Lição
A teoria — Números Negativos355 palavras
Um número negativo é o inverso aditivo de um positivo: −a é o único número que, somado a a, resulta em 0. Tudo o resto sobre os números negativos decorre dessa única frase, em conjunto com as regras comuns da aritmética, e esta secção demonstra o seguinte.
O que significa cada símbolo
a- um número qualquer, positivo ou negativo. A definição não faz distinção, razão pela qual
−(−3) = 3não precisa de uma regra à parte. −a- o inverso aditivo de a: não um "a com um sinal de menos desenhado", mas sim a resposta a "o que devo somar a a para não obter nada?"
0- o elemento neutro da adição e o eixo central de todo o argumento. É o único número que deixa todos os outros inalterados na soma.
De onde vem a fórmula
- Assuma que a propriedade distributiva,
a(b + c) = ab + ac, é válida tanto para os negativos como para os positivos. Esta é toda a premissa e trata-se de uma escolha. Exigimos que a extensão da reta numérica não quebre as regras a que os positivos já obedecem. - Aplique-a a
(−1)(1 + (−1)). O termo entre parênteses é 0, e qualquer valor multiplicado por 0 é 0, logo toda a expressão é 0. - Agora expanda a mesma expressão da outra forma:
(−1)(1) + (−1)(−1), o que nos dá−1 + (−1)(−1). - Ambas as leituras têm de resultar na mesma resposta, portanto
−1 + (−1)(−1) = 0. Existe exatamente um número que, somado a −1, resulta em 0, e é +1. Ninguém decidiu isto. É o único valor que mantém intacta a propriedade distributiva.
- Pressupõe
- Que a aritmética dos negativos obedeça à mesma propriedade distributiva da dos positivos. Abdique disso e poderá definir
(−1)(−1) = −1livremente. Mas nesse cenário(−3)((−3) + 1)será(−3)(−2) = −6, ao passo que(−3)(−3) + (−3)(1)será−9 + (−3) = −12, e as duas formas de interpretar uma expressão deixam de coincidir. Esse é o preço. É por isso que a regra dos sinais não é uma convenção.
Problemas resolvidos na íntegra
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A subida de temperatura de um congelador a aquecer de −18 °C para −4 °C 7 passos
Um freezer está a −18 °C. Ele aquece para −4 °C. De quanto foi o aumento da temperatura, e quais são as duas maneiras de errar a conta?
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A maioria encontra 14 e acerta, então a parte interessante é observar os caminhos que levam ao erro. Escreva a variação como uma subtração comum: o valor novo menos o antigo.
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Subtrair −18 significa somar o seu oposto, logo a resposta é −4 + 18.
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14 graus. A resposta errada comum é 22, resultado de somar os módulos como se ambos fossem distâncias a partir do nada: 18 + 4. A reta dificulta essa confusão, pois você consegue ver que −18 e −4 estão do mesmo lado do zero.
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A outra resposta errada comum é −22, que vem de tratar os dois sinais como instruções para ir para a esquerda. Trata-se do sinal do número sendo confundido com a operação, e vale a pena separar os dois explicitamente.
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Agora, a mesma pergunta na direção oposta. Resfriar de −4 de volta a −18 é uma variação de −14, e a distância continua sendo 14. Distância e variação são grandezas diferentes, e apenas uma delas carrega um sinal.
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Isso ganha importância no momento de multiplicar. Dobrar uma variação de temperatura de −14 resulta em −28, uma inversão, e a leitura cai ainda mais. Reduzi-la à metade resulta em −7, e isso ainda é uma inversão. O negativo mora na variação, não no multiplicador.
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E aqui a ferramenta deixa de ser suficiente. O dobro de −18 °C não é −36 °C em sentido físico algum, pois o zero Celsius é uma convenção e não uma ausência de calor. Multiplicar uma temperatura por um número não tem sentido; multiplicar uma variação de temperatura por um número está perfeitamente correto. A aritmética não tem como lhe dizer qual das duas você tem em mãos.
Resposta
Um aumento de 14 °C. Por extenso, −4 − (−18) = −4 + 18 = 14, e cada etapa é o mesmo movimento que a ferramenta desenha. As duas respostas erradas habituais, 22 e −22, nascem de confundir o sinal de um número com a direção de uma operação.
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De −3 a 5, e os dois números que estão a 8 de distância 6 passos
Um mergulhador está 3 m abaixo da superfície e uma gaivota 5 m acima dela. Calcule a distância entre os dois e decida depois se essa distância, por si só, lhe permitiria repor a gaivota no sítio.
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O primeiro instinto a afastar é subtrair as grandezas. Cinco e três, portanto dois.
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A subtração propriamente dita. A variação é −8, que é o que o cartão do resultado indica, e a distância é a sua grandeza, 8.
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Oito porque o percurso atravessa o zero, pelo que as duas profundidades se somam em vez de se anularem. Sempre que os números ficam em lados opostos do zero, a distância é a soma das suas grandezas.
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Do mesmo lado, subtraem-se. Um congelador que aquece de −18 para −4 desloca-se 14, que é 18 − 4. Uma regra com duas faces, e o que decide a face que lhe calha é o zero estar ou não entre os números.
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Leia agora o cartão da distância ao contrário. Diz 8, e 8 é tudo o que diz. Há dois números a 8 de distância de −3, e a equação que os encontra tem duas soluções porque tomar a grandeza deitou fora um sinal.
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As duas respostas ficam sempre uma de cada lado do ponto a partir do qual foram medidas: a média delas é exatamente esse ponto. Cada par de números tem uma distância, e cada distância tem dois números por trás.
Resposta
8 m. O mergulhador e a gaivota estão em lados opostos do zero, pelo que as suas profundidades se somam em vez de se anularem. Leia esse mesmo 8 ao contrário e ele não identifica a gaivota: −11 está exatamente à mesma distância de −3 que 5, e o cartão da distância não os consegue distinguir, porque o sinal saiu dele quando se tomou a grandeza.
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Percurso de aprendizagem
Isolar o x, a partir do sinal de menos
Referências (1)
- A Fields Medallist on why the rule that looks like a convention is not one, and why it took so long to accept: D. Mumford, "What's so Baffling About Negative Numbers? — a Cross-Cultural Comparison." In Studies in the History of Indian Mathematics, Hindustan Book Agency, 2010, pp. 113–143.