Eliminação de Gauss

Escolha qual linha servirá de pivô em cada coluna e observe a eliminação. No segundo exemplo, a escolha define a resposta: use o número minúsculo como pivô e x dará 0 em vez de 1.

Exemplo resolvido — Eliminação de Gauss

Determinante	-1
Resíduo	8,8818 × 10⁻¹⁶

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Eliminação de Gauss269 palavras

A eliminação transforma um sistema noutro equivalente triangular, que pode depois ser solucionado de baixo para cima. O seu valor não está em funcionar. Vários métodos funcionam. Está naquilo que custa, porque é esse custo que determina o método que a máquina vai realmente executar.

O que significa cada símbolo

n: o número de incógnitas, e a única coisa de que o custo depende.
pivot: o coeficiente pelo qual uma linha é dividida. A ordem fixada pelo algoritmo é o que torna o processo livre de decisões. O número que calha nesse lugar é o que assegura a sua sobrevivência em vírgula flutuante.

Pressupõe: Um sistema denso e sem qualquer estrutura explorável. Sistemas esparsos, em banda ou simétricos ficam mais baratos. Saber escolher o método especializado adequado resume grande parte da álgebra linear numérica.
Falha quando: O custo é cúbico. Cúbico é uma barreira. A eliminação sobre n incógnitas requer cerca de n³/3 multiplicações e igual número de adições. Contando diretamente numa eliminação real, temos 333.300 multiplicações com n = 100 face às 333.333 da estimativa. Aquilo que o expoente nos cobra é uma penalização fixa de crescimento: duplicar as incógnitas multiplica o trabalho por exatamente 8. Desse modo, 100 incógnitas requerem 333.300 multiplicações e 200 requerem 2.666.600. Uma máquina que despache mil incógnitas num segundo precisa de oito segundos para duas mil. Levará cerca de duas horas e um quarto para vinte mil. Esse é o formato da barreira. É a razão pela qual a pergunta interessante da álgebra linear numérica quase nunca passa por como resolver um sistema denso, mas sim como evitar sequer tê-lo.

Os mesmos dois passos, numa ordem que elimina qualquer escolha 🖖

Duas equações exigiam um único passo: subtrair um múltiplo de uma linha de outra. Três equações requerem esse mesmo passo e mais um, e a lista de passos indica ambos: uma troca, para colocar um número útil no pivô, e uma eliminação. A ordem é fixa: anular a primeira coluna, depois a segunda, ler o resultado na última linha e resolver de baixo para cima. Siga esta sequência e nunca precisará de engenho para escolher a equação a atacar. Reside aqui a diferença entre um enigma e um procedimento, e é por esse motivo que o método ganha escala: executar a mesma rotina sobre mil incógnitas é o que alimenta qualquer programa de engenharia no mundo, sessenta anos depois de ter merecido um nome.

O determinante é o produto dos pivôs 🖖

Acompanhe os pivôs durante a eliminação e multiplique-os. Depois, inverta o sinal uma vez por cada troca de linha. Esse é o determinante. Ele decorre do trabalho que você já estava a realizar. A maioria das pessoas aprende determinantes pela expansão de cofatores. Vale a pena entender o motivo pelo qual ninguém os calcula assim na prática: os cofatores custam cerca de n! operações perante as n³ da eliminação. Numa matriz 20 × 20, isso significa 2 × 10¹⁸ contra 8.000. Um fator de 10¹⁴ decide qual dos métodos se pode razoavelmente pedir a uma máquina. A primeira fórmula ensinada a todos é justamente aquela que nenhum computador jamais utilizou.

