Lição
A teoria — Crescimento logístico com extração
Crescimento logístico com captura a taxa constante é a equação dN/dt = rN(1 − N/K) − H: uma população que cresce mais depressa quando está a meia lotação, menos um número fixo retirado todos os anos, independentemente de quantos restem. É essa última parte que cria toda a dificuldade. A captura não encolhe quando o manancial encolhe.
O que significa cada símbolo
r- a taxa intrínseca de crescimento: com que rapidez a população cresce quando é pequena e não está limitada.
K- a capacidade de suporte, onde o crescimento cai a zero.
H- a captura — um número de indivíduos por unidade de tempo, não uma percentagem.
N₋, N₊- os dois equilíbrios.
N₊é estável e é onde um manancial saudável assenta;N₋é instável e é a linha abaixo da qual já não consegue recuperar.
De onde vem a fórmula
- Um equilíbrio é uma população que não muda, portanto imponha
dN/dt = 0:rN(1 − N/K) = H. Crescimento à esquerda, captura à direita — o manancial mantém-se exactamente quando o que produz iguala o que se retira. - O lado esquerdo é uma parábola voltada para baixo em
N, nula emN = 0e emN = K, com o máximo emN = K/2, onde o crescimento valerK/4. A equação é então uma recta horizontal à alturaHa cortar uma colina: dois cortes, um, ou nenhum. - Resolvendo obtém-se
N± = (K/2)(1 ± √(1 − 4H/(rK))). A raiz só é real enquantoH ≤ rK/4, e é daí que vem o rendimento máximo sustentável — não como uma escolha de política, mas como a altura acima da qual a recta passa por cima de toda a colina. - As duas raízes não são equivalentes. Logo acima de
N₋a colina está acima da recta, o crescimento vence a captura e o manancial sobe; logo abaixo a captura vence, o manancial desce mais, e o ano seguinte é pior.N₋repele eN₊atrai. QuandoHsobe, os dois aproximam-se e encontram-se emK/2; para lá disso não há corte nenhum.
Como ler o que vê
A linha azul é a população ao longo do tempo. A tracejada cinzenta é a capacidade de suporte, a verde o equilíbrio estável para onde o manancial se dirige, e a pontilhada vermelha o limiar de colapso. A faixa vermelha por baixo é a região de onde não há recuperação possível com esta captura: se a linha azul aí começar, ou aí for empurrada alguma vez, chega a zero. Quando a captura ultrapassa o rendimento máximo sustentável, ambas as tracejadas desaparecem, porque não sobra nada onde o manancial possa assentar.
- Pressupõe
- Uma só espécie, sem estrutura etária, sem predadores e sem um ambiente que varie de ano para ano. O crescimento é logístico, pelo que o excedente depende apenas do manancial actual. E a captura é verdadeiramente constante — continua na mesma dimensão absoluta por poucos indivíduos que restem, e é isso que torna a extinção alcançável em tempo finito e não apenas aproximada.
- Falha quando
- O equilíbrio instável é perigoso de um modo que esta imagem determinística não consegue mostrar. Um manancial real flutua, e basta ser empurrado uma única vez abaixo de
N₋, por um mau ano de recrutamento, para o modelo o mandar a zero — com a quota intacta. Quanto mais perto a captura estiver do rendimento máximo sustentável, mais altoN₋trepa e menor é o choque necessário para o atravessar. Gerir para o máximo teórico não é, portanto, uma política ligeiramente arriscada: é a política que torna o choque fatal o mais pequeno possível.
Problema resolvido na íntegra
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Retirar apenas 10 de uma pescaria com rendimento máximo sustentável de 50 5 passos
Uma pescaria cresce logisticamente com r = 0,4 e uma capacidade de carga de 500, e o seu rendimento máximo sustentável é de 50. Retire apenas 10 — um quinto do que o stock poderia suportar — e determine quão perto este ainda se encontra do colapso.
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O modelo é o crescimento logístico subtraído de uma captura constante. Ser constante é a hipótese que causa o estrago: a captura não diminui quando o stock diminui.
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Igualar a taxa de variação a zero resulta numa equação do segundo grau em N, pelo que existem dois equilíbrios em vez de um. Essa é a essência do problema — uma população logística não explorada tem um único ponto estável em K, e adicionar uma captura fixa divide-o em dois.
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Com H = 10, o discriminante é 0,8 e as raízes são 473,6 e 26,4. A raiz superior é estável: perturbe o stock num ou noutro sentido e ele regressa. A inferior não o é — é um limiar crítico.
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A raiz quadrada anula-se quando H atinge rK/4 = 50. Esse é o rendimento máximo sustentável, e é precisamente onde os dois equilíbrios se fundem e aniquilam: acima dele não existe qualquer equilíbrio e o stock reduz-se a zero a partir de qualquer tamanho inicial.
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O que reenquadra completamente a raiz inferior. Não se trata de uma população, mas sim de uma margem de segurança — a quantidade de azar que a pescaria consegue absorver antes que a captura supere a capacidade de regeneração.
Resposta
A ferramenta apresenta um stock estável de 473,607, um limiar de colapso de 26,393 e um RMS de 50. Retirar um quinto do máximo sustentável ainda deixa um limite mínimo nos cerca de 5% da capacidade de carga: caia abaixo dele uma única vez, por qualquer razão, e a mesma captura modesta levará a população a zero. Pescar no RMS é pior do que parece — aí as duas raízes encontram-se em 250, a margem de segurança é exatamente zero, e a menor sobreestimativa de r ou K coloca-o do outro lado de uma fronteira que deixou de existir. A predefinição que começa em N₀ = 26 mostra a armadilha completa: uma captura legal, modesta e genuinamente sustentável, e um stock que morre de qualquer forma.
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Percurso de aprendizagem
Crescimento limitado
Referências (1)
- The paper that put maximum sustainable yield into fisheries management, and the model this tool integrates: M. B. Schaefer, "Some aspects of the dynamics of populations important to the management of the commercial marine fisheries", 1954 — reprinted in Bulletin of Mathematical Biology 53(1–2), 253–279, 1991.