Equações Lineares

Toque num termo para o retirar de ambos os membros e observe a transformação da equação. A faixa inferior mostra as soluções da equação no seu estado atual. Uma operação válida nunca as altera.

Exemplo resolvido — Equações Lineares

Solução	3
Verificação com a original	13 ✓
Passos efetuados	0
Soluções da equação no seu estado atual	3

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Equações Lineares388 palavras

Qualquer equação linear a uma incógnita, seja qual for a sua escrita, pode ser reduzida através de passos válidos à forma única ax = b, sendo a e b números conhecidos. Todo o comportamento da equação passa então a ser decidido por estes dois.

O que significa cada símbolo

a: o coeficiente da incógnita depois de todos os termos em x terem sido agrupados num dos membros. É o número que dita em qual dos três casos abaixo nos situamos.
b: a constante, tudo aquilo que resta no outro membro. Apenas importa quando a é 0.
x: a incógnita. Surge elevada à primeira potência e nunca no interior de uma função; é isto que "linear" significa aqui.

De onde vem a fórmula

Agrupar: passar todos os termos que contêm x para um membro e todos os termos sem ele para o outro. Ambas são adições, pelo que são passos sempre reversíveis.
Temos agora ax = b. Se a ≠ 0 dividimos por este número, e existe exatamente uma solução, x = b/a.
Se a = 0 a incógnita desaparece e o que resta é uma proposição puramente sobre números: falsa quando b ≠ 0, verdadeira quando b = 0. O caso em que nos encontramos, de entre os três possíveis, fica portanto estabelecido pelo par (a, b) antes mesmo de se iniciar a resolução.

Pressupõe: Que a e b são exatos. Quando provêm de medições em vez de valores dados, um coeficiente próximo de zero funciona como um alerta e não como um valor: x = b/a divide por ele, pelo que uma pequena incerteza em a se transforma numa enorme incerteza em x. Trata-se da mesma dificuldade que este percurso volta a encontrar no passo 5 com duas incógnitas, em que o determinante assume o papel que a desempenha aqui.
Falha quando: Em lado nenhum, sendo essa a grande utilidade. Uma única incógnita não admite um quarto caso: uma solução, nenhuma, ou todas elas. O caso aplicável fica decidido pela simples observação de a e b antes de resolver seja o que for. Esta completude constitui o exemplo para uma incógnita da condição de característica que rege qualquer sistema linear, independentemente de quantas incógnitas possua, e os passos 5 e 6 deste percurso traduzem a mesma tricotomia com mais letras.

Dois dos quatro botões são a mesma operação 🖖

Subtrair 7 de ambos os membros é somar −7 a ambos, e dividir por 2 é multiplicar por um meio. O painel oferece quatro botões porque é assim que pensamos, mas no fundo existem apenas dois passos: somar algo ou multiplicar por algo. Os dois comportam-se de forma distinta. Somar é sempre seguro, seja qual for o valor. Multiplicar é seguro para qualquer número exceto um, e a exceção não é um mero detalhe técnico — pressione × com um valor de 0 e observe o que acontece a uma equação que tinha uma resposta perfeitamente válida momentos antes.

A multiplicação por zero é o passo irreversível 🖖

Tome x = 3 e multiplique ambos os membros por 0. Obtém 0 = 0, o que é verdade. Também é verdade para x = 5, x = −1 e todos os outros números, pelo que a equação simplesmente deixa de nos dizer qualquer coisa sobre x. Qualquer outro passo pode ser desfeito. Some 7, subtraia 7 e regressará ao ponto de partida. É esta reversibilidade a verdadeira garantia por trás do princípio de "fazer a mesma coisa a ambos os membros". A regra não é que os dois lados tenham de coincidir. É que o passo deve ser reversível, e multiplicar por zero é a única operação aritmética que não o é.

Nem todas as equações têm resposta, e isso é informação 🖖

Prima Nenhum x serve. Subtraia 2x a ambos os membros de 2x + 5 = 2x + 9 e a variável x desaparece, deixando 5 = 9. Não se cometeu qualquer erro matemático. A equação é simplesmente falsa e não há valor de x que a resgate. Prima agora Qualquer x serve e ocorrerá um cenário idêntico com um desfecho diferente, 5 = 5. Esta afirmação é incontornavelmente verdadeira. Ambas as situações resultam do cancelamento dos termos em x. O resultado em que vai aterrar é ditado inteiramente pelas constantes. Portanto, a ordem «resolver em ordem a x» tem três respostas possíveis, não apenas uma. Uma ferramenta que devolva sempre um número isolado está a esconder dois terços das conclusões reais.

