kg/m³, g = 9,81 m/s², dez metros. Face aos 101,325 kPa que a atmosfera fornece, só a altura consumiu 96,6% desse valor, através de um tubo que continua perfeitamente direito. A linha da pressão absoluta na garganta indica 3,40 kPa, cerca de um kPa acima da linha de vapor.

O cursor para aos 10 m e a água para aos 10,11 m, o ponto em que ρgh esgota o que resta. Uma bomba de sucção não eleva nada. Limita-se a baixar a pressão sobre a água para deixar a atmosfera empurrar a coluna para cima. A pressão mais baixa que consegue deixar para trás são os 2339 Pa de há dois parágrafos, ponto onde a água entra em ebulição em vez de continuar a subir. Portanto, dez metros constituem o orçamento total e não é a qualidade da bomba que está em causa.

Problema resolvido na íntegra

Ler o caudal num medidor Venturi, e o caudal que este nunca poderá ler 8 passos
Uma conduta de água de 50 mm possui um estrangulamento Venturi com uma garganta de 25 mm. Prima Venturi clássico para o configurar. O manómetro diferencial entre as duas tomadas indica 29,95 kPa. Qual é o caudal, e qual é o caudal máximo que este medidor alguma vez poderia registar?

Abrir este problema na ferramenta
1. Qualquer volume que passe pela entrada a cada segundo passa também pela garganta. Assim, onde a área diminui, a velocidade aumenta para manter o produto constante. A área varia com o quadrado do diâmetro, razão pela qual reduzir a secção a metade não duplica a velocidade, mas sim quadruplica-a. A Razão de velocidades regista 4,00× e a Velocidade na garganta 8,00 m/s.
  
  $\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = (\frac{50}{25})^{2} = 4.00 v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = 2 \times 4.00 = 8.00 m s^{- 1}$
2. A equação de Bernoulli paga essa velocidade à custa da pressão. O tubo está nivelado, logo os dois termos ρgh anulam-se e sobram apenas os termos cinéticos. O termo cinético contém v², por isso uma velocidade quatro vezes maior custa dezasseis vezes a pressão dinâmica da entrada, uma das quais já estava a ser gasta. A queda é de quinze vezes ½ρv₁², e ½ρv₁² aqui corresponde a 1996,4 Pa. A Variação de pressão indica −29,95 kPa.
  
  $Δ p = \frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = \frac{1}{2} (998.2) (2^{2} - 8^{2}) = - 29, 946 Pa$
3. Subtraia isso à atmosfera na tomada de entrada e a garganta fixa-se em 71,38 kPa absolutos. Ainda há folga. A água a 20 °C ferve aos 2339 Pa, logo restam 69 kPa de margem por gastar. O Número de Mach na garganta mostra 0,005, que é a outra premissa da equação de Bernoulli a informar que também não foi levada ao limite.
  
  $p_{2} = p_{amb} + Δ p \Rightarrow 101.325 - 29.946 = 71.379 kPa M = \frac{v _{2}}{c} = \frac{8.00}{1481} = 0.005$
4. Nada disto descreve a função de um medidor Venturi. Um medidor não tem um controlo de velocidade. Tem duas tomadas e um manómetro diferencial, e o caudal é a incógnita que foi construído para descobrir. Portanto, aplique a mesma equação no sentido inverso, com Δp conhecido e v₁ por determinar. Volte a introduzir os 29,95 kPa do manómetro e a velocidade de entrada resulta em 2,000 m/s, precisamente o valor configurado na entrada.
  
  $Δ p = - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{d _{1}}{d _{2}})^{4} - 1] \Rightarrow v_{1} = \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 29 , 950 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 4.0005 = 2.000 m s^{- 1}$
5. Multiplique pela área de entrada, π(0,050)²/4 = 1,9635×10⁻³ m², e os 3,93 L/s da linha do Caudal terão sido obtidos a partir de uma leitura de pressão e não de uma velocidade. A ficha técnica de um medidor compila estes dois passos numa única equação que usa β para a razão de diâmetros d₂/d₁, que aqui é 0,5. Essa equação é o motivo pelo qual o aparelho existe, e é a única coisa nesta página que a ferramenta nunca avalia.
  
  $Q = v_{1} A_{1} = 2.000 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 3.927 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} Q = A_{2} \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ ( 1 - β ^{4} )} β = \frac{d _{2}}{d _{1}} = 0.5$
6. Cada medidor tem um teto, e este é imposto pela água e não pelo manómetro. Aperte a garganta e a pressão nesse local cai com a quarta potência da razão de diâmetros até atingir os 2339 Pa. Nesse ponto o líquido entra em ebulição em vez de acelerar. Calcule a garganta onde isso acontece com o caudal atual: a expressão entre parênteses dá 50,582, a sua raiz quarta é 2,6669, e a linha Cavita abaixo desta garganta apresenta 18,75 mm. A garganta de 25 mm do dispositivo é um terço mais larga do que isso.
  
  $d_{2}^{*} = d_{1} [1 + \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ v _{1}^{2}}]^{- 1/4} = d_{1} (50.582)^{- 1/4} \frac{50}{2.6669} = 18.75 mm$
7. A mesma fronteira calculada pelo outro lado, mantendo a garganta nos 25 mm. O que o fluido tem disponível para gastar é a pressão ambiente menos a de vapor, 98.986 Pa, e o que a gasta é ρ[(d₁/d₂)⁴ − 1]. A linha Cavita acima desta velocidade mostra 3,64 m/s.
  
  $v_{1}^{m a x} = \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 98 , 986 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 13.222 = 3.636 m s^{- 1}$
8. Nenhuma linha converte essa velocidade num caudal, portanto faça-o o leitor. Uma velocidade de 3,636 m/s através de um calibre de 50 mm equivale a 7,14×10⁻³ m³/s, ou seja, 7,14 L/s. A escala máxima do medidor é 1,82 vezes o caudal que está a ler agora, e a maior pressão diferencial que alguma vez irá gerar é 98,99 kPa: o ambiente menos a pressão de vapor, sem mais nada disponível depois disso. Se forçar mais, a garganta enche-se de vapor, o diferencial deixa de acompanhar o caudal e o manómetro passa a ler uma bolsa de ebulição.
  
  $Q_{m a x} = v_{1}^{m a x} A_{1} = 3.636 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 7.14 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} \frac{7.14}{3.927} = 1.818$
Resposta

3,93 L/s agora, e 7,14 L/s no máximo. A ferramenta não imprime nenhum dos dois, mas é o segundo que determina o projeto.

Prima Estreitamento suave para alargar a garganta até aos 40 mm. A linha Cavita acima desta velocidade sobe de 3,64 para 11,73 m/s, o que corresponde a 23,0 L/s, enquanto a Variação de pressão desaba de −29,95 kPa para −2,88 kPa. Ambos os valores derivam da mesma expressão, (d₁/d₂)⁴ − 1, que surge no numerador de um e debaixo de uma raiz quadrada no denominador do outro. Como tal, a gama de medição só pode crescer na proporção inversa da raiz quadrada do sinal sacrificado: um diferencial dez vezes menor compra 3,2 vezes mais caudal. Escolher o β é fazer esse compromisso, e uma garganta larga o suficiente para nunca cavitar é uma garganta que obriga o manómetro a resolver apenas algumas centenas de pascais.

$Q_{m a x} = A_{1} \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]}$

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.