Indutores e o Pico de Abertura

Uma bobina, uma fonte de alimentação e um interruptor. Feche o circuito e acompanhe a subida da corrente. Abra-o depois sem qualquer proteção, apenas com um díodo ou associando-lhe um resistor: observe por onde a corrente flui e a que sobretensão o interruptor tem de resistir.

Exemplo resolvido — Indutores e o Pico de Abertura

Indutância (solenoide longo)	0,1421 H
Corrente de circuito fechado	30,00 mA
Constante de tempo	355,3 µs
Energia no campo	63,96 µJ
Pico no interruptor	360,2 V
Mínimo no interruptor	-318,4 V
Tempo até um décimo de I₀	1,614 ms
Calor no enrolamento	64,03 µJ (100,11%)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Indutores e o Pico de Abertura

Um indutor é uma bobina cujo campo magnético reage a qualquer variação da corrente que a atravessa. A diferença de potencial aos seus terminais obedece a v = L di/dt; assim, uma corrente contínua estável não requer qualquer tensão, ao passo que uma interrupção brusca gera valores colossais. A grandeza L representa a indutância, expressa em henrys. Para um solenoide comprido com N espiras, secção reta A e comprimento ℓ, enrolado num núcleo de permeabilidade relativa μᵣ, temos L = μ₀μᵣN²A/ℓ. Uma corrente I armazena no campo magnético uma energia dada por U = ½LI². Em série com uma resistência R sob uma tensão V, a corrente converge para V/R segundo a constante de tempo τ = L/R.

O que significa cada símbolo

L: indutância, em henrys: a tensão induzida por cada ampere por segundo de variação na corrente
N: número de espiras. L varia com N², pois cada espira tanto cria campo magnético como é por ele enlaçada
μᵣ: permeabilidade relativa do núcleo: igual a 1 no ar, sendo o fator pelo qual o material multiplica L
I₀: corrente de regime com o interruptor fechado, Vₛ/R
R: resistência própria do enrolamento, inerente a qualquer bobina real e responsável por dissipar a energia residual
Rₛ: resistor em série com o díodo, que eleva a tensão de corte e acelera a desativação
C: capacitância aos terminais do interruptor aberto, reunindo o efeito parasita do próprio semicondutor e da cablagem. Quanto mais reduzida for, maior é o pico gerado
τ: L/R, a constante de tempo: dita a escala temporal da subida após o fecho e, de forma aproximada, da extinção com o díodo simples

Pressupõe: Considera-se a bobina um solenoide comprido, assumindo campo interior uniforme e exterior nulo, hipótese que sobrestima o valor de L para uma geometria cujo comprimento é apenas cerca do dobro do diâmetro, como sucede com os valores de referência. O núcleo não satura nem sofre perdas por correntes de Foucault. O interruptor aberto comporta-se como um isolador perfeito com uma capacidade em paralelo; na prática, um transístor com tensão de rutura inferior ao pico queima, contactos mecânicos abrem um arco e o díodo intrínseco de um MOSFET impediria a excursão abaixo da massa. Nos dois circuitos com díodo, desconsidera-se essa capacidade parasita: a 30 mA, a carga de 1 nF até ao teto de corte requer C × V ÷ I₀, ou seja, 0,425 µs com o díodo simples e 1,425 µs com 1 kΩ, ordens de grandeza irrelevantes face a tempos de desativação na ordem das centenas de microssegundos. O díodo segue o modelo de Shockley abordado na lição correspondente, a 25 °C. A redução a um décimo significa que a corrente cai para 10% de I₀ e aí se mantém, o que num relé corresponde a 1% da força mecânica de atração. A alteração da tensão nominal assume que o mesmo espaço útil acolhe rigorosamente a mesma massa de cobre.