Problemas resolvidos na íntegra

Táxis a cobrar 4 mais 3 por milha e 10 mais 1 7 passos
Um táxi cobra 4 de bandeirada mais 3 por milha. Outro cobra 10 de bandeirada mais 1 por milha. A que distância eles custam o mesmo, e o que a álgebra fará se você errar ligeiramente a pergunta?
1. Escreva ambas as tarifas como expressões em função da mesma incógnita. A incógnita tem de representar exatamente a mesma grandeza nas duas, e é aí que a maioria dos problemas com enunciados dá errado antes de a álgebra sequer começar.
  
  $4 + 3 x 10 + 1 x$
2. Igualá-las resume toda a etapa de modelagem. Tudo o que vem depois é mecânico.
  
  $4 + 3 x = 10 + x$
3. Agrupe os termos em x. Subtrair x de ambos os membros é uma operação válida e reversível, portanto as soluções permanecem intocadas.
  
  $4 + 2 x = 10$
4. Agrupe as constantes e depois divida pelo que sobrou multiplicando o x. Três milhas, e ambas as tarifas chegam a 13.
  
  $2 x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 4 + 9 = 13 = 10 + 3$
5. Agora erre a pergunta de propósito. Suponha que a segunda empresa também cobrasse 3 por milha. Os termos em x se cancelam e resta apenas 4 = 10, o que é falso, logo não existe distância na qual as duas concordem — uma será sempre mais cara em 6.
  
  $4 + 3 x = 10 + 3 x \Rightarrow 4 = 10 \Rightarrow \emptyset$
6. E se a segunda empresa cobrasse 3 por milha com a mesma bandeirada de 4, o mesmo cancelamento deixaria 4 = 4, verdade para toda e qualquer distância. As duas tarifas são a mesma tarifa escrita duas vezes.
  
  $4 + 3 x = 4 + 3 x \Rightarrow 4 = 4 \Rightarrow x \in R$
7. É aqui que a álgebra para e o discernimento começa. Todos os três resultados são respostas corretas para uma questão bem elaborada, e a ferramenta vai reportá-los com exatidão. O que ela não consegue lhe dizer é que uma solução negativa significa que o cruzamento de valores aconteceu antes de a corrida iniciar, ou que uma fração de milha talvez não seja algo possível de se comprar. A equação não sabe o que é o x.
  
  $x = - 2 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Resposta

Três milhas, a uma tarifa de 13 cada. Mude um único coeficiente e a mesma álgebra devolverá "nenhuma distância" ou "todas as distâncias", e ambas são respostas legítimas em vez de falhas matemáticas.
x em ambos os membros: 5x − 2 = 3x + 8 5 passos
Resolva 5x − 2 = 3x + 8. Há um x em cada membro. Nada pode ser deduzido até estarem todos no mesmo lugar.
1. Junte primeiro os termos em x. Retirar 3x à direita também retira 3x à esquerda, e a equação continua a afirmar o mesmo sobre x.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 3 x$
2. Agora o primeiro membro é 2x − 2. Adicione 2 a ambos os membros para libertar o x do número.
  
  $2 x - 2 = 8 + 2$
3. Dois x valem 10, portanto um vale 5.
  
  $2 x = 10 \div 2 ⟹ x = 5$
4. Verifique na equação inicial, não naquela com que terminou. Ambos os membros dão 23. Logo, x = 5 satisfaz a original.
  
  $5 (5) - 2 = 23, 3 (5) + 8 = 23$
5. Não era obrigatório agrupar à esquerda. Retirar 5x a ambos os membros dá −2 = −2x + 8, o que tem um aspeto diferente mas conduz ao mesmo x = 5. A escolha do membro para agrupar é livre; a resposta não é.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 5 x ⟹ - 2 = - 2 x + 8 ⟹ 2 x = 10$
Resposta

x = 5, e ambos os membros valem 23. Agrupar os termos em x no outro membro é um caminho com aspeto diferente para o mesmo número.
Quando a resposta é negativa: 4x + 9 = x − 6 5 passos
Resolva 4x + 9 = x − 6. Não há aqui nada de invulgar até à última linha, em que a resposta calha abaixo de zero.
1. Subtraia x a ambos os membros para agrupar os termos em x à esquerda.
  
  $4 x + 9 = x - 6 - x$
2. Subtraia 9 a ambos os membros para eliminar o número.
  
