Explorador do Pêndulo Duplo

Libertado do repouso com θ₁ = 20° e θ₂ = 10°, com m₁ = m₂ = 1, l₁ = l₂ = 1 e g = 9,81, e amortecimento c = 0. Ângulos tão pequenos não são caóticos — o movimento é a soma de duas oscilações puras. Determine o período de cada uma e, em seguida, decida qual delas as marcas de ciclo no painel estão a contar.

1. Simplifique as equações do movimento acima. Ângulos pequenos significam que sin θ passa a θ e cos 2Δ passa a 1, e os termos de velocidade ao quadrado são de segunda ordem numa amplitude pequena, pelo que desaparecem. Ambos os denominadores reduzem-se a 2m₁ + m₂ − m₂ = 2, e o que resta é linear e continua acoplado: nenhuma das massas se move sem empurrar a outra.

   $${\ddot{\theta }}_1=-2k{\theta }_1+k{\theta }_2,{\ddot{\theta }}_2=2k{\theta }_1-2k{\theta }_2,k=\frac{g}{\ell }$$

2. Defina uma referência antes de resolver qualquer coisa. Um pêndulo simples de 1 m oscila a ω₀ = √(g/l), dando os 2,01 s que o painel apresenta como indicação de período e assinala em cada marca de ciclo. Guarde este valor, pois nada do que se segue será igual a ele.

   $$k=\frac{9.81}{1}=9.81{\mathrm{s}}^{-2},{\omega }_0=\sqrt{k}=3.132rad/s,T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2.01\mathrm{s}$$

3. Um modo normal é um movimento no qual ambos os ângulos oscilam a uma única frequência partilhada e mantêm uma razão fixa. Substitua θᵢ = aᵢ cos ωt e cada uma das duas equações fornece essa razão a₂/a₁, obtida a partir de caminhos opostos.

   $${\theta }_i=a_i\cos \omega t⟹(2k-{\omega }^2)a_1=k{a}_2,(2k-{\omega }^2)a_2=2k{a}_1$$

4. As duas expressões para a mesma razão têm de coincidir, e igualá-las elimina ambas as amplitudes. O que resta é uma equação do segundo grau em ω², e uma equação do segundo grau tem 2 raízes. É daí que provém o segundo período.

   $$(2k-{\omega }^2{)}^2=2k^2⟹{\omega }^2=(2\mp \sqrt{2})k=5.747,33.49{\mathrm{s}}^{-2}$$

5. Portanto, este pêndulo tem 2 períodos, 2,62 s e 1,09 s, e os 2,01 s nas marcas de ciclo não correspondem a nenhum deles. Fica entre eles e não pertence a nenhum.

   $${\omega }_{-}=2.397,{\omega }_{+}=5.787rad/s⟹T_{-}=2.62\mathrm{s},T_{+}=1.09\mathrm{s}$$

6. Cada raiz devolve a sua própria forma. A raiz lenta dá a₂/a₁ = +1,414: ambas as massas oscilam no mesmo sentido, a inferior 1,414 vezes mais amplamente. A raiz rápida dá −1,414: oscilam em oposição e a articulação entre elas faz um movimento de tesoura.

   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{2k-{\omega }^2}{k}=\pm \sqrt{2}=\pm 1.414$$

7. Um início com 20° e 10° não corresponde a nenhuma das duas formas, pelo que ambos os modos estão a funcionar ao mesmo tempo. Decompondo numa amplitude lenta A e numa amplitude rápida B — a massa superior exige A + B = 20°, a inferior exige √2(A − B) = 10° — o modo lento fica com 13,54° do valor inicial, enquanto o modo rápido fica com 6,46°.

   $$A+B=20^{\circ },\sqrt{2}(A-B)=10^{\circ }⟹A=13.54^{\circ },B=6.46^{\circ }$$