O Atrator de Lorenz

Execute as equações de 1963 duas vezes a partir de quase o mesmo ponto. Observe onde as duas execuções deixam de coincidir e, em seguida, observe no que ainda concordam.

Exemplo resolvido — O Atrator de Lorenz

Aquecimento escolhido	28,000
Aquecimento de instabilidade	24,7368
Um rolo estável mantém-se?	não
O rolo estável direito	(8,485, 8,485, 27,000)
Taxa de contração de volume	-13,6667
Volume restante após 60 unidades	7,6 × 10⁻³⁵⁷
Separação inicial das gêmeas	1,0 × 10⁻⁹
Separação final das gêmeas	16,211

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — O Atrator de Lorenz

Em 1963 Edward Lorenz reduziu a convecção a três números e três equações: ẋ = σ(y − x), ẏ = x(ρ − z) − y, ż = xy − βz. Aqui x é a velocidade de rotação de um rolo de fluido, y a diferença de temperatura entre os lados ascendente e descendente, e z o quanto o perfil vertical de temperatura se desviou de uma linha reta. σ = 10 e β = 8/3 são os valores dele; ρ é o aquecimento e é o controlo nesta página. Um atrator é o conjunto onde uma execução acaba por se fixar assim que o regime transitório desaparece. Abaixo de ρ = 24,7368, isso pode ser um único ponto, um rolo estável que roda a um ritmo constante. Acima desse valor, a execução nunca estabiliza, e o conjunto que preenche tem propriedades que nenhum ponto ou superfície possui.

O que significa cada símbolo

σ: o número de Prandtl, fixado em 10. Compara a rapidez com que o momento se difunde pelo fluido com a rapidez do calor
ρ: o aquecimento, o controlo nesta página. É o número de Rayleigh dividido pelo seu valor crítico, de modo que ρ = 1 é o ponto a partir do qual o fluido sequer começa a mover-se
β: fixado em 8/3, determinado pela forma dos rolos de convecção que Lorenz assumiu
∇·F: a taxa de contração de volume, −σ − 1 − β. É igual em todo o lado, e é o motivo pelo qual o atrator não tem volume
λ₁: o maior expoente de Lyapunov, medido aqui afastando um segundo ponto e renormalizando. Um valor positivo significa que os estados vizinhos se separam

Pressupõe: Que três números podem representar um fluido. Não podem, e Lorenz sabia-o: o sistema é um truncamento da convecção que mantém três modos e descarta os restantes, logo é um modelo de um modelo. O que sobrevive ao truncamento é a aritmética de esticar e dobrar, e é por isso que vale a pena olhar para a imagem muito depois de a convecção ter sido esquecida. A integração é feita com RK4 a um passo fixo de 0,005, e o passo é fixo em vez de adaptativo de forma propositada, para que a única diferença entre as duas execuções seja a que escolheu.
Falha quando: Como descrição do clima, quase de imediato. A convecção real tem fronteiras, humidade e um contínuo de modos, e os números aqui não são temperaturas nem velocidades em qualquer unidade que pudesse medir. O eixo do tempo está nas próprias unidades do sistema e traduzi-lo para dias é uma escolha em vez de um resultado, pelo que esta página não o faz. O expoente de Lyapunov é uma média sobre todo o atrator e a taxa local varia largamente, o que explica por que razão uma previsão emitida num dia calmo vale mais do que a média sugere (é na Previsão Meteorológica por Conjuntos que isso se mede). Leve ρ para além de cerca de 31 e a imagem muda novamente: abrem-se e fecham-se janelas periódicas dentro do intervalo caótico, e uma execução pode, em vez disso, aterrar num ciclo fechado.

As duas execuções deixam de concordar e continuam a desenhar a mesma coisa 🖖

Pressione Até preencher a curva e leia o segundo painel. Sempre que z atinge um máximo, a ferramenta regista-o e representa-o num gráfico contra o máximo anterior. A execução A fornece 268 desses pontos, a execução B fornece 266, e todos os 534 caem numa única curva. Se a medir, metade dos pontos da execução B encontra-se a 0,011 da linha que passa pelos pontos vizinhos da execução A, num mapa com 17,75 unidades de largura. O último momento em que as duas execuções concordaram sobre a sua posição foi em t = 24,78 e, no final, estão separadas por 11,9. Num atrator com 38 unidades de extensão, isto significa apenas que estão noutro lugar qualquer. Um meteorologista não lhe sabe dizer onde está a trajetória. A curva nesse painel é a parte que nunca esteve em dúvida.

Não tem volume e, mesmo assim, não é uma superfície 🖖

Somando os três termos diagonais do fluxo obtemos ∇·F = −σ − 1 − β = −13,6667, um valor idêntico em qualquer ponto e para qualquer ρ. Assim, um aglomerado de estados iniciais conserva um milionésimo do seu volume após uma unidade de tempo, e 7,6 × 10⁻³⁵⁷ ao fim de sessenta. A figura em que a trajetória por fim assenta possui volume nulo. Não pode ser um ponto, porque acima de ρ = 24,7368 os dois rolos estacionários perdem a estabilidade e expulsam a trajetória. Também não pode ser uma superfície. Duas trajetórias de um fluxo suave nunca se intersetam, pelo que uma folha teria de ser atravessada para conseguir enrolar-se assim. Resta a estrutura peculiar que fica pelo meio, e a sua dimensão calculada é 2,0622.

