Ajustador de Controlador PID

Ajuste um controlador PID e observe como a saída acompanha um setpoint em degrau através de uma planta de primeira ordem.

Valores iniciais — Ajustador de Controlador PID

Kp	1.2
Ki	0.4
Kd	0.1
Tau	1
Ganho da planta	1
Setpoint	1

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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num processo de primeira ordem, o termo D não tem nada para amortecer 🖖

O termo proporcional reage ao erro presente; o termo integral elimina o desvio que fica. Observe a ação de P isoladamente: com k_p = 1,2, a saída estabiliza em 0,5455 e permanece nesse valor, sempre aquém da referência por exatamente k_p/(1 + k_p). Ao acrescentar k_i, essa diferença desaparece. Neste processo, o termo derivativo é um caso à parte, pois k_d·de/dt realimenta a própria taxa de variação da saída: a malha passa a ser (τ + k·k_d)ẏ = −y + k(k_pe + k_i∫e), aumentando a constante de tempo em vez de amortecer a resposta. Quando há ação integral, uma malha mais lenta acumula mais erro; por isso, elevar k_d de 0 para 0,6, com k_p = 1,3 e k_i = 2,5, faz a sobreelevação passar de 6,6% para 14,6%. A ação derivativa é útil em sistemas com inércia a contrariar. Este não a tem.

controlar pelo erro, não pela meta 🖖

O controlador nunca recebe o valor de referência como uma ordem direta. Conhece apenas o erro, isto é, a diferença entre o valor atual da saída e o valor pretendido. Toda a ação que produz reage a essa diferença e procura reduzi-la a zero. Observe a resposta ao degrau: o valor de referência salta e o erro torna-se grande, levando o controlador a atuar com intensidade; à medida que a saída se aproxima, a atuação diminui. Um bom controlo nasce da reação ao erro, não do conhecimento antecipado da ação perfeita.

nasceu observando o timoneiro de um couraçado 🖖

A receita de três termos não saiu primeiro das equações. Em 1922, Nicolas Minorsky deduziu o controle PID observando um timoneiro experiente governar o couraçado USS New Mexico. Ele notou que o marinheiro corrigia não só o quanto o navio se desviava do rumo (proporcional), mas também há quanto tempo ele derivava (integral) e com que rapidez o rumo mudava (derivativo). O piloto automático copiou o instinto humano antes de a teoria alcançá-lo.

Problemas resolvidos na íntegra

Onde um controlador apenas com ganho proporcional realmente estabiliza 5 passos
Pretende-se que um controlador composto exclusivamente por ganho proporcional mantenha a saída em 1. Determine em que valor este se estabiliza efetivamente e descubra por que razão a linha do tempo de subida indica que o valor de referência nunca foi atingido. Isto é Apenas P: K_p = 1,2, K_i = 0, K_d = 0, constante de tempo do processo τ = 1 s, ganho do processo K = 1, valor de referência r = 1.
1. Três factos fecham a malha numa única equação. O controlador atua com K_p vezes o erro, o processo evolui para K vezes tudo aquilo com que é atuado, e o erro é o que resta do valor de referência após a saída. Substituir os dois últimos no primeiro faz com que y passe a depender apenas de si próprio.
  
  $τ \frac{d y}{d t} = - y + K u, u = K_{p} e, e = r - y ⟹ τ \frac{d y}{d t} = - y + K K_{p} (r - y)$
2. Estar estabilizado significa que a derivada é 0, o que transforma a equação diferencial em aritmética que se pode fazer de cabeça. O ganho surge duas vezes — uma no numerador e outra na soma por baixo dele — e essa é toda a estrutura da resposta.
  
  $\frac{d y}{d t} = 0 : y_{\infty} = \frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} r = \frac{1.2}{2.2} = 0.5455$
3. Subtraia para obter o erro restante e observe r a simplificar-se na fração. O desvio é uma fração de qualquer valor pedido, e não uma quantidade fixa: peça 100 e falhará por 45,45; peça 1 e falhará por 0,4545. É uma propriedade da malha, não da solicitação.
  
