Dinâmica Predador-Presa

O pico dos predadores sempre ocorre depois do pico das presas. Quando há abundância de presas, os predadores prosperam e se multiplicam — mas, quando o número de predadores atinge o pico, as presas já estão esgotadas. A população de predadores entra então em colapso por inanição, dando às presas a chance de se recuperar, e o ciclo se repete. Essa defasagem de um quarto de ciclo é uma consequência matemática das equações de Lotka-Volterra e corresponde a observações em sistemas reais de predador-presa, como o lince e a lebre americana.

As equações exatas de Lotka-Volterra têm uma quantidade conservada — H = δx − γ ln x + βy − α ln y — que permanece constante ao longo de cada trajetória. Isso significa que as órbitas são, matematicamente, laços fechados: as populações oscilam para sempre sem espiralar para dentro ou para fora, e sem nunca realmente chegar a zero. Começando perto do equilíbrio (x★, y★), obtêm-se laços suaves, quase circulares. Começando longe — por exemplo, x₀ = 1, y₀ = 100 —, a órbita é uma excursão longa e estreita que produz ciclos em dente de serra bem marcados: os predadores entram em colapso por fome, a presa se recupera de forma explosiva, e então a fartura de predadores derruba a presa novamente. Essa forma em picos não é um artefato numérico; é a solução correta de grande amplitude. O que é um artefato é a própria sobrevivência. Numa equação diferencial contínua, as populações se aproximam de zero mas nunca o atingem. Num ecossistema real com animais discretos, esse ponto mínimo significa apenas um punhado de indivíduos — e eventos aleatórios então levam à extinção real. A simulação contorna isso limitando as populações a 0,01, mostrando assim a órbita matemática em vez da realidade biológica. Um modelo estocástico mostraria, em vez disso, que desequilíbrios iniciais extremos geralmente terminam em colapso.

Vito Volterra formulou estas equações em 1926 para resolver um enigma proposto pelo seu genro, o biólogo Umberto D'Ancona: por que a proporção de peixes predadores nas capturas do Adriático havia aumentado durante a Primeira Guerra Mundial, quando a pesca quase parou? A resposta é o princípio de Volterra: uma mortalidade que atinge igualmente ambas as espécies eleva a população média de presas e reduz a de predadores. Isso explica por que inseticidas de amplo espectro podem sair pela culatra — matar as pragas e seus inimigos naturais costuma deixar mais pragas do que antes.