Explorador de fractais

Ajuste a profundidade de recursão e veja padrões autossimilares emergirem de regras simples.

Exemplo resolvido — Explorador de fractais

Profundidade	5
Triângulos	243

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador de fractais

Uma dimensão fractal surge quando se insiste que «dimensão» signifique como o detalhe se multiplica ao aproximar, e depois se aplica isso a uma forma construída por repetição. O painel indica uma para a forma que estiver no ecrã, e os números não são inteiros: o floco de Koch dá 1.262, o triângulo de Sierpiński 1.585, o conjunto de Cantor 0.631. Uma forma pode ser mais do que uma linha e menos do que um plano, e este menu contém oito delas.

Um eixo horizontal de dimensão fractal de 0 a 2, com as oito formas do menu marcadas na sua dimensão, entre uma linha e um plano.

O conjunto de Cantor em 0.631 é a surpresa: abaixo da dimensão 1, mais do que um pó de pontos e menos do que uma linha. O seu comprimento total é zero e mesmo assim tem uma infinidade não numerável de pontos.
Koch em 1.262 e Sierpiński em 1.585 ocupam o espaço para o qual a palavra «fractal» foi inventada — verdadeiramente entre uma linha e um plano, nem aproximação nem arredondamento.
O feto de Barnsley em ≈ 1.893 chega perto de preencher o plano sem alguma vez o fazer, e o seu valor é aproximado porque as suas quatro aplicações se sobrepõem.
Três construções caem em exatamente 2 — o dragão, a curva C de Lévy e a de Hilbert. Não são curvas que quase preenchem: no limite, preenchem.

O que significa cada símbolo

N: quantas cópias de si mesma a regra produz em cada passo. Koch substitui um segmento por 4; Sierpiński substitui um triângulo por 3.
r: quanto mais pequena é cada cópia. Koch escala ⅓, Sierpiński ½, a curva C de Lévy 1/√2.
D: a dimensão de Hausdorff que o painel imprime, log N / log(1/r) — o expoente que põe de acordo as cópias e o escalamento.
depth: quantas vezes a regra foi realmente aplicada no ecrã. Pára em 7, e todo o D acima é o limite quando tende para infinito.

De onde vem a fórmula

Começa por formas em que já confias. Reduz uma linha a metade e são precisas 2 cópias para a refazer; um quadrado, 4; um cubo, 8. O padrão é N = (1/r)^D, com D igual a 1, 2 e 3 — a dimensão é o expoente que liga cópias e escala, e nada nessa definição exige um número inteiro.
Resolve em ordem a D. Tomando logaritmos em N = (1/r)^D obtém-se D = log N / log(1/r). É essa a fórmula que o painel imprime, e cada parte dela está na regra de construção logo acima.
Lê uma regra na página e substitui. Koch troca um segmento por 4 de comprimento ⅓, portanto N = 4 e 1/r = 3, o que dá log 4 / log 3 ≈ 1.262. Sierpiński dá log 3 / log 2 ≈ 1.585. Nenhum é inteiro, e não é uma aproximação — é o que a forma é.
Agora faz a conta onde ela surpreende. A curva C de Lévy substitui um segmento por 2 a 1/√2, logo log 2 / log √2 = 2 exatamente; Hilbert substitui um por 4 a ½, dando log 4 / log 2 = 2. Uma dimensão de exatamente 2 significa que não são curvas que serpenteiam: no limite preenchem uma área, e é por isso que o painel escreve «preenche o espaço» em vez de um decimal.

Como ler o que vê

Muda de forma e repara como a linha da contagem muda de nome: Triângulos em Sierpiński, Segmentos em Koch, Ramos na árvore, Intervalos em Cantor, Pontos em Hilbert e no feto. Não é enfeite — «quantas peças» quer mesmo dizer coisas diferentes em cada construção, e o painel recusa-se a achatar tudo numa palavra só. Cada contagem bate certo com a fórmula impressa ao lado: à profundidade 4 Sierpiński mostra 81 = 3⁴, Koch 768 = 3·4⁴, Cantor 16 = 2⁴, Hilbert 256 = 4⁴ e a árvore 31 = 2⁵ − 1. Põe a profundidade a 0 e sobe de um em um; a coluna da contagem é a regra, aritmética tornada visível.