O interruptor abre, mas a corrente continua a fluir 🖖

Prima Sem proteção na bobina e avance até ao momento em que o interruptor abre. Um instante antes circulavam 30 mA, e essa corrente não pode estancar de golpe. Pela relação v = L di/dt, anulá-la a tempo zero exigiria uma tensão infinita. A corrente continua então a fluir para o único caminho que resta, os 1 nF da capacidade em paralelo com os contactos abertos, e a tensão sobe até a corrente parar. Nesse momento, o condensador acumulou 64,89 µJ: aos 63,96 µJ do campo magnético soma-se a energia fornecida pela fonte ainda ligada, subtraindo o que o enrolamento dissipou pelo caminho. O pico atinge 360,2 V, gerados por uma fonte de apenas 12 V. Prima 100 pF no interruptor: com um décimo da capacidade a receber quase a mesma energia, o pico atinge 1.134 V. A sobrevivência de um interruptor real dependerá dos seus limites de projeto. Um transístor com tensão nominal inferior é destruído por rutura, e contactos mecânicos abrem um arco elétrico através do entreferro.

O díodo protege o circuito e desativa a bobina mais depressa 🖖

Sem nada em paralelo, e admitindo que o interruptor sobrevive, a bobina demora a desmagnetizar. Se a corrente cai para um décimo em 17,70 µs, é apenas porque a energia transitou para a capacidade parasita; regressa de imediato no sentido oposto. Fica a oscilar entre os dois elementos até que a resistência do enrolamento a consuma — e o enrolamento só a dissipa enquanto ela passa pela bobina, sensivelmente metade de cada ciclo. O processo demora 1,614 ms. Prima Díodo flyback: o interruptor vê agora 12,74 V, a tensão da fonte mais a queda direta no díodo. A corrente circula em anel fechado entre a bobina e o semicondutor, caindo para um décimo em 674,7 µs. Um resistor em série com o díodo permite ajustar o compromisso. Prima Díodo com 1 kΩ: 219,8 µs, com um pico contido em 42,74 V. Na tabela, cada resistor maior eleva a tensão de corte e encurta o tempo de desativação.

Uma bobina de 48 V não produz um pico maior do que uma de 12 V 🖖

Se rebobinarmos o mesmo núcleo para 48 V em vez de 12 V, são precisas quatro vezes mais espiras com um fio de um quarto da secção transversal. A indutância varia com o quadrado das espiras, tal como a resistência, porque o fio é quatro vezes mais longo e quatro vezes mais fino. Assim, L/R mantém-se nos 355,3 µs, a corrente cai para um quarto e o campo magnético conserva os mesmos 63,96 µJ; as espiras-ampere que atraem a armadura não saem dos 150. Prima Mesma bobina a 48 V: sem proteção, o interruptor atinge um pico de 368,3 V, encostado aos 360,2 V do enrolamento de 12 V. O tamanho físico da bobina e a potência para que foi concebida fixam o pico indutivo; a tensão de alimentação quase não intervém. A influência nota-se no díodo: os seus 0,74 V travam com muito mais vigor uma bobina de 5 V do que uma de 48 V, libertando a bobina de 5 V em 547,3 µs e a de 48 V em 777,0 µs.

Problema resolvido na íntegra

Dimensionamento do resistor em série com o díodo flyback 6 passos
Um transístor para 60 V comuta a bobina de 12 V descrita nesta página: 400 Ω e 0,1421 H, equipada com um díodo em paralelo. Qual é o maior resistor da série E12 (1,0; 1,2; 1,5; 1,8 kΩ, etc.) que se pode associar em série com o díodo garantindo que a tensão no transístor não ultrapassa os 60 V? Quanto tempo demora a corrente a cair para um décimo, em comparação com o díodo isolado, e que quantidade de calor dissipa o resistor em cada corte da bobina?

Abrir este problema na ferramenta
1. Com o interruptor fechado, a corrente estabelecida é I₀ = 12 V ÷ 400 Ω = 30 mA, e o campo retém ½LI₀² = ½ × 0,1421 H × (30 mA)² = 63,96 µJ.
  
