Simulador de Projétil com Arrasto e Vento

Compare a trajetória ideal com a influenciada pelo arrasto.

Exemplo resolvido — Simulador de Projétil com Arrasto e Vento

Alcance real	28.0 m
Altura máxima real	9.5 m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Simulador de Projétil com Arrasto e Vento

Acrescente resistência do ar a um projétil e não obtém uma parábola corrigida — perde a fórmula. A resistência quadrática é uma força −(k/m)·|v_rel|·v_rel, dirigida contra o movimento através do ar e crescendo com o quadrado da velocidade. Liga uma à outra as equações horizontal e vertical, e o par acoplado não tem solução elementar. Esta página integra o voo em passos de 10 milissegundos porque já não há nada para avaliar.

O que significa cada símbolo

θ: o ângulo de lançamento. Sem resistência o seu melhor valor é 45° para qualquer velocidade inicial e qualquer massa — uma constante do problema. Com resistência não é nada disso, e é disso que trata esta lição.
k/m: o coeficiente de resistência dividido pela massa. É a única combinação que aparece nas equações: nunca k sozinho, nunca m sozinho. Duas das seis caixas de entrada são pegas do mesmo número.
v_rel: a velocidade relativa ao ar, v − w. A resistência atua sobre ela e nunca sobre a velocidade em relação ao solo, e é por isso que vento de frente e vento de cauda não são imagens espelhadas.
R: o alcance. A página imprime dois — R_ideal, da parábola em forma fechada, e R_actual, da integração — e a distância entre eles é o que o ar levou.

De onde vem a fórmula

Comecemos sem ar, onde os dois eixos nunca falam um com o outro. A velocidade horizontal é constante, a posição vertical é uma parábola no tempo, e eliminar o tempo deixa R = v₀² sin(2θ)/g. Maximizando, sin(2θ) é máximo em 2θ = 90°. Repare no que desapareceu: nem v₀ nem a massa constam dessa condição, pelo que 45° é o melhor ângulo para todo o lançamento que alguma vez existiu. É por isso que se guarda como facto e não como resultado.
Juntemos agora a resistência e vejamos os eixos deixarem de ser independentes. A força é −(k/m)·|v_rel|·v_rel, e |v_rel| é √(v_x² + v_y²): contém ambas as componentes. A equação horizontal passa a depender da rapidez da subida, e a vertical da rapidez do afastamento. O par é não linear e recusa separar-se; nenhuma fórmula elementar para R lhe sobrevive. A curva contínua do gráfico foi integrada, não avaliada, e a página escreve-a honestamente como uma soma.
Leia a aritmética e uma coisa salta à vista: k e m só alguma vez surgem como k/m. Uma bola pesada é uma bola leve em ar mais rarefeito. Ponha k = 0.03 com m = 3 e obtém, até ao último algarismo, a trajetória de k = 0.01 com m = 1 — a predefinição «bola pesada» é o caso de pouca resistência com outro nome, e a caixa da massa nada pode dizer que a da resistência não dissesse.
E agora o ótimo desloca-se. Subir a pique continua a comprar tempo de voo, mas com resistência o tempo de voo paga-se em velocidade, e é a velocidade que leva para a frente — logo o melhor ângulo inclina-se para o plano. E porque um projétil mais rápido acumula mais resistência pelo caminho, esse ângulo depende agora da velocidade de lançamento, o que nunca antes acontecia. Experimente com a resistência predefinida desta página: a 25 m/s os 45° não custam quase nada, 28.0 m contra os 28.5 m que se encontram à mão perto de 38°; a 90 m/s custam muito, pois aí 45° dão 65.4 m e cerca de 30° dão 70.8 m.

Como ler o que vê

Duas curvas e dois números que respondem a perguntas diferentes. A curva tracejada é o mesmo lançamento com o ar retirado — não uma aproximação da contínua, mas a solução de outro problema —, pelo que o espaço entre elas é diretamente o que a resistência custou. R_ideal é impressa como fórmula com os seus números substituídos, porque existe uma fórmula; R_actual é impressa como Σ v_x Δt, porque não existe nenhuma. Ponha a resistência a zero: ambas descrevem a mesma física — e a página mostra ainda assim 63.7 m contra 63.5 m. Esse quinto de metro não é ar. É o erro do próprio integrador, e vale a pena saber que ali está antes de ler qualquer diferença como física.

Pressupõe: Ar parado exceto um vento horizontal constante que sopra à mesma velocidade a qualquer altura, densidade uniforme em toda a subida e um coeficiente de resistência que não varia com a velocidade. Uma massa pontual: sem sustentação, sem rotação, sem força de Magnus — uma bola de golfe cortada e uma granada que deriva ficam ambas fora do que este modelo consegue dizer.
Falha quando: A integração corre no máximo 5000 passos de 10 ms — cinquenta segundos de voo — e nada na página o menciona. As regulações normais nem se aproximam: o caso predefinido volta ao solo em menos de três segundos. Mas desligue a resistência e dispare forte e a pique, v₀ = 300 m/s a 85°, e a trajetória pára simplesmente no ar com o projétil ainda a 2.68 km do solo; o alcance impresso por baixo é onde ele estava nesse instante, não onde cai. A resistência esconde este limite mais do que o provoca — o mesmo disparo com k = 0.03 está em terra em nove segundos.

por que o arrasto quebra a simetria da parábola 🖖

A resistência do ar destrói a elegante simetria da parábola ideal de um projétil. A força de arrasto é proporcional a v², então dobrar a velocidade quadruplica o arrasto. Na velocidade terminal, o arrasto se iguala à gravidade e a aceleração vertical para. As tabelas balísticas reais consideram arrasto, rotação, densidade do ar e vento — a fórmula ideal é apenas uma primeira aproximação.

