O Tempo numa Malha

Uma previsão é um campo definido numa malha e avançado por um relógio. Ao colocá-los em conflito, um modelo de física irrepreensível entregará valores que nenhuma atmosfera seria capaz de suportar.

Exemplo resolvido — O Tempo numa Malha

Espaçamento da malha	1,000 km
Número de Courant	1,000
Distância que o vento percorre num passo	1,000 km
A simulação manter-se-á estável?	sim
O campo ultrapassa 10 vezes o pico inicial	nunca ultrapassa
Altura preservada pelo perfil	100,0%
Erro face à solução exata	5,4 × 10⁻²²
Maior valor observado num passo	1,000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Tempo numa Malha

Um modelo de previsão representa a atmosfera como números numa malha e avança-os através de passos de tempo. O processo mais simples que executa é a adveção: o vento transporta um padrão, ∂u/∂t + c ∂u/∂x = 0. Esta página resolve essa equação num anel de 160 km de perímetro. A escolha não é acidental, pois a adveção possui uma resposta exata: decorrido um tempo t, o campo é o campo inicial deslocado de c·t e nada mais. Assim, todos os erros aqui reportados são medidos em relação à verdade e não em comparação com uma simulação mais fina. O número de Courant ν = c·Δt/Δx indica quantas células o vento atravessa num único passo. A condição CFL ν ≤ 1 é a regra que os esquemas explícitos aqui presentes obedecem ou violam. Courant, Friedrichs e Lewy publicaram-na em 1928, dezoito anos antes da primeira previsão numérica ser executada.

O que significa cada símbolo

c: a velocidade do vento, em m/s. Aqui é constante; num modelo real faz parte da resposta e não de uma configuração inicial
Δx: o espaçamento da malha, correspondente a 160 km a dividir pelo número de células
Δt: o passo de tempo, em segundos
ν: o número de Courant, c·Δt/Δx. Tudo nesta página depende do facto de este valor estar acima ou abaixo de 1
N: células ao longo do anel, de 10 a 400

Pressupõe: Uma única equação, uma dimensão, uma velocidade de vento e um anel sem bordas. Como a solução exata é conhecida, o erro reportado pertence exclusivamente ao esquema. Assume-se também um esquema explícito, em que cada novo valor é construído apenas a partir de valores antigos. Essa é a premissa de que a condição CFL trata verdadeiramente, e da qual um modelo real escapa em parte.
Falha quando: Na maior parte daquilo com que um centro de previsão lida na prática. Um modelo real comporta várias velocidades de onda em simultâneo e a mais rápida é a do som, a cerca de 340 m/s. Respeitar a condição CFL para ondas sonoras que ninguém está a prever forçaria um passo de tempo trinta vezes menor do que as condições meteorológicas exigem. É por isso que os modelos operacionais são semi-implícitos e tratam essas ondas à parte. O vento também não é constante, pelo que ν tem de se manter válido para o vento mais forte em qualquer ponto da malha e não apenas para a média. Um modelo de área limitada possui fronteiras, e decidir o que lhes fazer é, por si só, um campo de investigação independente. Um esquema implícito escapa inteiramente ao limite CFL, à custa de resolver um sistema de equações em cada passo de tempo em vez de simplesmente varrer uma matriz.

O relógio é ditado pela malha e não pela equação 🖖

Pressione Exatamente no limite e, em seguida, Mais fina, mesmo relógio. O mesmo vento, o mesmo passo de tempo e a mesma equação; as células passam de 1 km para 667 m sem que nada mais se altere. A primeira simulação é exata. A segunda ultrapassa dez vezes o seu pico inicial no passo 44 e atinge 1,8 × 10³⁰. A terceira linha da tabela explica o motivo: o vento percorre 1,000 km num único passo de 100 s. Enquanto a largura de uma célula for pelo menos igual a essa distância, o ar que lá chega provém de um ponto entre a própria célula e a sua vizinha a montante. O novo valor será, portanto, uma mistura dessas duas quantidades, que é a única coisa que o esquema upwind alguma vez faz. Ao estreitarmos a célula para um valor inferior, o ar que lá chega vem de mais longe do que o vizinho que o esquema consulta. O peso atribuído ao valor da própria célula, 1 − ν, torna-se negativo. Um peso negativo não calcula uma média. Amplifica. ν = c·Δt/Δx ≤ 1 é essa mesma frase escrita em símbolos. Refinar uma malha melhora a física mas põe a aritmética em risco, e as equações nada dizem sobre isso.

