Laboratório de resposta ao degrau de primeira ordem

ajusta o ganho, o tamanho do degrau e a constante de tempo para ver a resposta exponencial a evoluir

Exemplo resolvido — Laboratório de resposta ao degrau de primeira ordem

Saída y(t)	0,6321
Valor em regime permanente	1,0000
Progresso até ao regime permanente	63,21%
Tempo decorrido, em constantes de tempo	1,000 τ
Tempo de subida, 10% → 90%	2,197
Tempo de estabelecimento, a 2%	3,912
Os seus valores, substituídos	0,6321
valor final K·A	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Laboratório de resposta ao degrau de primeira ordem

Um sistema de primeira ordem é aquele cuja taxa de variação é proporcional ao que ainda lhe falta percorrer. Empurre-o com uma entrada constante aplicada de repente — um degrau — e ele não salta: fecha a diferença que resta a um ritmo fraccional constante, traçando uma aproximação exponencial a um novo valor de repouso. A constante de tempo τ é o tempo que essa diferença leva a encolher para 1/e do seu tamanho inicial.

O que significa cada símbolo

K: o ganho: quanta saída o sistema acaba por dar por unidade de entrada.
A: o tamanho do degrau aplicado em t = 0.
τ: a constante de tempo, nas mesmas unidades que t. É o único símbolo aqui que afecta os tempos.
K·A: o valor final em que a saída assenta, esgotada a exponencial.

De onde vem a fórmula

Comece pela premissa física e não pela fórmula. Um sistema de primeira ordem varia a uma taxa proporcional à distância que lhe falta até ao alvo: quanto mais lhe falta, mais depressa se move. Escrito, dy/dt = (K·A − y)/τ, que se reorganiza em τ·dy/dt + y = K·A.
Separe as variáveis e integre: dy/(K·A − y) = dt/τ dá −ln(K·A − y) = t/τ + c.
Aplique a condição inicial. O sistema está em repouso antes do degrau, logo y(0) = 0, o que fixa a constante e deixa K·A − y = K·A·e^(−t/τ). Leia essa linha por si só: é a diferença que decai exponencialmente, e é a diferença — não a saída — o que há de simples aqui.
Portanto y(t) = K·A(1 − e^(−t/τ)). A fracção que falta percorrer é e^(−t/τ), que depende de t e de τ apenas através da sua razão. Esse único facto produz toda a tabela de marcos: a uma τ a diferença é 1/e, logo estão feitos 63,21%; a três τ, 95,02%; a cinco τ, 99,33%. Nada nesses números pode ser alterado pelo ganho ou pelo degrau.

Como ler o que vê

A curva verde é y(t) e a linha cinzenta tracejada é o valor final K·A que ela nunca chega bem a atingir. As linhas verticais marcam 1τ a 5τ, pelo que as percentagens dos marcos se lêem directamente na curva. A linha laranja tracejada torna o passo 4 visível: sai da origem com o declive inicial K·A/τ e encontra a linha cinzenta exactamente a uma constante de tempo, com um ponto no cruzamento. A faixa azul é ±2% do valor final — a definição habitual de «chegou» em engenharia — e a marca vertical é o instante da caixa Tempo. A tabela abaixo destaca a linha τ em que está neste momento.

Pressupõe: Um único elemento de armazenamento, um sistema em repouso antes do degrau e um degrau que chega instantaneamente. Pressupõe também linearidade: duplique o degrau e cada ponto da curva duplica, que é precisamente por que as percentagens dos marcos são fixas. Nada aqui modela saturação, pelo que um ganho de 10 com um degrau de 10 preverá alegremente uma saída de 100 que um actuador real não conseguiria entregar.
Falha quando: Uma resposta de primeira ordem é monótona — nunca pode ultrapassar o seu valor final nem oscilar. Portanto, se um sistema real ressoa, ou passa do alvo antes de assentar, não é de primeira ordem, e nenhum valor de τ lhe servirá. Isso exige pelo menos dois elementos de armazenamento, donde vem o comportamento de segunda ordem de um oscilador amortecido. O tempo morto quebra-o de outra maneira: um atraso de transporte desloca toda a curva para a direita sem lhe mudar a forma, pelo que também não pode ser absorvido em τ.

A constante de tempo pertence ao sistema; a amplitude do degrau não 🖖

Altere a entrada e a curva inteira muda de escala, mas o relógio não se move. Com τ = 3, a resposta percorreu 63.21% do seu percurso após três segundos — e continua a indicar 63.21% quer o degrau seja 1 ou 5, e quer o ganho seja 1 ou 4. Apenas τ afeta o tempo: aumente-o para 10 e esses mesmos três segundos rendem apenas 25.92%. É por isso que a constante de tempo é indicada como uma propriedade de um motor, de um termómetro ou de um circuito RC sem que ninguém mencione o que lhe foi feito. O ganho e o degrau decidem onde a saída vai parar; apenas τ decide quanto tempo demora a lá chegar.