  $3 x + 9 = - 6 - 9$
3. Três x valem −15, por isso um vale −5. Um sinal de menos na resposta não é sinal de que algo correu mal.
  
  $3 x = - 15 \div 3 ⟹ x = - 5$
4. Verifique na original. O primeiro membro é −20 + 9 = −11 e o segundo é −5 − 6 = −11. Concordam, portanto −5 é mesmo a solução.
  
  $4 (- 5) + 9 = - 20 + 9 = - 11, (- 5) - 6 = - 11$
5. Saber se −5 é uma resposta sensata depende do que era o x. Sendo uma temperatura, é uma simples terça-feira; sendo um número de bilhetes, não significa nada. A equação não distingue a diferença e não lhe dará qualquer aviso.
  
  $x = - 5 \Rightarrow 5 tickets short of none$
Resposta

x = −5, com ambos os membros em −11. Uma solução negativa é uma resposta à equação. Saber se responde à pergunta exige um discernimento à parte, e só você o pode decidir.
Quando a resposta não é um número inteiro: 6x + 1 = 2x + 4 5 passos
Resolva 6x + 1 = 2x + 4. Os mesmos três passos de antes, mas desta vez não calham num número inteiro.
1. Subtraia 2x a ambos os membros.
  
  $6 x + 1 = 2 x + 4 - 2 x$
2. Subtraia 1 a ambos os membros.
  
  $4 x + 1 = 4 - 1$
3. Quatro x dão 3, logo um é 3 a dividir por 4. Ou seja, exatamente 0,75.
  
  $4 x = 3 \div 4 ⟹ x = \frac{3}{4} = 0.75$
4. Verifique na original: 6 × 0,75 + 1 = 5,5, e 2 × 0,75 + 4 = 5,5.
  
  $6 (0.75) + 1 = 5.5, 2 (0.75) + 4 = 5.5$
5. Três quartos calha ser um valor decimal exato. Dois terços não é. Resolva 3x + 1 = 3 e a resposta é 2⁄3, algo que um decimal nunca termina de escrever. A fração é a resposta, e 0,6667 é o seu arredondamento.
  
  $3 x + 1 = 3 ⟹ x = \frac{2}{3} = 0.6667 \dots$
Resposta

x = 0,75, ou três quartos, com ambos os membros em 5,5. As frações são respostas perfeitamente comuns. Quando uma fração não tem um valor decimal exato, a fração é a resposta exata e o decimal não.
Parênteses, dois métodos: 3(x + 4) = 24 4 passos
Resolva 3(x + 4) = 24. Existem duas vias válidas e não dão o mesmo trabalho.
1. O parênteses dita três vezes (x + 4). Dividir primeiro ambos os membros por 3 faz o parênteses simplesmente desaparecer: x + 4 = 8, logo x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 24 \div 3 ⟹ x + 4 = 8 ⟹ x = 4$
2. Também pode expandir primeiro. Três vezes (x + 4) dá 3x + 12. Depois retira-se 12 a ambos os membros e divide-se por 3. O mesmo x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 3 x + 12 = 24 - 12 ⟹ 3 x = 12 ⟹ x = 4$
3. Verifique na original: 3 × 4 + 12 = 24. A ferramenta aceita equações na forma ax + b = cx + d, por isso precisa da linha expandida.
  
  $3 (4) + 12 = 24$
4. Dividir primeiro foi mais curto apenas porque 24 divide exatamente por 3. Mude o 24 para um 25 e o mesmo caminho entrega-lhe x + 4 = 25⁄3. Continua correto, mas é agora a via mais trabalhosa das duas.
  
  $3 (x + 4) = 25 ⟹ x + 4 = \frac{25}{3} ⟹ x = \frac{13}{3}$
Resposta

x = 4 por qualquer das vias. Ambas são válidas, logo a escolha deve ser feita depois de olhar para os números e não por regra.
Dois tarifários que nunca custam o mesmo 4 passos
O tarifário A custa £8 por mês mais £2 por gigabyte. O tarifário B custa £12 por mês mais £2 por gigabyte. Com quantos gigabytes passam a custar o mesmo?
1. Escreva cada custo com x para os gigabytes utilizados. De seguida, iguale-os. É o que significa "custar o mesmo".
  
  $A : 2 x + 8 B : 2 x + 12$
2. Ambos os membros contêm 2x, portanto retire 2x de ambos.
  
  $2 x + 8 = 2 x + 12 - 2 x$
3. O x desapareceu e sobra 8 = 12, o que é falso. Nenhum valor de x pode tornar isto verdade, por isso os tarifários nunca custam o mesmo.
  
