Simulador do problema dos três corpos

gravidade caótica, divergência entre execuções gêmeas e estabilidade numérica

Exemplo resolvido — Simulador do problema dos três corpos

Energia cinética	1.2129
Energia potencial	−2.4996
Energia total	−1.2867
Grandeza	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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por que fica igual a cada atualização da página? 🖖

O problema de três corpos é caótico, mas não aleatório. Caos significa que pequenas diferenças nas condições iniciais crescem exponencialmente - mas atualizar a página não muda nada: mesmas posições iniciais, mesmas velocidades, mesmo dt, mesmo algoritmo, mesmo resultado sempre. Caos determinístico e reprodutibilidade computacional são duas coisas diferentes. Para realmente ver o caos: defina a perturbação como 0,000001 e observe a trajetória gêmea tracejada. Ambas as trajetórias começam separadas por 10⁻⁶ e acabam divergindo em caminhos completamente diferentes. Essa separação exponencial é o caos - o expoente de Lyapunov em ação. O gráfico de divergência abaixo das órbitas traça o log₁₀ dessa separação ao longo do tempo; uma linha reta ascendente significa crescimento exponencial.

por que três é o número difícil 🖖

Dois corpos que se atraem traçam elipses simples que se repetem infinitamente — esse caso Newton resolveu com papel e lápis. Acrescente um terceiro corpo e a fórmula elegante desaparece: não há equação geral para saber onde cada um vai parar, então o único caminho é avançar a simulação um dt minúsculo de cada vez, exatamente como esta ferramenta faz. Clique na predefinição figura-8 para ver uma das raras exceções — três massas iguais perseguindo-se eternamente por um único caminho em forma de laço.

a solução que existe mas é inútil 🖖

Costuma-se dizer que o problema dos três corpos é 'insolúvel', mas em 1912 Karl Sundman provou uma série de potências convergente em t^1/3 que fornece as posições dos corpos para todo instante (exceto em condições de colisão tripla). O detalhe: ela converge tão devagar que uma precisão astronômica exigiria da ordem de 10^8000000 termos — inatingível para qualquer computador. Uma solução formal de fato existe; avançar a simulação passo a passo, como aqui, é simplesmente a única via utilizável.

Problema resolvido na íntegra

Energia da coreografia em figura 8 para 3 massas iguais a partir de condições iniciais 7 passos
A coreografia em figura de 8 envia 3 massas iguais ao longo de uma única curva fechada. Calcule a sua energia em t = 0 apenas a partir das condições iniciais. Esta é a predefinição da órbita em figura de 8: G = 1, m₁ = m₂ = m₃ = 1, suavização ε = 0. Posições r₁ = (−0,97000436, 0,24308753), r₂ = −r₁, r₃ = (0, 0); velocidades v₁ = v₂ = (0,466203685, 0,43236573), e o momento total é 0.
1. Esses decimais longos parecem arbitrários. Ao elevá-los ao quadrado e somá-los, revela-se que não o são: os corpos 1 e 2 encontram-se cada um a exatamente 1 unidade da origem, que é onde está o corpo 3.
  
  $∣ r_{1} ∣ = 0.9700043 6^{2} + 0.2430875 3^{2} = 0.940908 + 0.059092 = 1.0000$
2. O corpo 2 é o reflexo do corpo 1 em relação à origem, pelo que neste instante todos os 3 corpos se encontram sobre uma única linha reta, com o corpo 3 no seu ponto médio. Cada uma das distâncias resulta daí, sem necessidade de uma segunda raiz quadrada.
  
  $r_{2} = - r_{1} ⟹ r_{13} = r_{23} = 1.0000, r_{12} = 2.0000$
3. A lei de Newton agora não precisa de nada mais do que dessas distâncias. O corpo 3 está a 1 unidade de cada um dos outros, enquanto os corpos 1 e 2 estão ao dobro da distância entre si, pelo que a atração entre eles é mais fraca por um fator de 4.
  
  $F_{ij} = \frac{G m _{i} m _{j}}{r _{ij}^{2}} ⟹ F_{12} = \frac{1}{2 ^{2}} = 0.2500, F_{13} = F_{23} = 1.0000$
4. Aproveite a colinearidade. O corpo 3 é puxado igualmente em direções opostas, pelo que a sua força resultante se anula exatamente. Os corpos 1 e 2 são puxados no mesmo sentido por ambos os parceiros, porque o corpo 3 fica entre eles, de modo que as suas 2 forças se somam como números simples, sem componentes para decompor.
  