O primeiro instante já sabe onde vai acabar 🖖

A resposta deixa a origem com declive K·A/τ. Prolongue essa recta — a linha laranja tracejada acima — e ela cruza o valor final exactamente em t = τ. Sempre: com qualquer ganho, qualquer degrau, qualquer constante de tempo, e com degraus negativos também. É assim que se lê uma constante de tempo num traço de osciloscópio, com uma régua e sem conta nenhuma: trace a tangente no início, veja onde encontra o nível final, leia o tempo. A curva em si está longe de terminada nesse momento — percorreu 63,21% — porque vem a abrandar desde o primeiro instante, e a tangente é a única parte do movimento que nunca abrandou.

Um termómetro, um motor e um condensador são a mesma equação 🖖

Os eixos desta página não têm unidades, e isso é propositado. τ·dy/dt + y = K·A descreve tudo o que tem um sítio onde guardar e um caminho por onde perder, e τ é sempre o tamanho do depósito dividido pela rapidez com que se esvazia. Para um condensador através de uma resistência, é R·C. Para um termómetro em ar em movimento, a capacidade térmica dividida pelo coeficiente de transferência vezes a área. Para um motor a ganhar velocidade, a inércia dividida pelo amortecimento. Para um tanque bem agitado, o volume dividido pelo caudal. Quatro ciências diferentes, uma curva, um número — é por isso que a engenharia de controlo pode falar de «um atraso de primeira ordem» sem nunca dizer de que é feita a coisa.

Problema resolvido na íntegra

Saída que atingiu 63,21% uma constante de tempo após uma entrada em degrau 5 passos
Um sistema de primeira ordem encontra-se a uma constante de tempo de uma entrada em degrau, e a saída atingiu 63,21%. Mostre que 63,21% — assim como o tempo de subida e o tempo de estabelecimento — não são de todo propriedades deste sistema.
1. A equação que rege o sistema indica que a saída persegue a entrada a uma taxa proporcional a quão atrás se encontra. Resolvendo-a obtém-se a aproximação exponencial, com o ganho e a amplitude do degrau a surgirem apenas como um multiplicador à frente.
  
  $τ \frac{d y}{d t} + y = K A, y (0) = 0 ⟹ y (t) = K A (1 - e^{- t / τ})$
2. Assim, para t = τ, a fração atingida é 1 − e⁻¹. O ganho e o degrau cancelam-se: os 63,21% são um facto sobre e, não sobre este sistema.
  
  $t = τ : \frac{y}{K A} = 1 - e^{- 1} = 0.6321 = 63.21%$
3. O mesmo cancelamento fornece o tempo de subida. Inverte-se a resposta para o instante em qualquer fração e subtraem-se os tempos de 10% e 90%. A diferença é τ ln 9, sendo ln 9 = 2,197 um número puro.
  
  $t_{p} = - τ ln (1 - p) : t_{r} = t_{90} - t_{10} = τ ln 9 = 2.197 τ$
4. O estabelecimento dentro de uma margem de 2% exige saber quando a exponencial restante cai para 0,02, o que corresponde a τ ln 50 = 3,912τ. Mais uma vez, sem ganho nem amplitude do degrau.
  
  $1 - e^{- t / τ} = 0.98 ⟹ t_{s} = τ ln 50 = 3.912 τ$
5. O que significa que todo o raciocínio funciona no sentido inverso. Meça um tempo de subida num equipamento real e τ = tᵣ/2,197 — uma única leitura de cronómetro carateriza completamente a dinâmica.
  
  $2 τ : 86.47%, 3 τ : 95.02%, 5 τ : 99.33% τ = \frac{t _{r}}{2.197}$
Resposta

A ferramenta mostra 0,6321, 63,21%, um tempo de subida de 2,197 e um tempo de estabelecimento de 3,912. Cada um destes valores é τ multiplicado por uma constante resultante de e, e nenhum deles depende do ganho ou do degrau. Clique nas predefinições rápido e lento alternadamente e poderá observar a divisão: a saída, o valor em regime permanente e os 63,21% não se alteram de todo, enquanto cada tempo no painel é multiplicado por exatamente dez — 2,197 passa a 21,972 e 3,912 passa a 39,120. Existe apenas uma resposta ao degrau de primeira ordem no mundo, e τ apenas decide quão rapidamente a observa. Duas constantes de tempo atingem 86,47%, três atingem 95,02%, cinco atingem 99,33% — de onde vem a máxima da engenharia "cinco constantes de tempo e está established".

$y = K A (1 - e^{- t / τ}) : 0.6321, ln 9, ln 50 are constants, not settings$

Percurso de aprendizagem

Resistência, depois reatância

Conduz a Ressonância RLC

Referências (1)

The standard treatment of the first-order lag, including the rise and settling times this page reports and why they are pure multiples of τ: K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-21

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

resposta rápida - τ = 1, lido em t = 1 → 63.21% do caminho até um regime permanente de 1
resposta lenta - τ = 10, lido em t = 10 → outra vez 63.21%: dez vezes mais lento, o mesmo progresso, porque o relógio anda em unidades de τ
quatro constantes de tempo - τ = 1 lido em t = 4 → 98,17%, o que habitualmente se chama «terminado»
ganho duplo - K = 2 leva o destino a 2, e t = 5 contra τ = 3 chega a 1.6222 — 81.11% do caminho
degrau negativo - um degrau de −1 leva a saída a −0,6321 em t = τ, os mesmos 63,21% de um percurso invertido