Abaixo de ρ = 24,7368 as equações guardam ambas as respostas 🖖

As duas predefinições em ρ = 24,4 diferem num só controlo. Começando em (1, 1, 20), o afastamento entre as gémeas cresce de 10⁻⁹ para 8,889, e a trajetória transita entre as asas 96 vezes. Ao iniciar junto ao rolo direito, as mesmas equações enrolam ambas as trajetórias sobre este e a separação termina em 1,4 × 10⁻¹⁰. É um sétimo do que era no início. O rolo estacionário e o atrator estranho estão ambos presentes. Aquilo que obtemos é decidido pelo ponto de partida, e não pela intensidade do aquecimento. Os físicos descrevem a bifurcação em 24,7368 como subcrítica, sendo precisamente isto que a palavra significa.

Problema resolvido na íntegra

Conhecemos o estado dentro de um cubo de lado 1. O que acontece a esse cubo decorridas dez unidades de tempo? 6 passos
Suponha que o estado é conhecido apenas dentro de um cubo de lado 1 (com volume 1) localizado algures no atrator, e que a simulação avança dez unidades de tempo. Determine qual a forma que esse cubo adquire e qual o seu volume antes de continuar a ler. Pressione A simulação clássica para colocar a ferramenta em ρ = 28.

Abrir este problema na ferramenta
1. Existem três expoentes de Lyapunov, um para cada direção, mas só precisamos de medir um deles. Ao longo do fluxo não há expansão nem contração, o que significa que λ₂ = 0. A renormalização na tabela de resultados devolve-nos λ₁ = 0,9059. O terceiro expoente não chega a ser medido: a soma dos três tem de igualar a taxa de contração de volume, cujo valor exato é perfeitamente conhecido.
  
  $λ_{2} = 0, λ_{1} = ⟨ \frac{1}{τ} ln \frac{d ( τ )}{d _{0}} ⟩ = 0.9059$
2. Logo, λ₃ = ∇·F − λ₁ = −13,6667 − 0,9059 = −14,5726. É importante reparar nesta forte assimetria. A direção de contração é dezasseis vezes mais forte do que a de expansão, sendo este o único motivo pelo qual um volume inicial acaba achatado e não redondo.
  
  $λ_{3} = \nabla \cdot F - λ_{1} = - 13.6667 - 0.9059 = - 14.5726$
3. Substituamos agora t = 10 em cada direção. Cada lado do cubo é multiplicado por e^(λt):
  
  $direction stretching along the flow squeezing λ + 0.9059 0 - 14.5726 e^{λ t}, t = 10 8, 594 1 5.15 \times 1 0^{- 64}$
4. Ao multiplicar os três fatores, obtemos o volume: 8 594 × 1 × 5,15 × 10⁻⁶⁴ = 4,43 × 10⁻⁶⁰. A taxa de contração fornece o mesmo resultado sem que seja feita qualquer referência às três direções, bastando calcular e^(−13,6667 × 10) = 4,43 × 10⁻⁶⁰. O facto de as duas abordagens concordarem serve de confirmação à correção dos expoentes.
  
  $8, 594 \cdot 1 \cdot 5.15 \times 1 0^{- 64} = 4.43 \times 1 0^{- 60} and e^{- 13.6667 \cdot 10} = 4.43 \times 1 0^{- 60}$
5. Eis a consequência que a aritmética nos impõe. O atrator tem cerca de 38 unidades de largura em x e 46 de altura em z, e o cubo converteu-se numa fita com 8 594 unidades de comprimento, o que equivale a 226 vezes a largura da caixa no interior da qual tem de caber. Por isso, a fita dobra-se sobre si própria, volta a dobrar-se a cada volta ao longo do percurso, e cada dobra deposita uma camada nova por cima das já existentes.
  
  $\frac{8 , 594}{38} \approx 226$
6. Um objeto construído desta maneira por sucessivas camadas é mais espesso do que uma superfície e mais fino do que um sólido. A dimensão diz-nos exatamente em que medida: D = 2 + λ₁/|λ₃| = 2 + 0,9059/14,5726 = 2,0622. O valor 2 corresponde à folha; o 0,0622 deve-se às dobras.
  
  $D = 2 + \frac{λ _{1}}{∣ λ _{3} ∣} = 2 + \frac{0 . 9059}{14 . 5726} = 2.0622$
Resposta

Uma fita com 8 594 unidades de comprimento, 1 de largura e 5,15 × 10⁻⁶⁴ de espessura, correspondendo a um volume de 4,43 × 10⁻⁶⁰, continuamente dobrada sobre si própria no interior de uma caixa com 38 unidades de largura. É esse mesmo dobramento que atribui ao atrator uma dimensão de 2,0622 em vez de o deixar plano. É também por este motivo que não conseguimos determinar em que camada nos encontramos, o que equivale a dizer que não sabemos onde se situa a trajetória.

$8, 594 \times 1 \times 5.15 \times 1 0^{- 64} in a box 38 across \Rightarrow D = 2.0622$

Percurso de aprendizagem

Como é feita uma previsão meteorológica

Referências (4)

The paper itself. Section 5 works out the volume contraction, and the successive-maxima plot this page's second panel draws is his Figure 4: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
Where the bifurcation structure is set out in full, including the subcritical Hopf at 24.7368 that the page's last two presets sit either side of: C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, Springer New York, 1982. DOI 10.1007/978-1-4612-5767-7
That the attractor exists at all was an open question for thirty-six years. It is Smale's fourteenth problem, and this is the computer-assisted proof that settled it: W. Tucker, "A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem." Foundations of Computational Mathematics 2, 2002, pp. 53-117. DOI 10.1007/s002080010018
The dimension formula the results table uses, D = 2 + lambda_1/|lambda_3| for a three-dimensional flow: J. L. Kaplan and J. A. Yorke, "Chaotic behavior of multidimensional difference equations." In Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 1979, pp. 204-227. DOI 10.1007/BFb0064319

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.