Crescimento populacional e caos

Explore a dinâmica populacional: o crescimento logístico contínuo e o caminho do mapa logístico discreto rumo ao caos.

Exemplo resolvido — Crescimento populacional e caos

Taxa de crescimento (r)	0.5
Capacidade de carga (K)	1000
População inicial (N₀)	10
População final	1000.0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O caos vem de picar o tempo em passos 🖖

A equação logística contínua se comporta notavelmente bem: qualquer que seja a taxa de crescimento que você lhe dê, a população sobe ou desce suavemente e se acomoda na capacidade de suporte, sem oscilação e sem surpresas, para sempre. Todo o comportamento selvagem aparece somente quando o mesmo modelo é escrito em gerações discretas, xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ). Ali o estado estacionário só permanece estável enquanto r está abaixo de 3, divide-se num ciclo de dois anos em r = 3, duplica de novo e de novo, e se dissolve em caos por volta de r = 3,5699. A mesma biologia, o mesmo parâmetro — a diferença é se a reprodução acontece continuamente ou uma vez por estação. O caos é uma propriedade do passo de tempo, não da população.

Por que as curvas de crescimento achatam num S 🖖

No modelo contínuo, uma população cresce mais depressa quando atinge metade da capacidade de suporte. À medida que se aproxima de K, a concentração de indivíduos reduz o alimento e o espaço disponíveis para cada um; o crescimento abranda e a curva estabiliza suavemente, assumindo a forma de um S. Selecione o separador Contínuo e observe como o crescimento máximo ocorre no ponto de inflexão, exatamente em N = K/2, e não no início.

Um caos que se resolve com uma fórmula 🖖

Em r = 4 o mapa discreto é totalmente caótico e, ainda assim, tem uma solução exata em forma fechada: escrevendo x = sin²(π θ), cada passo se reduz a dobrar θ e manter a parte fracionária. Em binário, dobrar apenas desloca os dígitos para a esquerda, de modo que a órbita "imprevisível" na verdade apenas lê os bits sucessivos do valor inicial. Ela só parece aleatória porque fixar θ exigiria precisão infinita.

Problema resolvido na íntegra

O modelo discreto com 80 gerações 5 passos
Determine onde uma população estabiliza quando a sua própria regra de crescimento não a deixa estabilizar. Este é o modelo Discreto, x_t+1 = r_dx_t(1 − x_t), com r_d = 3,2, x₀ = 0,1 e 80 gerações.
1. Um equilíbrio é um valor que a aplicação devolve inalterado. Resolvendo a equação obtêm-se duas raízes, e a útil é a fração não nula da capacidade de carga: 68,75% de ocupação.
  
  $x^{*} = r x^{*} (1 - x^{*}) ⟹ x^{*} = 1 - \frac{1}{r} = 1 - \frac{1}{3.2} = 0.6875$
2. A existência de um ponto fixo não é o mesmo que uma população alcançá-lo. Desloque ligeiramente a população e a aplicação multiplica esse erro pelo declive a cada geração, pelo que o equilíbrio só se mantém enquanto o declive for menor do que 1 em módulo. Em r_d = 3,2 é de −1,2: o sinal de menos atira a população para o outro lado de 0,6875 a cada ano, e o 1,2 coloca-a mais longe do que no início.
  
  $f^{'} (x) = r (1 - 2 x), f^{'} (x^{*}) = r (\frac{2}{r} - 1) = 2 - r = - 1.2, ∣ - 1.2 ∣ > 1$
3. Assim, procure-se antes um par de valores que troquem de lugar. Qualquer valor que se repita ao fim de dois passos resolve f(f(x)) = x, que é uma equação do quarto grau — mas 0 e 0,6875 já a resolvem, visto que tudo o que se repete ao fim de um passo se repete ao fim de dois. Dividindo por essas duas raízes conhecidas, resta uma equação do segundo grau.
  
  $f (f (x)) - x = - r^{3} x (x - x^{*}) (x^{2} - \frac{r + 1}{r} x + \frac{r + 1}{r ^{2}})$
4. As raízes da equação do segundo grau são o ciclo. A 80.ª geração da ferramenta é a menor delas, em todos os seis dígitos que apresenta; a 79.ª é a maior.
  
  $x_{1, 2} = \frac{( r + 1 ) \pm ( r + 1 ) ( r - 3 )}{2 r} = \frac{4.2 \pm 0.84}{6.4} = \frac{4.2 \pm 0.916515}{6.4} = 0.513045, 0.799455$
5. O ciclo é um ponto fixo de f aplicada duas vezes, pelo que se aplica o mesmo teste de estabilidade, e o seu declive é o produto dos declives nos dois pontos. Em 0,16, o ciclo reduz os erros por um fator de seis a cada passo duplo, razão pela qual 80 gerações a partir de um valor inicial nada próximo dele vão parar exatamente sobre ele. Aumente-se r_d até que esse produto atinja −1 e o ciclo de período 2 perde, por sua vez, a estabilidade.
  
  $μ = f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 4 + 2 r - r^{2} = 0.16; μ = - 1 ⟹ r = 1 + 6 = 3.4495$
Resposta

A ferramenta apresenta 0,513045 e rotula o regime como Oscilação de período 2. Nem um único dígito desse valor é aproximado: trata-se de (4,2 − √0,84) / 6,4, um número algébrico, e o regime transitório extinguiu-se décadas de gerações antes do passo 80. O mecanismo vale mais do que o número. O equilíbrio em 0,6875 não desapareceu em r_d = 3 — continua lá em 3,2, sendo ainda uma solução perfeitamente válida e simplesmente inalcançável, e o que o substituiu nasceu já estável. Isso volta a acontecer em 1 + √6 = 3,4495, depois em 3,5441 e em 3,5644: janelas de 0,4495, 0,0946 e 0,0203, cada uma aproximadamente 4,7 vezes mais curta do que a anterior. Uma sucessão geométrica decrescente tem uma soma finita, pelo que infinitas duplicações cabem abaixo de 3,5699, e para lá dessa fronteira já não resta qualquer ciclo, de comprimento algum, onde estabilizar.

$r_{n} = 3, 1 + 6 = 3.4495, 3.5441, 3.5644, \dots ⟶ r_{\infty} = 3.5699$

Percurso de aprendizagem

Crescimento limitado

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Referências (1)

Insight blocks 1 and 3 — the discrete logistic map, its period doubling and the 3.5699 threshold: R. M. May, "Simple mathematical models with very complicated dynamics." Nature 261, 459–467, 1976.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Logístico - r = 0,5, com a população a subir de 10 até K = 1 000. A curva atinge a inclinação máxima em t = 9,19, precisamente quando N chega a 500; nesse ponto, a taxa é rK/4 = 125 por unidade de tempo.
Crescimento rápido - A taxa de crescimento é quatro vezes a do modelo logístico, por isso a população ultrapassa metade de K em t = 1,10, e não em 9,19. Mesmo assim, nunca excede K: no modelo contínuo, não há sobreelevação, seja qual for o valor de r.
Período 2 - Com r = 3,2, a população estabiliza em exatamente dois valores, 0,799455 e 0,513045, alternando entre eles indefinidamente. Acima de r = 3, o único estado estacionário desdobrou-se em dois.
Caos - Com r = 3,9, a população nunca estabiliza: nas últimas cem gerações, passa por cem valores distintos. Não há qualquer aleatoriedade; o mesmo valor inicial produz sempre a mesma sequência.