Uma escolha dentro do procedimento altera a resposta 🖖

Prima Pivotagem desligada. O coeficiente principal é 10⁻¹⁷, o algoritmo divide por ele obedientemente e devolve 0 para x quando a verdadeira resposta é 1. Nada falhou e nenhuma regra foi violada. Dividir por um valor tão pequeno multiplica os erros de arredondamento pré-existentes. Quando o cálculo atinge o topo da substituição regressiva, o erro já devorou a resposta. É um precipício, não uma encosta: reduzindo o coeficiente, 10⁻¹² ainda produz quatro algarismos corretos e 10⁻¹⁵ dá três, mas depois 10⁻¹⁶ devolve 2,22 e 10⁻¹⁷ devolve 0. O limite situa-se no épsilon da máquina, o salto entre 1 e o número seguinte que um double pode representar. Assinale a caixa e o algoritmo passará a dividir pelo maior número disponível, resolvendo cada um desses casos com exatidão. É para isso que o cartão de resíduos se encontra na página. Ele reintroduz a resposta nas equações originais, assumindo-se como a única via para distinguir uma solução real de um resultado puramente convicto.

Problemas resolvidos na íntegra

Resolver 2x + y − z = 8 e o custo em precisão 7 passos
Resolva 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3 — e depois avalie o que a eliminação lhe custou em exatidão.
1. Escreva como uma matriz aumentada. As letras não fazem nenhum trabalho, por isso descarte-as e mantenha as colunas.
  
  $2 - 3 - 2 1 - 1 1 - 1 22 8 - 11 - 3$
2. Faça o pivotamento pela maior entrada da primeira coluna, que é −3 na linha dois, e desloque-a para cima. Cada troca de linha inverte o sinal do determinante, portanto acompanhe a conta.
  
  $R_{1} \leftrightarrow R_{2} (∣ - 3∣ > ∣2∣)$
3. Zere o restante da primeira coluna subtraindo múltiplos da linha do pivô.
  
  $R_{2} \to R_{2} - \frac{2}{- 3} R_{1}, R_{3} \to R_{3} - \frac{- 2}{- 3} R_{1}$
4. Repita o procedimento na segunda coluna. A seguir, leia a última linha: ela contém uma incógnita e o seu valor.
  
  $R_{2} \leftrightarrow R_{3} (\frac{5}{3} > \frac{1}{3}) \Rightarrow \frac{1}{5} z = - \frac{1}{5}$
5. Faça a substituição regressiva de baixo para cima. A última linha fornece z, a linha do meio dá y e a do topo revela x.
  
  $z = - 1, y = 3, x = 2$
6. Multiplique os pivôs e aplique o sinal correspondente a duas trocas para obter o determinante. Verifique o resultado substituindo-o nas equações originais em vez das reduzidas.
  
  $det = (- 3) (\frac{5}{3}) (\frac{1}{5}) (- 1)^{2} = - 1$
7. O resíduo aproxima-se de 10⁻¹⁶, o que não é zero. Trata-se do tamanho do arredondamento que um computador não consegue evitar, e é a medida honesta a relatar. Uma resposta anunciada como exata ou provém de aritmética inteira ou não está a prestar atenção. Altere o coeficiente principal para 10⁻¹⁷ com o pivotamento desligado e o mesmo resíduo passará a 1, o que equivale ao mesmo aviso a soar aos gritos.
  
  $i max ∣ A_{i} x - b_{i} ∣ \approx 9 \times 1 0^{- 16}$
Resposta

x = 2, y = 3, z = −1, determinante −1. O resíduo perto de 10⁻¹⁶ significa que a aritmética foi tão exata quanto o ponto flutuante permite. Desligue o pivotamento num sistema mal escalonado e esse será o número a avisar que a resposta está errada.
Um determinante de 0, duas vezes, com dois significados diferentes 7 passos
Esta predefinição não tem solução e a seguinte tem uma infinidade delas, e ambas apresentam um determinante de 0. Determine o que realmente as separa e decida o que mudar o segundo membro alguma vez lhe poderia comprar.
1. A pivotagem parcial percorre a primeira coluna à procura do maior coeficiente. Encontra o 3 na última linha, pelo que o primeiro movimento é uma troca.
  
  $123121122375 R_{1} \leftrightarrow R_{3} 321121221573 (∣3∣ > ∣2∣ > ∣1∣)$
2. Anule a coluna: subtraia ⅔ da nova primeira linha à segunda e ⅓ dela à terceira.
  