  $∣ F_{3} ∣ = 1.0000 - 1.0000 = 0.0000, ∣ F_{1} ∣ = 1.0000 + 0.2500 = 1.2500$
5. Momento total nulo, com os corpos 1 e 2 a moverem-se de forma idêntica, fixa a velocidade do corpo 3 em −2v₁. Isso faz com que a sua energia cinética seja 4 vezes a desses dois, e a soma sobre os 3 reduz-se a um único termo.
  
  $\sum m_{i} v_{i} = 0, v_{1} = v_{2} ⟹ v_{3} = - 2 v_{1}, K E = \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) v_{1}^{2} = 3 v_{1}^{2}$
6. Elevar ao quadrado as 2 componentes de v₁ e triplicar é a totalidade do cálculo da energia cinética para 3 corpos.
  
  $v_{1}^{2} = 0.46620368 5^{2} + 0.4323657 3^{2} = 0.404286 ⟹ K E = 1.2129$
7. A energia potencial também não precisa de vetores — apenas dos inversos das 3 distâncias, e com ε = 0 esses inversos são exatos.
  
  $P E = - G (\frac{m _{1} m _{2}}{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{1} + \frac{m _{2} m _{3}}{1}) = - 2.5000$
Resposta

E = −1,2871, e cada linha da tabela do painel para t = 0 — distâncias, forças entre pares, forças resultantes, ambas as energias e o total — resultou desses 4 decimais e da anulação do momento total. Observe o que acontece às partes: por volta de t = 25,0 a energia cinética subiu para 1,305 e a potencial caiu para −2,592, e o total não se alterou. O sinal é o que carrega uma consequência. Um trio ligado ainda pode perder um membro, mas não de graça: se 1 corpo se afastar sem nada de sobra, o par que fica para trás tem de suportar a totalidade de −1,2871, e 2 massas unitárias com essa energia têm um semieixo maior de 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 — menos de 1/5 dos 2,0000 que os separam agora. A ejeção e o endurecimento são o mesmo evento, e o balanço de energia é a razão.

$E = 1.2129 - 2.5000 = - 1.2871 ⟹ a_{m a x} = \frac{G m ^{2}}{2∣ E ∣} = \frac{1}{2 ( 1.2871 )} = 0.3885$

Referências (1)

Sundman's convergent series in t^(1/3): K. F. Sundman, "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36, 105–179, 1913.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-31

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Problemas de exemplo

órbita em forma de oito - Três massas iguais perseguem-se ao longo de uma única trajetória em forma de oito, descrevendo todas o mesmo percurso fechado. As órbitas que regressam ao ponto de partida são tão raras entre as soluções do problema dos três corpos que cada uma das conhecidas tem nome próprio.
quase colisão - Dois dos corpos passam tão perto um do outro que, por instantes, a atração entre ambos supera largamente a exercida pelo terceiro. É nestas aproximações que nasce o caos: quanto menor for a distância de passagem, mais se amplifica à saída uma diferença ínfima nas condições iniciais.
pitagórico - Massas de três, quatro e cinco nos vértices de um triângulo retângulo, todas largadas do repouso. Caem para o interior, movem-se de forma caótica durante muito tempo e, por fim, a mais leve é expulsa, enquanto as outras duas formam um par. A primeira metade do movimento não deixa adivinhar o desfecho.
órbita borboleta - Três massas iguais percorrem uma única trajetória fechada, com a forma de duas asas. As duas massas exteriores partem com velocidades idênticas, que a do meio compensa exatamente. Assim, a figura inteira não se desvia para fora do ecrã enquanto vai sendo traçada.
colinear de Euler - Três massas dispostas em linha reta giram em torno do centro comum sem nunca deixarem de estar alinhadas. É desta configuração que derivam os pontos de Lagrange no eixo Sol–Terra; o telescópio James Webb encontra-se, portanto, estacionado no interior de uma solução deste problema.
binária + intruso - Um par muito próximo encontra um corpo mais leve que se aproxima em queda pela direita. Em geral, o intruso afasta-se mais depressa do que chegou e o par fica ainda mais unido, pois a energia que ele transporta provém da própria energia de ligação do sistema binário. É precisamente este mecanismo que mantém os enxames globulares expandidos.

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StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem