Sistemas de Equações

Altere um coeficiente qualquer e observe o movimento das retas. A solução é o ponto onde se cruzam. O determinante abaixo informa, antes mesmo da resolução, se existe uma única interseção.

Exemplo resolvido — Sistemas de Equações

Solução	2
Determinante	-3
Ângulo entre as retas	71,565°
Variação da resposta	1,41 por unidade de a₁

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Sistemas de Equações267 palavras

Duas equações lineares a duas incógnitas descrevem duas retas. Resolver este sistema consiste em descobrir onde essas retas se cruzam. Saber até que ponto essa interseção está bem determinada é uma questão independente da sua existência, e tem o seu próprio número para o medir.

O que significa cada símbolo

Δ: o determinante a₁b₂ − a₂b₁. Zero significa retas paralelas. Um valor não nulo significa exatamente um cruzamento.
κ: o número de condição. Avalia o quanto a resposta se pode deslocar face a uma perturbação nos coeficientes. Ao contrário do que acontece com o Δ, não se altera se multiplicarmos toda uma equação por dez.

Pressupõe: Que os coeficientes sejam exatos. Se forem obtidos através de medições, o ponto de cruzamento herda essa incerteza e multiplica-a.
Falha quando: O determinante indica se existe uma solução. Não revela até que ponto podemos confiar nela, nem o conseguiria fazer, porque multiplicar uma equação por 10 escala o Δ por 10 sem mudar qualquer aspeto da geometria. O número de condição cumpre a função de que o Δ é incapaz. Na predefinição Quase paralelas desta página, o seu valor é 312, e o significado traduz-se numa permissão: um erro relativo de 0,1% em qualquer um dos quatro coeficientes pode chegar a cerca de 31% no ponto de cruzamento. É uma margem que ninguém aceitaria na construção de uma ponte. Contudo, é totalmente invisível no determinante, na álgebra e na própria resposta. A etapa seguinte volta a cruzar-se com esta mesma grandeza em sistemas com mais linhas, servindo para decidir se sequer vale a pena efetuar a aritmética.

Um único número decide se sequer existe uma interseção 🖖

Antes de tentar resolver, calcule a₁b₂ − a₂b₁. Se não for zero, as retas cruzam-se exatamente uma vez e existe uma solução única. Se for zero, são paralelas. A partir daí, apenas os termos independentes decidem se isso significa nenhuma solução ou todos os pontos da reta. Experimente as três predefinições e observe o determinante: −3, depois 0 e novamente 0, agora com um veredicto diferente. É este o mesmo determinante que rege as ferramentas matriciais mais à frente no site: a mesma questão sobre se duas direções são genuinamente distintas, formulada no cenário mais elementar em que pode ser colocada.

Um determinante pequeno não é um problema pequeno 🖖

Selecione Quase paralelas. O determinante é −0,02. Existe uma interseção que a álgebra encontra sem reclamar: (−146, 300). Observe agora o indicador de sensibilidade. Ajustar a₁ em 0,01 arrasta essa interseção cerca de 108, o que equivale a uma taxa de 10.767 por unidade. Não existe nenhum erro na aritmética. O problema é que a resposta depende dos coeficientes muito mais do que eles justificam. Se proviessem de medições, o resultado não significaria quase nada. Duas retas que se encontram num ângulo raso geram um ponto de interseção perfeitamente definido e perfeitamente inútil. Nenhum passo da resolução revela isso. Só o determinante o faz.

A eliminação é um movimento válido aplicado duas vezes 🖖

Os passos abaixo do gráfico nunca introduzem nada de novo. Multiplicar toda uma equação por um número preserva todas as soluções, pois é possível reverter a operação dividindo. Subtrair uma equação a outra também preserva as soluções, dado que qualquer par de valores que satisfaça ambas irá satisfazer a diferença. O método resume-se a isto. Aquilo que lhe confere um ar de técnica reside em escolher multiplicadores capazes de anular uma das incógnitas. Essa escolha baseia-se em aritmética pura e não em qualquer intuição: multiplicando a primeira linha por b₂ e a segunda por b₁, os termos em y tornam-se idênticos por construção. Estes mesmos dois movimentos aplicados a três incógnitas constituem a eliminação de Gauss. Quando aplicados a n incógnitas, representam exatamente o que qualquer algoritmo de resolução linear no mundo continua a fazer hoje.

Problemas resolvidos na íntegra

Dois cafés e um bolo a custar 8 quando o café custa mais 1 7 passos
Dois cafés e um bolo custam 8. Um café menos um bolo é 1 (o café custa 1 a mais que o bolo). Qual o preço de cada um, e até que ponto confiaria no resultado se os valores tivessem sido lidos de um recibo apagado?
1. Escreva as duas premissas usando as mesmas incógnitas. Definir corretamente estas duas retas é a modelagem. Tudo o que vem depois é mecânico.
  
  $2 x + y = 8, x - y = 1$
2. Verifique o determinante antes de resolver. Não é zero. Logo, existe exatamente uma resposta e vale a pena procurá-la.
  
  $D = (2) (- 1) - (1) (1) = - 3 \neq = 0$
3. Elimine y. Multiplique a segunda equação por 1 e some, ou equivalentemente, multiplique a primeira por −1 e subtraia. Os termos em y foram estruturados para se anularem.
  
  $(2 x + y) + (x - y) = 8 + 1 \Rightarrow 3 x = 9$
4. Três para o café. Substitua este valor em qualquer uma das equações para descobrir o bolo. Use a OUTRA equação para verificar. Substituir na mesma que acabou de usar não prova nada.
  