  $R_{2} \to R_{2} - \frac{2}{3} R_{1}, R_{3} \to R_{3} - \frac{1}{3} R_{1} : 300 1 \frac{4}{3} \frac{2}{3} 2 \frac{2}{3} \frac{1}{3} 5 \frac{11}{3} \frac{4}{3}$
3. Na segunda coluna, 4/3 já está acima de 2/3, portanto nada precisa de ser trocado. Subtraia metade da linha 2 à linha 3.
  
  $R_{3} \to R_{3} - \frac{1}{2} R_{2} : 300 1 \frac{4}{3} 0 2 \frac{2}{3} 0 5 \frac{11}{3} - \frac{1}{2}$
4. A linha 3 fica agora vazia à esquerda e com −½ à direita, o que se lê 0 = −½. Foram colocados apenas dois pivôs, 3 e 4/3, onde três incógnitas exigem três, e um pivô em falta anula o produto.
  
  $pivots 3, \frac{4}{3} — two, not three ⟹ det A = 0, last row: 0 = - \frac{1}{2}$
5. O que o determinante esconde é a característica. A matriz dos coeficientes tem duas linhas independentes. A matriz ampliada tem três, porque aquele −½ que sobra é uma linha que nada consegue anular. Característica 2 contra característica 3 é o que significa «sem solução».
  
  $rank A = 2 < rank [A ∣ b] = 3 ⟹ no solution$
6. A predefinição Equação repetida faz a mesma aritmética e diz outra coisa. Cada linha é um múltiplo da primeira, pelo que ambas as características valem 1 e o determinante volta a ser 0. O conjunto das soluções tem 3 − 1 = 2 direções livres: o plano inteiro x + y + z = 3. A ferramenta diz «uma infinidade» sem dizer em quantas direções.
  
  $Infinitely many: rank A = rank [A ∣ b] = 1, det A = 0, dim = 3 - 1 = 2 (x + y + z = 3)$
7. Mude um número e veja qual das grandezas se mexe. Coloque 6 onde está o 7, à direita da linha 2. A matriz dos coeficientes fica intacta, pelo que o determinante nem estremece, mas a característica da ampliada desce para 2 e a resposta passa de nenhuma solução para uma reta de soluções.
  
  $b_{2} = 7 \to 6 : rank [A ∣ b] = 2 = rank A ⟹ dim = 3 - 2 = 1$
Resposta

O determinante limita-se a dizer se a matriz dos coeficientes tem o conjunto completo de pivôs. Nunca olha para o segundo membro, e é por isso que não consegue separar as duas predefinições, ao passo que as duas características conseguem: sem solução quando discordam, e um conjunto de soluções de dimensão 3 − característica quando coincidem. Assim que o determinante é 0, nenhum segundo membro lhe comprará uma resposta única: obtém nenhuma ou toda uma família, e a escolha entre essas duas é tudo o que b decide. O cartão do resíduo apaga-se pela mesma razão por que existe: um resíduo precisa de uma solução para repor nas equações.

$dim = n - rank A when rank [A ∣ b] = rank A; det A = 0 ⟹ no b gives exactly one$

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Referências (1)

Two centuries of the method being reinvented and misattributed, including how Gauss's name came to be on it: J. F. Grcar, "How ordinary elimination became Gaussian elimination." Historia Mathematica 38:2 (2011), 163–218.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-26

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Sistema com solução - Duas trocas e três eliminações dão x = 2, y = 3, z = −1. O resíduo ronda 10⁻¹⁶. É o limite de exatidão que a aritmética de um computador consegue atingir.
Sem pivotagem - O primeiro coeficiente é 10⁻¹⁷ e a pivotagem está inativa, pelo que o algoritmo divide por ele. A resposta devolvida é x = 0 quando deveria ser 1, e o resíduo é 1 em vez de 0. Marque a caixa para o sistema se resolver com exatidão.
Equação repetida - Cada linha é um múltiplo da primeira, portanto a eliminação anula duas linhas por completo. O determinante é 0. O sistema não isola um ponto, mas sim um plano inteiro.
Contraditório - A segunda linha contradiz a primeira: apresenta o mesmo lado esquerdo, mas um lado direito diferente. A eliminação resulta em 0 = 1. Nenhuma quantidade de aritmética conseguirá salvar a equação.