  $e_{\infty} = r - y_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}} = \frac{1}{2.2} = 0.4545$
4. Explicar por que razão a malha não consegue fazer melhor exige apenas uma linha, e esse é o ponto essencial de todo o problema. A única saída do controlador é K_p vezes o erro. Um erro nulo comanda uma atuação nula, e uma atuação nula mantém o processo em zero. O controlador necessita de um erro permanente para gerar a atuação permanente que mantém y elevado — confirme: o comando estabilizado é 0,5455, que é exatamente a saída que está a manter. O desvio não é uma má sintonização, é o próprio mecanismo.
  
  $u_{\infty} = K_{p} e_{\infty} = 1.2 \times 0.4545 = 0.5455 = \frac{y _{\infty}}{K}$
5. Isso também explica a linha em branco. O tempo de subida é o primeiro instante em que y atinge 0,9r, e y nunca consegue ultrapassar o seu próprio teto de 0,5455. Portanto, a leitura não indica que a malha seja lenta — indica que o valor de referência está acima do teto. Calcule o ganho que eleva o teto para 0,9 e obterá 9, pelo que qualquer K_p inferior a 9 produz essa mesma linha em branco.
  
  $\frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} \geq 0.9 ⟺ K_{p} \geq \frac{9}{K} = 9$
Resposta

A ferramenta apresenta y(10 s) = 0,55 e um erro em regime permanente de 0,455, com o tempo de subida e o tempo de estabilização ambos não atingidos. Agora, o reverso da medalha. O fator 1 + K·K_p = 2,2 que divide o erro divide também a constante de tempo do processo, pelo que esta malha atinge a sua resposta errada em 0,4545 s em vez dos 1 s do próprio processo. Velocidade e precisão são o mesmo botão de ajuste, e esse botão é dispendioso: reduzir o erro para 1% exige K_p ≥ 99, e em t = 0 o erro é a totalidade do valor de referência, pelo que o controlador começa por exigir 99 vezes a saída que está a tentar produzir. O ganho proporcional nunca elimina o desvio — apenas o torna suficientemente pequeno para ser ignorado, cobrando um primeiro movimento violento por isso. Eliminá-lo exige um termo que continue a atuar após o erro ter parado de variar.

$e_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}}, τ^{'} = \frac{τ}{1 + K K _{p}} = \frac{1.00}{2.2} = 0.4545 s$
Quanto desvio sobrevive a um integrador após 10 s 5 passos
Supõe-se que um integrador faça desaparecer o desvio. Determine quanto dele subsiste após 10 s e encontre o ganho para o qual esta malha começaria, em alternativa, a oscilar. Isto é PI: K_p = 1, K_i = 0,6, K_d = 0, τ = 1 s, K = 1, r = 1.
1. O facto de o desvio desaparecer é um argumento, não um cálculo. Suponha que a malha se estabiliza com um erro constante diferente de 0. Nesse caso, o seu integral acumulado cresce sem limite, pelo que o comando cresce sem limite e a saída cresce sem limite — o que não é estabilizar. O único erro constante que uma malha PI estabilizada pode ter é 0, quaisquer que sejam os ganhos.
  
  $\overset{y}{˙} = 0, e \equiv c \neq = 0 : \int_{0}^{t} e d t = c t \to \infty ⟹ u \to \infty ⟹ c = 0$
2. Saber que lá chega nada diz sobre quando. Derive a equação da malha uma vez para eliminar o sinal de integração e observe o que aconteceu à ordem: um processo de primeira ordem sob controlo PI é um sistema de segunda ordem, com todo o comportamento que isso implica.
  
