Inequações

Toque num termo para o retirar de ambos os membros e observe a reta numérica. A resposta é uma região em vez de um único ponto, e uma das operações inverte a relação.

Exemplo resolvido — Inequações

Fronteira	4 (excluído)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Inequações289 palavras

Resolver uma inequação significa determinar o conjunto de valores que a satisfazem. Este conjunto é definido por duas componentes distintas: a posição da fronteira e a inclusão do respetivo ponto fronteiriço.

O que significa cada símbolo

<: uma relação estrita. A fronteira fica excluída e o conjunto solução é aberto nessa extremidade.
≤: uma relação não estrita. A fronteira está incluída e o conjunto é fechado nessa extremidade.
sup: o supremo — o menor valor que não é superado por qualquer elemento do conjunto. Um conjunto majorado possui sempre um supremo, pertença ele ou não ao conjunto.

Pressupõe: Parte do princípio de que a fronteira é o ponto exato onde os dois membros são iguais. É por este motivo que aplicamos a aritmética das equações na resolução de uma inequação. O símbolo de relação não efetua cálculos. A sua função é escolher um dos lados e determinar a pertença ao conjunto.
Falha quando: A escolha de uma condição estrita dita algo mais profundo do que a simples pertença: define se existe sequer um valor máximo. Em x ≤ 5, a maior solução é o 5, um número concreto que podemos apresentar. Em x < 5 não há qualquer solução máxima. Indique um candidato abaixo de 5. O ponto médio entre esse número e o 5 será um valor ainda maior que continuará a pertencer ao conjunto, infinitamente. O conjunto continua a ter 5 como supremo; simplesmente não o contém. É por isto que um problema de otimização com uma restrição estrita pode não ter resposta, enquanto o mesmo problema com ≤ a tem. O que num exercício escolar parece ser apenas pontuação assume o peso de toda a estrutura no exato momento em que procuramos maximizar algo.

Um único passo inverte o sinal, e já sabe porquê 🖖

Qualquer operação permitida numa equação também o é aqui. Somar aos dois membros, subtrair, multiplicar ou dividir. Tudo válido, tudo reversível. Nada disto altera os valores que satisfazem a condição. A exceção é a multiplicação por um negativo, que inverte a relação. Isto vem diretamente da reta numérica: −5 é menor do que −3, mas 5 é maior do que 3. Mudar o sinal reflete a reta em torno do zero. Refletir significa trocar a esquerda pela direita. Pressione A relação inverte-se e evite fazer essa troca de cabeça: obtém x < −4 no lugar de x > −4, que é a outra metade da reta.

A resposta é uma região e o extremo exige uma decisão 🖖

Uma equação tem uma solução. Uma inequação tem um conjunto delas, pelo que resolvê-la implica encontrar dois elementos: uma fronteira e uma direção. A fronteira é o local onde ambas as expressões são exatamente iguais. É por isso que a mesma aritmética funciona. A partir daí, a relação define se esse ponto único pertence ao conjunto. Pressione O extremo conta. A expressão −4x ≥ 12 resulta em x ≤ −3. Para x = −3 ambos os membros valem 12. Como 12 ≥ 12 é verdadeiro, −3 faz parte da solução. Mude o símbolo ≥ para > e o ponto passa a aberto, sem que mais nada se altere. Apenas um ponto, que é a única diferença entre os dois símbolos.

O passo que não está disponível 🖖

Pressione Multiplicar por x. A ferramenta não o fará. Multiplicar por um negativo inverte a relação, por um positivo não. O x é precisamente aquilo que ainda não descobriu. Não existe uma única resposta a dar. É por este motivo que os denominadores de x/(x−2) > 1 não podem ser eliminados multiplicando toda a expressão. Quem o faz chega a um resultado que está certo de um lado de 2 e errado do outro. As equações perdoam isto. Uma equação multiplicada por uma incógnita ganha soluções que se podem detetar e descartar com uma simples verificação. Uma inequação não oferece essa mesma possibilidade. A resposta é uma região inteira, e não uma pequena lista de candidatos que se possa testar um por um.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma entrega a custar 5 mais 2 por quilómetro com um orçamento inferior a 20 7 passos
Uma entrega custa 5 mais 2 por quilómetro. O seu orçamento é inferior a 20. Até onde pode ir — e o que acontece à álgebra se a tarifa for apresentada como um desconto?
1. Escreva o problema como uma inequação e não como uma equação, pois a questão não é saber que distância custa exatamente 20.
  
  $5 + 2 x < 20$
2. Subtraia 5 em ambos os membros. A adição e a subtração nunca afetam a relação, seja qual for o sinal daquilo que se adiciona.
  
  $2 x < 15$
3. Divida por 2. Sendo um número positivo, a desigualdade mantém-se e a resposta é um intervalo aberto no extremo superior.
  
  $x < 7.5$
4. Menos de 7,5 quilómetros. O extremo é excluído porque o orçamento era estritamente inferior a 20. Aos 7,5 exatos, a tarifa é rigorosamente 20 — o que já excede o valor estipulado, ainda que por pouco.
  
  $5 + 2 (7.5) = 20 \neq < 20$
5. Passemos à versão do desconto. Suponha, em vez disso, que cada quilómetro retira 2 a um crédito de 20 e que precisa de manter o saldo acima de 5.
  
  $20 - 2 x > 5$
6. A divisão por −2 inverte a relação, e a resposta é o mesmo intervalo de há pouco. E tinha de ser: trata-se da mesma viagem descrita da perspetiva oposta. Esquecer a inversão daria x > 7,5, que é o lado incomportável da fronteira em vez do lado acessível.
  