  $8 = 12 — false, for every x$
4. A resposta útil é aquela em que a equação tropeçou. O tarifário B é £4 mais caro que o A para todo e qualquer x. Os tarifários não se cruzam porque sobem à mesma taxa, mantendo sempre a distância de £4.
  
  $(2 x + 12) - (2 x + 8) = 4 at every x$
Resposta

Nenhum x funciona. Taxas por gigabyte iguais e mensalidades diferentes significam uma diferença fixa para sempre. Aqui de £4, seja qual for o uso.
A mesma oferta, escrita duas vezes 4 passos
Uma loja cobra 2(x + 3). Outra cobra 2x + 6. Qual é mais barata, e para quantos livros?
1. Expanda o primeiro caso. Duas vezes (x + 3) é 2x + 6, que foi exatamente o que a outra loja escreveu.
  
  $2 (x + 3) = 2 x + 6$
2. Se os igualarmos e retirarmos 2x a ambos os membros, sobra 6 = 6. Verdadeiro, e verdadeiro sem sabermos absolutamente nada sobre x.
  
  $2 x + 6 = 2 x + 6 - 2 x ⟹ 6 = 6$
3. Logo, todos os números funcionam. Teste 0, 1, 7, −100: os dois membros concordam sempre.
  
  $x = 0, 1, 7, - 100 all true$
4. Vale a pena dar nome a isto. A diferença entre os dois preços não é pequena, é exatamente zero para qualquer x. As duas lojas escreveram um só preço duas vezes.
  
  $2 (x + 3) - (2 x + 6) = 0 identically$
Resposta

Qualquer x funciona, por isso nenhum é mais barato, nunca. Quando ambos os membros são a mesma expressão disfarçada, "resolver em ordem a x" é a pergunta errada e a certa é "será que são mesmo diferentes?".
Idades: a álgebra é fácil, a preparação não 5 passos
Ben tem o triplo da idade de Mia. Daqui a oito anos terá o dobro da idade dela. Que idade têm agora?
1. Chame x à idade atual de Mia. O Ben tem então 3x. Daqui a oito anos, a Mia terá x + 8 e o Ben terá 3x + 8.
  
  $Mia = x, Ben = 3 x$
2. "O dobro da idade" significa o dobro da idade nessa altura, não o dobro da idade agora. Essa única leitura representa toda a dificuldade: 3x + 8 = 2(x + 8), que expandido fica 3x + 8 = 2x + 16.
  
  $3 x + 8 = 2 (x + 8) = 2 x + 16$
3. Retire 2x a ambos os membros e depois 8, ficando x = 8. A Mia tem 8 e o Ben tem 24.
  
  $3 x + 8 = 2 x + 16 - 2 x ⟹ x + 8 = 16 ⟹ x = 8$
4. Verifique a história, não apenas a álgebra. Daqui a oito anos a Mia terá 16 e o Ben terá 32, e 32 é realmente o dobro de 16.
  
  $Mia 8 \to 16, Ben 24 \to 32, 32 = 2 \times 16$
5. Leia a frase ao contrário, como sendo o dobro da idade atual, e obtém 3x + 8 = 2x, logo x = −8. A álgebra é perfeitamente obediente e a resposta passa a ser uma rapariga que vai nascer daqui a oito anos.
  
  $3 x + 8 = 2 x ⟹ x = - 8$
Resposta

Mia tem 8 e Ben tem 24; daqui a oito anos terão 16 e 32. Três movimentos de álgebra e uma linha de leitura que decide se algum deles faz sentido.

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Conduz a Inequações a lista de movimentos.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-26

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

x em ambos os membros - 3x + 4 = x + 10. Subtraia x, subtraia 4 e divida por 2, obtendo x = 3. A seguir verifique o valor na equação original. Ambos os membros totalizam 13.
Resposta negativa - 2x + 9 = 5x. A resposta aqui é x = 3. No entanto, se alterar d, a solução passa a negativa sem que nada se estrague. Uma solução negativa é uma resposta válida, e não um erro.
Qualquer x serve - 2x + 5 = 2x + 5. Os dois membros são a mesma expressão, pelo que qualquer x a satisfaz. Não há nada para resolver. Perguntar «x = » é colocar a questão errada.
Nenhum x serve - 2x + 5 = 2x + 9. Subtraia 2x e ficará com 5 = 9. Nenhum valor de x poderá salvar isto. A equação não é difícil. A equação é simplesmente falsa.