Atravessar o limite não destrói a previsão no imediato. Apenas determina a sua falha. 🖖

O segundo painel varre o número de Courant e conta os passos necessários até que o campo cresça por um fator de dez. Para 1,05, isso exige 330 passos; para 1,2 leva 93; para 2,0 bastam 19. Ligeiramente acima do limite, para 1,01, o modelo precisa de 1 588 passos, um número superior ao total executado pelas três primeiras configurações juntas. Nada parece errado nesses passos iniciais, porque o crescimento é exponencial e a natureza do crescimento exponencial é permanecer invisível até subitamente deixar de o ser. Um meteorologista que esteja a analisar os resultados já gastou o tempo de computação. O número de Courant, contudo, pode ser calculado a partir de três valores antes sequer do início da simulação. É assim que um centro operacional trabalha.

A configuração mais exata é aquela que se encontra à beira da falha 🖖

Em exatamente ν = 1, o esquema upwind não é apenas preciso. É exato: o erro em relação à resposta verdadeira é de 5,4 × 10⁻²² e o perfil mantém 100,0% da sua altura. Um número de Courant igual a 1 transforma cada passo num deslocamento limpo de uma célula e translação é tudo o que a adveção sempre foi. Qualquer valor inferior espalha o perfil por células vizinhas que o vento ainda não tinha alcançado. Nas mesmas 11,11 horas simuladas e na mesma malha de 1 km, ν = 0,99 preserva 94,3%, ν = 0,90 mantém 66,7%, ν = 0,50 fica-se por 37,1% e ν = 0,25 guarda apenas 31,0%. Recuar do limite por precaução é a forma mais barata que existe de perder um sistema meteorológico. A solução óbvia acaba por ser pior do que a doença: clique em O esquema melhor e veja um método cujo erro de truncatura é uma ordem de grandeza menor do que o do upwind divergir no passo 39, operando com metade do limite de Courant.

Problema resolvido na íntegra

O modelo a 4 km demora 40 minutos. Quanto custa um de 500 m? 7 passos
Um modelo de previsão a 4 km simula o seu domínio com 40 minutos de tempo de processador. Pede-se que determine o custo da mesma previsão a 500 m. Calcule-o antes de prosseguir e repare em qual dos três fatores não estava à espera. Clique em Exatamente no limite para colocar a ferramenta na linha de 1 km da tabela.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comecemos pelas células. Reduzir o espaçamento a metade duplica a quantidade de células de cada lado. Como um domínio de previsão tem duas dimensões horizontais, uma redução a metade equivale a quatro vezes as células: 4 km exige 40 × 40, enquanto 2 km obriga a 80 × 80.
  
  $N_{2 km}^{2} / N_{4 km}^{2} = \frac{8 0 ^{2}}{4 0 ^{2}} = 4$
2. Chegamos agora ao fator que apanha as pessoas desprevenidas. O passo de tempo não é um valor livre. A condição CFL vincula-o ao espaçamento, pelo que reduzir Δx a metade também corta o maior Δt permitido a metade. Com um vento de 10 m/s e ν = 0,9, uma malha de 4 km autoriza 360 s, mas uma de 2 km tolera apenas 180 s. Os passos precisos para simular um dia passam de 240 para 480.
  