  $- 2 x > - 15 \Rightarrow x < 7.5$
7. É aqui que a aritmética deixa de ajudar. Ambas as formas resultam em x < 7,5 e nenhuma delas resolve se o próprio 7,5 é viável. Saber se "menos de 20" significa 19,99 ou 20 é uma questão sobre o contrato e não sobre a inequação. O símbolo estrito faz um trabalho que a álgebra não tem como verificar.
  
  $x < 7.5 vs x \leq 7.5$
Resposta

Menos de 7,5 quilómetros, com o próprio 7,5 excluído. Escrita como um desconto, a mesma viagem exige uma divisão por −2 e a respetiva inversão, e esquecê-la devolve-lhe antes o lado incomportável.
A inequação que fica sem x 6 passos
Esta predefinição é 2x + 5 ≥ 2x + 5. Resolva-a e decida depois se uma inequação que perde o seu x não conseguiu produzir uma resposta ou produziu uma resposta enorme.
1. Subtraia 2x a ambos os membros. Somar a mesma quantidade aos dois membros preserva a relação, seja essa quantidade qual for, pelo que o movimento é seguro mesmo envolvendo x, ao contrário do que sucede ao multiplicar por x.
  
  $2 x + 5 \geq 2 x + 5 - 2 x$
2. O que resta é 5 ≥ 5. Ambos os membros têm agora coeficiente zero em x, portanto não há nada para isolar nem nada por que dividir.
  
  $0 \cdot x + 5 \geq 5$
3. A fórmula da fronteira mostra o mesmo obstáculo em termos aritméticos. Resolver ax + b ≥ cx + d dá x = (d − b)/(a − c), que aqui é 0 ÷ 0. O painel apresenta um travessão na linha da fronteira porque não há fronteira para apresentar.
  
  $x = \frac{d - b}{a - c} = \frac{5 - 5}{2 - 2} = \frac{0}{0}$
4. 5 ≥ 5 é verdadeiro, e é-o sem mencionar x. Logo, todos os números reais satisfazem a inequação original, e é isso que a linha da resposta diz.
  
  $5 \geq 5 is true and holds no x ⟹ every x is a solution$
5. Torne a relação estrita e 5 > 5 é falso: nada serve. Em vez disso, desloque a constante do lado direito para 5,001 e a proposição passa a 0 ≥ 0,001, falsa outra vez. Quase os mesmos quatro números, e o conjunto das soluções passa da reta inteira para absolutamente nada.
  
  $2 x + 5 > 2 x + 5 \Rightarrow 5 > 5 false \Rightarrow \emptyset; 2 x + 5 \geq 2 x + 5.001 \Rightarrow 0 \geq 0.001 false \Rightarrow \emptyset$
6. Esse salto parece uma descontinuidade e não é. Mantenha o segundo membro em 5,001 e deixe os dois coeficientes de x diferirem por ε em vez de coincidirem. A fronteira fica em 0,001/ε: com ε = 0,1 a resposta é x ≥ 0,01, com ε = 0,001 é x ≥ 1, com ε = 0,0001 é x ≥ 10. A semirreta recua para o infinito à medida que ε se fecha, e é assim que o conjunto vazio chega em câmara lenta.
  
  $a - c = ε, d - b = 0.001 : x \geq \frac{0.001}{ε} : ε = 0.1 \Rightarrow x \geq 0.01, 0.001 \Rightarrow x \geq 1, 0.0001 \Rightarrow x \geq 10$
Resposta

Todos os x. A resposta vazia é a sua gémea e não a sua oposta: quando os dois coeficientes de x coincidem, o termo em x anula-se e decidem sozinhas as duas constantes, pelo que a proposição ou é verdadeira e qualquer número a resolve, ou é falsa e nenhum a resolve. Nenhum dos casos tem fronteira, e é por isso que a linha da fronteira fica vazia em ambos e a linha da resposta é a única que vale a pena ler. A escolha entre estrito e não estrito, que em qualquer outra predefinição desloca um único ponto, nesta desloca a reta real inteira.

$a \neq = c : x ≷ \frac{d - b}{a - c}; a = c : the constants alone decide, and the answer is R or \emptyset$

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Conduz a Manipulação de fórmulas a exceção, e com ela um teste.

Referências (1)

Where the guarantee comes from that a least upper bound always exists, even when no largest member does: R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-26

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Matemática →

Problemas de exemplo

Nada se inverte - A inequação 3x − 5 > 7 transforma-se em x > 4 sem surpresas. Basta somar 5 e dividir por 3. Como 3 é positivo, nada se inverte. O ponto 4 é aberto, pois x = 4 resulta exatamente em 7 e 7 não é maior do que 7.
A relação inverte-se - A expressão −2x + 1 < 9 dá origem a x > −4. A divisão por −2 transformou o sinal < em >. Ignorar este passo resulta em x < −4, que corresponde à metade errada da reta.
O extremo conta - De −4x ≥ 12 obtemos x ≤ −3, e aqui o extremo é fechado. Para x = −3 ambos os membros valem 12. Como 12 ≥ 12 é uma afirmação verdadeira, −3 pertence à resposta. Esse ponto cheio marca a diferença entre ≥ e >.
Sempre verdadeiro - Temos 2x + 5 ≥ 2x + 5, a mesma expressão em ambos os membros. Os termos em x anulam-se e resta 5 ≥ 5, o que é verdadeiro para qualquer x. A reta fica sombreada de uma ponta à outra.