Condensadores e energia armazenada

Escolhe a capacidade do condensador, a tensão da fonte e a resistência. Define em quantos degraus sobe a tensão e acompanha o carregamento para veres onde vai parar a energia fornecida: ao condensador ou ao calor. Mais abaixo, podes afastar as armaduras de um condensador e comparar o que acontece com a bateria desligada e com a bateria ligada.

Exemplo resolvido — Condensadores e energia armazenada

Carga do condensador	1,200 mC
Energia armazenada	7,200 mJ
Energia fornecida pela fonte	14,40 mJ
Calor na resistência	7,200 mJ
Fração da energia armazenada	50,00%
Corrente no instante de cada salto	12,00 mA
Capacidade inicial	354,2 pF
Energia armazenada inicialmente	1,771 µJ

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Condensadores e energia armazenada

Um condensador é formado por dois condutores separados por um isolante. Com uma carga +Q num deles e −Q no outro, surge entre ambos uma tensão V. A razão C = Q/V é a capacidade, medida em farads. Duas armaduras planas e paralelas de área A, separadas por uma distância d, têm C = ε₀εᵣA/d. Um condensador carregado armazena a energia U = ½CV² = Q²/2C. Uma fonte de tensão constante V fornece QV para transferir a carga Q, o dobro da energia que fica armazenada.

O que significa cada símbolo

C: capacidade, em farads: a carga por volt. Um farad é uma capacidade enorme; os condensadores desta página têm capacidades da ordem dos microfarads e dos picofarads
Q: carga de cada armadura, em coulombs. As cargas das duas armaduras têm o mesmo módulo e sinais opostos
V: tensão entre as armaduras. Numa fonte, é a tensão que esta mantém, qualquer que seja a corrente
U: energia armazenada no campo entre as armaduras, em joules
εᵣ: permitividade relativa do material entre as armaduras: vale 1 no vácuo e é muito próxima de 1 no ar. Indica o fator pelo qual um isolante aumenta a capacidade
d: distância entre as armaduras. A capacidade é proporcional a 1/d, pelo que reduzir a distância a metade duplica a capacidade
N: número de degraus iguais em que sobe a tensão da fonte. Cada salto é V/N

Pressupõe: Os componentes são ideais: o condensador não tem fugas de carga nem resistência interna, a fonte mantém exatamente a tensão definida e a resistência obedece à lei de Ohm. Entre degraus, espera-se quinze constantes de tempo, ficando por completar apenas 3 partes em 10 milhões da variação de tensão. As armaduras também são ideais. Considera-se uniforme o campo entre elas e despreza-se o campo que se estende para além das bordas, uma aproximação adequada quando a distância entre as armaduras é pequena face à sua largura. A armadura move-se devagar, pelo que a corrente que circula de ou para a bateria não produz aquecimento.

Dez degraus reduzem a perda a um décimo 🖖

Prime Dez degraus. O condensador termina no mesmo estado que após um único salto: a 12 V, com 7,200 mJ armazenados. A resistência, porém, produziu apenas 720,0 µJ de calor, em vez de 7,200 mJ. Cada salto dissipa ½C(ΔV)². É o quadrado que torna vantajoso dividir a subida: dez saltos de 1,2 V dissipam dez vezes ½C(1,2 V)², um décimo de ½C(12 V)². A fração da energia fornecida que fica armazenada passa de 1/2 para N/(N+1): 90,91% com dez degraus e 99,01% com cem. Se a tensão subir continuamente e suficientemente devagar, a perda aproxima-se de zero. No projeto de circuitos, este método é conhecido como carregamento por degraus. É uma das técnicas adiabáticas usadas para comandar cargas capacitivas, como as portas de transístores de potência, as linhas de relógio e os sensores de toque.

A resistência determina o tempo de carga; o calor total é o mesmo 🖖

Prime Com 10 Ω e depois Com 1 MΩ. No instante do salto, a corrente é de 1,200 A no primeiro caso e de 12,00 µA no segundo: uma razão de 100 000. A potência dissipada nesse instante varia na mesma proporção. A linha do calor indica 7,200 mJ em ambos os casos. Uma resistência pequena dissipa a energia num pico breve; uma grande dissipa-a lentamente, durante muito mais tempo. A área sob a curva de I²R é a mesma. Para perceber porquê, acompanha a carga: cada coulomb sai da fonte à tensão de 12 V e chega a um condensador cuja tensão média durante o carregamento é de 6 V. A diferença de energia tem de ser dissipada no elemento que os liga. O valor da resistência não entra nessa conta.

Afastar as armaduras pode diminuir a energia armazenada 🖖

Prime Triplicar a distância. À esquerda, a bateria foi desligada antes do movimento, pelo que a carga fica retida. O campo entre as armaduras depende apenas dessa carga e mantém-se em 100 kV/m. Como a tensão é o produto do campo pela distância, triplica para 300,0 V. A energia armazenada também triplica. O aumento vem do trabalho que realizaste ao afastar a armadura: 3,542 µJ. À direita, a bateria mantém a tensão em 100 V. A capacidade diminui para um terço, dois terços da carga regressam à bateria e a energia armazenada cai para 590,3 nJ. As armaduras continuam a atrair-se, por isso tens de realizar trabalho: 1,181 µJ, exatamente a energia que o condensador perdeu. A bateria recebe ambas as parcelas, 2,361 µJ, o dobro do teu trabalho. Esta relação mantém-se para qualquer área, qualquer tensão e quaisquer distâncias inicial e final.

Problema resolvido na íntegra

Escolher a tensão intermédia 6 passos
É preciso carregar um condensador de 100 µF até 12 V através de 1 kΩ. A fonte de alimentação tem uma saída adicional que podes usar antes da saída final. Quanto calor produz um único salto até 12 V? E se passares primeiro pela saída adicional a 4 V? Ou a 6 V? Qual é a melhor tensão para uma única saída intermédia e quantos degraus iguais são necessários para limitar o calor a 1% da energia armazenada?

Abrir este problema na ferramenta
1. Comecemos pelo salto único. A fonte transfere 1,2 mC a 12 V e fornece 14,40 mJ. O condensador armazena ½CV² = 7,200 mJ, pelo que a resistência produz 7,200 mJ de calor. É o caso N = 1 na simulação.
  
  $Q = C V = 1.2 mC, Q V = 14.40 mJ, \frac{1}{2} C V^{2} = 7.200 mJ$
2. Um salto de tensão ΔV num condensador dissipa ½C(ΔV)² em calor, independentemente da resistência e da tensão inicial do condensador. Uma saída intermédia a x volts exige dois saltos, com um calor total de ½C[x² + (12 − x)²].
  
  $E_{heat} = \frac{1}{2} C [x^{2} + (12 - x)^{2}]$
3. Com a saída intermédia a 4 V: ½ × 100 µF × (16 + 64) V² = 4,000 mJ. Uma saída a 8 V dá o mesmo resultado, pois apenas troca a ordem dos dois saltos.
  
  $x = 4 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (16 + 64) V^{2} = 4.000 mJ$
4. Com a saída intermédia a 6 V: ½ × 100 µF × (36 + 36) V² = 3,600 mJ, metade do calor de um único salto. Define N = 2 na simulação para confirmar o valor na linha do calor.
  
  $x = 6 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (36 + 36) V^{2} = 3.600 mJ$
5. A melhor tensão intermédia é a que minimiza x² + (12 − x)². A derivada, 2x − 2(12 − x), anula-se em x = 6 V, o ponto médio. O argumento estende-se a qualquer número de saltos: se a soma estiver fixada em V, a soma dos quadrados é mínima quando todos os saltos são iguais. Nesse caso, vale N(V/N)² = V²/N.
  
  $\frac{d}{d x} [x^{2} + (12 - x)^{2}] = 2 x - 2 (12 - x) = 0 \Rightarrow x = 6 V$
6. Os degraus iguais dão, portanto, a menor perda possível para um dado número de degraus. É por isso que a simulação só permite esta divisão. O calor é igual à energia armazenada dividida por N; para o limitar a 1% de 7,200 mJ, N tem de chegar a 100.
  
  $N (\frac{V}{N})^{2} = \frac{V ^{2}}{N}, \frac{7 . 200 mJ}{N} \leq 0.072 mJ \Rightarrow N \geq 100$
Resposta

7,200 mJ num único salto, 4,000 mJ passando por 4 V e 3,600 mJ passando por 6 V. Para uma única saída intermédia, a melhor tensão é a do ponto médio. Com várias saídas, o espaçamento ideal é uniforme e o calor é ½CV²/N. Limitá-lo a 1% da energia armazenada exige 100 degraus; a última linha da tabela mostra os 72,00 µJ resultantes. A simulação usa apenas degraus iguais. Saltos desiguais, como os da saída intermédia a 4 V, dissipam sempre mais energia, e a soma dos quadrados do passo 2 permite calcular quanto.

$4.000 mJ (4 V) > 3.600 mJ (6 V), N = 100 : 72.00 μ J$

Percurso de aprendizagem

O que não é um resistor

Referências (2)

The parallel-plate capacitance and the three forms of the stored energy in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §8.1 "Capacitors and Capacitance" (Equation 8.3) and §8.3 "Energy Stored in a Capacitor" (Equation 8.10).
Stepwise charging as a real circuit technique, for the last sentence of the first insight: E. J. Carlson and J. R. Smith, "An Analytical Model for Stepwise Adiabatic Driver Energy Consumption." arXiv:2210.16680, 29 October 2022. §1.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.