O que conta é o ar, não o solo 🖖

Um projétil só sente o arrasto pela sua velocidade em relação ao ar, não em relação ao solo. O vento move toda a massa de ar, enquanto o arrasto sempre age no sentido oposto ao movimento relativo a esse ar. Por isso um vento de proa aumenta a velocidade efetiva em relação ao ar e o arrasto morde mais forte, ao passo que um vento de cauda a reduz — fazendo o projétil voar mais longe do que o suave empurrão do vento explicaria sozinho.

Por que bolas de golfe com covinhas voam mais longe 🖖

O contraintuitivo: tornar uma bola mais rugosa pode reduzir seu arrasto. As covinhas de uma bola de golfe forçam o escoamento a formar uma fina camada limite turbulenta que adere por mais tempo à superfície, encolhendo a esteira de baixa pressão atrás dela. Uma bola com covinhas voa cerca de duas vezes mais longe que uma lisa lançada de forma idêntica. A simples lei de arrasto em v² deste simulador supõe um coeficiente de arrasto fixo, então não capta essa 'crise de arrasto' em que Cd cai de repente quando a velocidade aumenta.

Problema resolvido na íntegra

A razão pela qual a resposta da fórmula no vácuo de 63,7 m passa a 28,0 m 5 passos
25 m/s a 45°, coeficiente de arrasto 0,03. A fórmula no vácuo dá 63,7 m. Determine por que razão a resposta é 28,0 m — e por que razão a altura resiste muito melhor do que o alcance.
1. Comece pela resposta que o ar vai estragar. Ambas as fórmulas no vácuo são exatas, ocupam uma linha e constituem a única base analítica deste problema.
  
  $R_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{2 5 ^{2} sin 9 0 ^{\circ}}{9.81} = 63.7 m, H_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g} = 15.9 m$
2. Escreva agora a equação real. O termo de arrasto aponta no sentido oposto ao vetor velocidade, pelo que a sua componente horizontal depende da velocidade vertical e vice-versa — os dois eixos deixam de ser independentes e a parábola deixa de existir.
  
  $\ddot{r} = - g \hat{y} - k ∣ \dot{r} ∣ \dot{r} — the drag term couples x and y, so no closed form survives$
3. Leia as duas perdas no painel sob a forma de frações. Elas diferem, e essa diferença é precisamente o que vale a pena explicar.
  
  $R_{actual} = 28.0 m = 0.44 R_{ideal}, H_{actual} = 9.5 m = 0.60 H_{ideal}$
4. A velocidade terminal é a velocidade à qual o arrasto equilibra o peso, e compará-la com a velocidade de lançamento indica qual das forças domina no início.
  
  $v_{t} = \frac{g}{k} = \frac{9.81}{0.03} = 18.1 m/s < v_{0} = 25 m/s$
5. O comprimento de arrasto 1/k é a distância ao longo da qual o ar remove uma fração substancial da velocidade. Compare-o com o alcance que esperava obter.
  
  $ℓ = \frac{1}{k} = 33.3 m \approx R_{ideal} /2 ⟹ drag is not a correction here, it is the problem$
Resposta

Porque a resistência do ar tem uma escala de comprimento de 33 m, enquanto o lançamento teria um alcance de 64 m, mas uma altura máxima de apenas 16 m. O alcance conserva 44% do valor que teria no vácuo, e a altura máxima, 60%. Estes dois valores mostram que o regime não é perturbativo. A velocidade terminal √(g/k) é 18,1 m/s, inferior à velocidade inicial de 25 m/s; portanto, no início, a bola perde mais velocidade devido ao ar do que à gravidade. Além disso, 1/k = 33 m corresponde a metade do alcance no vácuo, quando, para que a correção fosse pequena, teria de ser muitas vezes maior. Também não há uma forma fechada a que recorrer: a resistência do ar acopla os dois eixos, precisamente por isso o painel faz a integração em vez de se limitar a substituir valores.

$drag keeps 44% of the range but 60% of the height$

Percurso de aprendizagem

O lançamento de objetos

Referências (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-27

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Problemas de exemplo

sem arrasto - Com a resistência desligada o voo acaba em 63.5 m, com a parábola ideal impressa ao lado em 63.7 m.
vento contrário - Um vento de frente corta esse mesmo lançamento para 14.2 m.
vento a favor - O mesmo vento por trás dá 41.2 m, quase o triplo do valor anterior.
bola pesada - O triplo da massa leva a mesma bola até 43.3 m.