  $x = 3 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow 2 (3) + 2 = 8 ✓$
5. Analisemos agora o recibo. Suponha que a segunda equação foi mal transcrita e o coeficiente do bolo passa de −1 para 0,49. O determinante cai de −3 para −0,02.
  
  $D = (2) (0.49) - (1) (1) = - 0.02$
6. A resposta continua a ser única, deslocando-se para (−146, 300): um café a custar −146. A álgebra não reclamou. Nem tinha como fazê-lo.
  
  $(x, y) = (- 146, 300)$
7. Aqui a questão deixa de ser álgebra. Um preço negativo é a aritmética a avisar que o modelo está errado, não o café. A ferramenta exibirá o valor sem hesitar. O determinante avisa silenciosamente primeiro. Nada no método sabe que preços não podem ser negativos.
  
  $x < 0 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Resposta

Café 3, bolo 2. O determinante é −3, indicando uma interseção, e as equações originais verificam-se. Desvie um coeficiente em direção ao paralelismo e o mesmo método devolve −146 sem pestanejar. Eis a razão pela qual vale a pena ler o determinante antes da resposta, e não depois.
Duas retas paralelas, e quão perto ficam de ter solução 6 passos
2x + y = 8 e 4x + 2y = 10. O determinante é 0, o que não diz qual dos dois veredictos de determinante nulo se aplica. Determine qual deles é e decida depois quão perto o sistema fica de ser resolúvel.
1. O determinante é zero, portanto não há uma interseção única. Não consegue dizer mais do que isso: paralelas e distintas, ou a mesma reta escrita duas vezes, dão ambas zero.
  
  $D = (2) (2) - (4) (1) = 0$
2. Elimine mesmo assim e a resposta aparece. Multiplique a primeira equação por 2 para a igualar à segunda, subtraia, e o que resta não tem incógnitas nenhumas. Os passos por baixo do gráfico apresentam-no como 0x + 0y = 6, e 0 não é 6.
  
  $4 x + 2 y = 16, 4 x + 2 y = 10 ⟹ 0 x + 0 y = 6$
3. As razões dizem o mesmo sem qualquer cálculo. Os dois primeiros membros estão na razão 1 : 2 e as duas constantes não estão, pelo que as retas partilham a direção e diferem na posição.
  
  $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{2} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} = \frac{8}{10}$
4. A que distância? Divida a segunda equação por 2 e ambas as retas passam a ter o mesmo primeiro membro, pelo que o afastamento é uma diferença de constantes a dividir pelo comprimento do par de coeficientes.
  
  $2 x + y = 8, 2 x + y = 5 : d = \frac{∣8 - 5∣}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$
5. O que levanta a questão diante da qual a ferramenta para. Se nenhum ponto satisfaz as duas, qual é o que chega mais perto? Minimize em conjunto os dois resíduos ao quadrado. Escrevendo u para 2x + y, o segundo resíduo é o dobro do primeiro para qualquer u, portanto pesa quatro vezes mais, e o mínimo cai em u = 5,6 e não a meio caminho, em 6,5.
  
  $u = 2 x + y : u min (u - 8)^{2} + 4 (u - 5)^{2} ⟹ 10 u = 56 ⟹ u = 5.6$
6. Isto é um aviso sobre os mínimos quadrados e não sobre estas duas retas. A resposta deslocou-se porque a segunda equação foi escrita com números maiores, e não por ser melhor evidência. Normalize cada equação para que o seu par de coeficientes tenha comprimento 1 e o ponto mais próximo fica exatamente a meio caminho, a 0,671 de cada reta.
  
  $\frac{2 x + y}{5} = \frac{8}{5}, \frac{5}{5} ⟹ u = 6.5, \frac{1}{2} (1.342) = 0.671$
Resposta

Sem solução, e as duas retas distam 1,342. O determinante diz que a interseção desapareceu; as constantes dizem por qual dos dois caminhos. O ponto que mais se aproxima de ambas depende de como as equações foram escritas: tal como estão, os mínimos quadrados caem em 2x + y = 5,6, e só depois de ambas serem normalizadas é que assentam a meio caminho, em 6,5.

$d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Conduz a Três ou mais em simultâneo a eliminação.

Referências (1)

The paper that named the quantity, and worked out what it costs you: A. M. Turing, "Rounding-off Errors in Matrix Processes." The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1:1 (1948), 287–308.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-26

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Cruzam-se uma vez - 2x + y = 8 e x − y = 1 intersetam-se em (3, 2). O determinante é −3, mantendo-se confortavelmente afastado de zero. Ajustar um coeficiente em 0,01 desloca a interseção em cerca de 1,4 por unidade.
Paralelas: sem solução - A segunda equação é o dobro da primeira, exceto no termo independente. O determinante é 0. As retas nunca se encontram. Nenhuma álgebra encontrará um ponto que ali não está.
Retas coincidentes - Agora o termo independente também foi duplicado. A segunda equação não diz nada que a primeira já não tivesse dito. Mesmo determinante. Mesmas retas paralelas. Conclusão oposta: todos os pontos da reta são solução.
Quase paralelas - Um determinante de −0,02 em vez de 0. Existe ainda exatamente uma interseção, em (−146, 300). Alterar a₁ em 0,01 arrasta a solução cerca de 108, uma taxa de 10.767 por unidade. A resposta é impecável e totalmente inútil.