Transformada Discreta de Fourier

Prima Numa banda: 64 amostras de um tom que completa exatamente 10 ciclos. Toda a sua energia fica na banda 10 e todas as outras barras valem zero. Agora prima A meio caminho. O tom é o mesmo, exceto que completa 10,5 ciclos, e o espetro está agora em decibéis. As bandas 10 e 11 contêm 81,10% da energia entre si. O resto espalhou-se por todo o lado. A banda 31, a mais de vinte bandas de distância, encontra-se apenas 26,3 dB abaixo da barra mais alta (cerca de um vigésimo da sua altura). Nenhuma barra é zero. Observe a junção no painel superior. A transformada trata as 64 amostras como uma volta de um ciclo que se repete para sempre, e 10,5 ciclos não encaixam perfeitamente. Por isso, o ciclo salta em cada junção. Não é possível construir um salto a partir de poucas frequências; são precisas todas. Prima Reproduzir em ciclo em cada predefinição e ouvirá a diferença. Numa banda soa a um assobio limpo; a meio caminho surge um ruído áspero a 125 Hz, que é a cadência a que a junção regressa.

Prima As setas curvam-se. Cada barra é a soma de 64 setas, uma por amostra. A seta n corresponde a w_nx_n rodada k·n/64 de volta no sentido dos ponteiros do relógio. Uma amostra negativa aponta-a no sentido oposto e a barra representa a distância entre o fim e o início da cadeia. Um cosseno consiste em duas metades a girar em sentidos opostos. Quando o tom completa exatamente k ciclos, uma metade de cada seta é virada para trás, de modo a apontar na mesma direção. As metades alinham-se numa linha reta de comprimento 32 e a barra regista 100%. Com um desvio de meia banda, essa linha curva-se num semicírculo ao longo das 64 amostras. As extremidades de um semicírculo distanciam-se apenas 2/π do seu comprimento, ou seja, 63,7%: a “scalloping loss” de 3,92 dB na tabela de janelas de Fredric Harris de 1978. A outra metade de cada seta dá 21,5 voltas e quase se anula, o que ajusta a leitura para os 64,61% impressos na página. O tom mantém toda a sua intensidade. A barra mais alta subestima-o num terço, registando −3,79 dB, unicamente devido ao ponto onde a sua frequência calha. Afaste-o uma banda inteira e a linha curva-se até formar um círculo completo e fechar. A metade mais rápida fecha-se com ele. É por isso que um tom posicionado numa banda deixa todas as outras barras exatamente a zero.

Prima Um vizinho fraco: um segundo tom 50 dB abaixo, com uma amplitude 316 vezes menor, a completar exatamente 20 ciclos. A banda 20 lê 22,7 dB abaixo da barra mais alta, mas trata-se apenas da fuga espectral do primeiro tom. A banda 20 nem sequer se destaca da banda 19 ao seu lado. Mude a janela para Hann. Esta faz as amostras surgirem gradualmente a partir de zero e desvanecerem de novo, pelo que o ciclo não apresenta qualquer salto. A fuga espectral colapsa. A banda 31 passa de 26,3 dB para 98,9 dB abaixo do pico. A banda 20 ergue-se como um pico independente, registando 0,32% da amplitude do tom 1, que é o verdadeiro significado de estar 50 dB abaixo. A janela cobra o seu preço em largura. Um tom numa banda cobre agora três. Assim, um tom posicionado exatamente na banda 10 retém apenas 66,67% da sua energia na própria banda. Prima Numa banda e a tabela debaixo dos resultados mostrará esse valor ao lado dos 100% da janela retangular. Prima Dois tons, Hann: dois tons iguais separados por duas bandas. A banda 11, entre eles, regista 100,00%, tão alta como qualquer dos dois tons. Sem a janela, essa banda encontra-se vazia. A janela de Hann troca um pico com três bandas de largura por caudas limpas. Esta é a troca certa quando se procura algo ténue, mas a errada quando os sinais estão próximos.