Pressupõe: Que as cópias são exatas e não se sobrepõem. D = log N / log(1/r) é uma afirmação sobre autossemelhança estrita — é por isso que o painel se permite imprimir um quociente exato de logaritmos para Koch e Sierpiński, e por isso imprime ≈ 1.893 para o feto de Barnsley e ≈ 1 para a árvore. O feto é construído por quatro aplicações afins de razões diferentes que se sobrepõem, e a árvore muda de dimensão assim que mudas o ângulo dos ramos. O til está a trabalhar a sério.
Falha quando: Nada do que está no ecrã é um fractal. O cursor de profundidade pára em 7, e à profundidade 7 a curva de Koch são 3·4⁷ = 49 152 segmentos retos de comprimento total perfeitamente finito — um polígono vulgar de dimensão exatamente 1. Todo o valor do painel é um limite para o qual o desenho caminha sem nunca lá chegar, e o inverso também vale: as curvas que preenchem o espaço encerram área zero em todas as profundidades selecionáveis. A leitura honesta desta página é que estás a ver uma sucessão — e o fractal é aquilo para que a sucessão existe.

Nenhum destes fractais vem de um polinómio complexo — todos são uma regra repetida 🖖

Nenhuma das oito figuras apresentadas é um conjunto de Mandelbrot, e nenhuma exige números complexos. Todas são construídas por substituição: troca-se um segmento por uma configuração de segmentos menores, repete-se o processo, e o seletor de profundidade indica literalmente quantas vezes. A própria construção dá diretamente a dimensão. Na curva de Koch, um segmento é substituído por quatro com um terço do comprimento; por isso, a sua dimensão é log 4 / log 3 = 1,262. Na profundidade 4 da predefinição, o comprimento já é (4/3)⁴ = 3,16 vezes o do segmento inicial. O triângulo de Sierpinski tem dimensão log 3 / log 2 = 1,585. O conjunto de Cantor tem dimensão log 2 / log 3 = 0,631: um conjunto com menos de uma dimensão.

Uma regra, repetida, torna-se tudo 🖖

Cada forma aqui nasce de uma única instrução que o programa aplica a si mesmo. Um ramo da árvore fractal simplesmente gera dois ramos mais curtos, e cada um repete a mesma regra — isso é a recursão. Aumente a profundidade em um e o número de ramos dobra, embora a regra que você escreveu nunca mude. Cada chamada aninhada se empilha na pilha de chamadas e se desfaz quando o desenho termina.

Uma curva do dragão percorre Jurassic Park 🖖

A curva do dragão deste explorador é o dragão de Heighway, obtida dobrando uma tira de papel repetidamente e abrindo cada vinco em ângulo reto. Michael Crichton a incluiu em seu romance Jurassic Park, de 1990: cada uma das sete seções começa com a curva em uma iteração mais profunda, refletindo como uma perturbação mínima se agrava até o caos. Escolhida pelo matemático Ian Malcolm, é a matemática como recurso narrativo.

Três destas oito curvas têm dimensão exatamente 2 🖖

Faça a mesma aritmética no resto do menu e sai algo estranho. O dragão e a curva C de Lévy substituem cada um um segmento por dois com 1/√2 do comprimento, o que dá log 2 / log √2 = exatamente 2. Hilbert substitui um por quatro com metade do comprimento: log 4 / log 2 = 2 outra vez. Uma dimensão de exatamente 2 significa que estas não são bem curvas que vagueiam pelo plano — a profundidade infinita enchem-no, visitando todos os pontos de uma região. É por isso que parecem maciças muito antes de o cursor de profundidade se esgotar, enquanto Koch, a 1,262, nunca o faz.

O feto é desenhado pelo azar e sai idêntico todas as vezes 🖖

Barnsley é o caso à parte: não uma regra de substituição mas um jogo do caos. Comece num ponto, escolha ao acaso uma de quatro transformações afins — com pesos de 1 %, 85 %, 7 % e 7 % —, aplique-a, desenhe, repita. Nada nisso diz «feto», e no entanto um feto é o que aparece. E é o mesmo feto em cada visita, porque a ferramenta arranca o seu gerador com um 42 fixo, de modo que a sequência de escolhas nunca varia. O ponto mais profundo é que não faria diferença se variasse: um sistema de funções iteradas converge para o seu atractor independentemente do caminho aleatório que se tome. O azar é essencial ao método e irrelevante para a resposta.

Problema resolvido na íntegra

O triângulo de Sierpiński na profundidade 5 com 243 peças 5 passos
À profundidade 5, o triângulo de Sierpiński tem 243 peças. Deduza esse resultado e, em seguida, determine a profundidade em que resta menos de 1% da área original — e o que acontece ao perímetro enquanto a área se desvanece.
1. A construção é uma única recorrência: cada triângulo transforma-se em três. Resolvê-la exige apenas notar que é geométrica.
  