  $I_{0} = \frac{12 V}{400 Ω} = 30 mA, \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.1421 H \times (30 mA)^{2} = 63.96 μ J$
2. No instante exato em que o interruptor abre, a bobina mantém os 30 mA, forçando a sua passagem pelo díodo e por Rₛ. O interruptor fica sujeito à tensão da fonte somada à queda no díodo a 30 mA e à queda no resistor: 12 V + 0,738 V + 0,03 A × Rₛ.
  
  $v_{sw} = V_{S} + V_{D} (I_{0}) + I_{0} R_{s} = 12 V + 0.738 V + 0.03 A \times R_{s}$
3. Para que esse total não exceda 60 V, impõe-se Rₛ ≤ (60 − 12,738) V ÷ 0,03 A = 1.575 Ω. O valor padronizado da série E12 imediatamente inferior é 1,5 kΩ, que resulta em 57,74 V; o degrau seguinte de 1,8 kΩ conduziria a 66,74 V.
  
  $R_{s} \leq \frac{( 60 - 12 . 738 ) V}{0 . 03 A} = 1575 Ω \Rightarrow 1.5 kΩ : 57.74 V$
4. A corrente decai agora através de R + Rₛ = 1.900 Ω, com uma escala temporal L ÷ 1.900 Ω = 74,80 µs. Modelando a queda no díodo como um patamar fixo de 0,738 V, a corrente toma a forma i = (I₀ + V_D/R′)e^(−t/τ′) − V_D/R′, em que V_D/R′ = 0,3885 mA. Atinge 3 mA quando t = 74,80 µs × ln(30,39 ÷ 3,388) = 164,1 µs.
  
  $τ^{'} = \frac{L}{R + R _{s}} = \frac{0 . 1421 H}{1900 Ω} = 74.80 μ s, t = τ^{'} ln \frac{30 . 39}{3 . 388} = 164.1 μ s$
5. Na ferramenta, escolhendo Díodo + resistor com Rₛ = 1.500 Ω, que acompanha a curva real do díodo, obtém-se 164,5 µs. Como o díodo isolado exigia 674,7 µs, o resistor torna a desativação 4,10 vezes mais rápida.
  
  $\frac{674 . 7 μ s}{164 . 5 μ s} = 4.10$
6. Dos 63,96 µJ iniciais, o resistor assume 49,29 µJ, correspondendo a 77,07%. No instante de abertura dissipa uma potência instantânea I₀²Rₛ = (30 mA)² × 1.500 Ω = 1,350 W, caindo quase a zero poucas centenas de microssegundos mais tarde.
  
  $\int R_{s} i^{2} d t = 49.29 μ J (77 . 07%), I_{0}^{2} R_{s} = 1.350 W$
Resposta

1,5 kΩ, o que fixa a tensão máxima no interruptor em 57,74 V — uma margem de segurança de 2,26 V abaixo da especificação. A corrente desce para um décimo em 164,5 µs em vez de 674,7 µs, e o resistor absorve 49,29 µJ em cada comutação. A ferramenta analisa uma manobra única. Acionando o relé dez vezes por segundo, a potência média dissipada no resistor é de 49,29 µJ × 10 por segundo = 0,4929 mW; a ponta de 1,350 W no instante do corte dissipa-se em poucas centenas de microssegundos.

$R_{s} = 1.5 kΩ : 57.74 V, 164.5 μ s, 49.29 μ J; 10 Hz : 0.4929 mW$

Percurso de aprendizagem

O que não é um resistor

Referências (1)

v = L di/dt, the long-solenoid inductance, ½LI² and the RL time constant in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §14.2 "Self-Inductance and Inductors" (Equations 14.10 and 14.13), §14.3 "Energy in a Magnetic Field" (Equation 14.20) and §14.4 "RL Circuits" (Equations 14.24 and 14.25).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.