  $τ \overset{y}{˙} = - y + K (K_{p} e + K_{i} \int e d t), \overset{e}{˙} = - \overset{y}{˙} ⟹ τ \overset{y}{¨} + (1 + K K_{p}) \overset{y}{˙} + K K_{i} y = K K_{i} r$
3. O erro obedece à mesma equação sem o termo de excitação do valor de referência, sendo portanto uma soma de exponenciais cujas taxas são as raízes. Aqui o discriminante é positivo, ambas as raízes são reais e negativas, e não resta nada com que oscilar — razão pela qual a linha da sobre-elevação indica 0,0% em vez de uma pequena percentagem.
  
  $\overset{e}{¨} + 2 \overset{e}{˙} + 0.6 e = 0, s = - 1 \pm 1 - 0.6 = - 0.3675, - 1.6325$
4. Duas condições iniciais fixam os dois pesos. Em t = 0 nada se moveu, pelo que o erro é a totalidade do valor de referência; e o declive inicial do processo é K·K_p·r/τ = 1, pelo que o declive inicial do erro é -1. Resolva o par e ambos os pesos resultam exatamente em 0,5, o que é uma coincidência destes ganhos e não um resultado geral.
  
  $e (0) = 1, \overset{e}{˙} (0) = - \frac{K K _{p} r}{τ} = - 1 ⟹ e (t) = 0.5 e^{- 0.3675 t} + 0.5 e^{- 1.6325 t}$
5. Aos 10 s a raiz rápida já se extinguiu há muito — o seu termo reduziu-se a 4×10⁻⁸ — pelo que a raiz lenta constitui toda a resposta, tendo tido apenas 3,7 das suas próprias constantes de tempo para atuar. Nada falhou; a malha está simplesmente ainda a caminho.
  
  $e (10) = 0.5 e^{- 3.675} + 0.5 e^{- 16.325} = 0.01268 + 4 \times 1 0^{- 8} = 0.0127, y (10) = 0.9873$
Resposta

A ferramenta apresenta y(10 s) = 0,99 e um erro residual de 0,013. O desvio está a desaparecer, mas no final da janela continua a ser de 1,3%, e esse é o preço real da ação integral: elimina o erro em teoria e demora o seu tempo na prática. Atingir 0,1% exige ln(500)/0,3675 = 16,9 s, para lá da extremidade direita do gráfico, pelo que esta janela não pode mostrar uma malha PI concluída com estes ganhos. Aumente K_i para a acelerar e colidirá com uma barreira — o discriminante torna-se negativo para K_i = 1, a partir do qual as raízes são complexas e a resposta oscila. A diferença mais profunda vale mais do que qualquer um dos números. O desvio proporcional era r/(1 + K·K_p), que contém o ganho do processo, pelo que uma válvula que ganhe incrustações ou um motor que enfraqueça altera a resposta: reduza K para metade e a falha do controlo apenas P aumenta de 0,455 para 0,625. O ponto de estabilização do PI não contém qualquer K. É por isso que as malhas industriais incluem um integrador — não por ser mais preciso hoje, mas por se manter preciso quando o processo se altera por baixo dele.

$(1 + K K_{p})^{2} - 4 τ K K_{i} \geq 0 ⟺ K_{i} \leq \frac{( 1 + K K _{p} ) ^{2}}{4 τ K} = 1$

Referências (1)

Insight block 3 — the helmsman, and the three terms taken from watching him: N. Minorsky, "Directional stability of automatically steered bodies." Journal of the American Society for Naval Engineers 34(2), 280–309, 1922.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-31

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Problemas de exemplo

Só P - Com apenas kp = 1,2, a saída estabiliza em 0,5455 e fica nesse valor. O défice de 45,5% é exatamente kp/(1 + kp): o controlo proporcional não consegue eliminar a diferença restante.
PI - No mesmo processo, acrescentar ki = 0,6 faz a saída chegar a 0,9873 ao fim de dez segundos, ainda a aproximar-se da referência. É a ação integral que elimina o desvio deixado por P isoladamente.
com ação derivativa - Com kd = 0,2, além de kp = 1,3 e ki = 0,5, quase nada muda: ao fim de dez segundos, a saída é 0,9663, contra 0,9873 com PI. Num processo de primeira ordem, o termo D acrescenta atraso em vez de amortecimento.