  $Δ t \leq \frac{ν Δ x}{c} : \frac{0 . 9 \cdot 4000}{10} = 360 s ⟶ \frac{0 . 9 \cdot 2000}{10} = 180 s$
3. Multiplicando os dois efeitos. Quatro vezes as células e o dobro dos passos resultam em oito vezes mais trabalho por cada redução a metade. Temos 384 000 atualizações de células por dia a 4 km, em contraste com 3 072 000 a 2 km. A última coluna da tabela apresenta 8,00 em todas as linhas. Trata-se desse fator exato e não de uma estimativa.
  
  $Δ x 8 km 4 km 2 km 1 km 500 m cells 2 0^{2} 4 0^{2} 8 0^{2} 16 0^{2} 32 0^{2} Δ t_{m a x} 720 s 360 s 180 s 90 s 45 s steps/day 120240480960 1, 920 updates/day 48, 000 384, 000 3, 072, 000 24, 576, 000 196, 608, 000 \times 8888 4 (cells) \cdot 2 (steps) = 8 per halving$
4. Passar de 4 km para 500 m exige três reduções a metade, logo o fator é de 8³ = 512. A tabela concorda integralmente: 384 000 atualizações por dia a 4 km, 196 608 000 a 500 m.
  
  $8^{3} = 512$
5. Os 40 minutos convertem-se em 40 × 512 = 20 480 minutos, o equivalente a duas semanas, para um único dia de tempo simulado. Esta é a justificação para o tamanho atual das malhas de previsão não ser tão fino quanto desejaríamos. É também o motivo pelo qual um centro que adquire o dobro da resolução está, na verdade, a comprar uma máquina oito vezes maior.
  
  $40 min \cdot 512 = 20, 480 min = 14.2 days$
6. A estimativa é honesta no seu âmbito. Assume que o trabalho por atualização de célula não se altera. Tal aproximação é adequada para um termo de adveção, mas torna-se cada vez mais generosa à medida que a física se enriquece. Assume igualmente que ν se mantém em 0,9, algo que nenhum modelo real pode prometer. A variável ν tem de resistir ao vento mais veloz na malha e uma corrente de jato não consulta o modelador.
7. Eis onde a página termina. Um centro confrontado com esta aritmética não se limita a pagar a conta. Parte deste fator é recuperado com um esquema semi-implícito, que escapa à condição CFL para as ondas rápidas, à custa de resolver um sistema em cada passo. Outra parte advém de gastar resolução apenas onde ela é necessária, através de uma malha aninhada ou de resolução variável. Ambas as soluções são reais, nenhuma delas é gratuita e esta página não calcula nenhuma das duas.
Resposta

512 vezes mais trabalho, ou seja, aproximadamente duas semanas para um único dia de previsão. Quatro vezes as células e o dobro dos passos por cada redução a metade, três reduções, 8³ = 512. O fator de que ninguém está à espera é o terceiro: a condição de Courant gasta o seu passo de tempo por si.

$8^{3} = 51240 min \cdot 512 \approx 14 days$

Percurso de aprendizagem

Como é feita uma previsão meteorológica

Referências (4)

The condition itself, published in 1928 — eighteen years before anyone integrated a forecast, and about hyperbolic equations rather than about weather: R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik." Mathematische Annalen 100(1), 1928, pp. 32-74. DOI 10.1007/BF01448839
The first numerical forecast that worked, and the paper that had to choose a grid and a time step to make it work: J. G. Charney, R. Fjørtoft and J. von Neumann, "Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation." Tellus 2(4), 1950, pp. 237-254. DOI 10.3402/tellusa.v2i4.8607
Richardson's 1922 attempt, which is where the subject starts and where the arithmetic first bit — his six-hour forecast of pressure change came out 145 hPa, against a real change of almost nothing: L. F. Richardson, Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.
Where the stability analysis of these two schemes is done properly, including why a second-order centred difference is unconditionally unstable for pure advection: D. R. Durran, Numerical Methods for Fluid Dynamics: With Applications to Geophysics, 2nd edition. Springer, 2010.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.