  $N (n) = 3 N (n - 1), N (0) = 1 ⟹ N (n) = 3^{n}; N (5) = 243$
2. Cada filho tem metade do lado, logo um quarto da área, e existem três deles. Multiplicando os dois fatores, obtém-se a regra da área.
  
  $s (n) = (\frac{1}{2})^{n} s_{0} \Rightarrow A (n) = 3^{n} (\frac{1}{4})^{n} A_{0} = (\frac{3}{4})^{n} A_{0}$
3. Avaliando ambas à profundidade 5, resta pouco menos de um quarto da área — 23,7% — e a fronteira já é 7,59 vezes o seu comprimento original.
  
  $A (5) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024} = 23.7%, P (5) = (\frac{3}{2})^{5} = 7.59 \times$
4. A dimensão é definida pelo expoente que mantém constante a relação contagem × tamanho^D sob a regra. Três cópias a metade da escala impõem 3 = 2^D, sem que nada sobre o desenho intervenha.
  
  $N (n) s (n)^{D} = const \Rightarrow 3 \cdot 2^{- D} = 1 \Rightarrow D = \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1.585$
5. Agora, resolva a regra da área para a profundidade em que resta 1%. Os logaritmos dão 16,01, ou seja, profundidade 17 — e, a essa altura, a contagem de triângulos já ultrapassou os 129 milhões, razão pela qual a ferramenta para muito antes.
  
  $(\frac{3}{4})^{n} < 0.01 \Rightarrow n > \frac{ln 0.01}{ln 0.75} = 16.01 \Rightarrow n = 17, N = 3^{17} = 129140163$
Resposta

Profundidade 17, ponto em que existem 129 140 163 triângulos. As duas grandezas movem-se em direções opostas e ambas o fazem geometricamente: a área diminui como (3/4)ⁿ no sentido de zero, enquanto o perímetro total aumenta como (3/2)ⁿ sem limite. Uma forma cuja área tende para zero e cuja fronteira tende para o infinito não tem um comportamento anómalo, simplesmente não é unidimensional nem bidimensional — e o expoente que reconcilia as duas, log 3 / log 2 = 1,585, é o que a "dimensão" tem de significar quando se admitem formas como esta. Note-se que não se trata de algo medido sobre a imagem; decorre apenas da regra de contagem.

$N = 3^{5} = 243, A = (\frac{3}{4})^{5} = 23.7%, D = \frac{l o g 3}{l o g 2} = 1.585$

Referências (3)

Where fractional dimension entered general use — the paper behind the dimensions quoted here: B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension." Science 156, 636–638, 1967.
The chaos game and the fern, from the book that introduced both: Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, 1988. ISBN 978-0-12-079062-3.
The dragon curve as a storytelling device, section by section: Michael Crichton, Jurassic Park. Alfred A. Knopf, 1990. ISBN 978-0-394-58816-2.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-12

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Sierpinski - Profundidade 6: 3⁶ = 729 triângulos, restam 17,8% da área original e a fronteira mede 11,39 vezes o comprimento inicial. Dimensão log 3 / log 2 = 1,585.
Floco de neve de Koch - Profundidade 4: por quatro vezes, cada segmento foi substituído por quatro com um terço do comprimento. Assim, o contorno mede (4/3)⁴ = 3,16 vezes o segmento inicial. Dimensão 1,262.
Árvore fractal - Profundidade 10. O número de ramos duplica a cada passo, pelo que há 2¹⁰ = 1 024 extremidades, traçadas a partir de uma regra com três segmentos.
Curva do dragão - Profundidade 12: 2¹² = 4 096 segmentos. A dimensão é exatamente 2, daí o aspeto compacto: com profundidade infinita, a curva preenche uma região do plano.
Conjunto de Cantor - É o único exemplo com dimensão inferior a 1: log 2 / log 3 = 0,631. Na profundidade 6, os 64 intervalos restantes conservam 8,8% do comprimento original.
Samambaia de Barnsley - Não resulta de uma regra de substituição, mas de um jogo do caos: escolhem-se aleatoriamente quatro transformações afins, com pesos de 1%, 85%, 7% e 7%. A ferramenta inicializa o gerador com 42, por isso o feto é idêntico em todas as visitas.
Curva de Hilbert - Um segmento dá lugar a quatro com metade do comprimento, logo log 4 / log 2 = 2 exatamente. Na profundidade 5, as suas 1 024 células já cobrem o quadrado.
Curva C de Lévy - Dois segmentos com 1/√2 do comprimento dão log 2 / log √2 = 2, a mesma dimensão da curva do dragão, pela mesma razão.

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3Blue1Brown·Fractals are typically not self-similar