Espectrograma

Quatro pequenas peças compostas por tons puros, o seu espectrograma, e uma fatia do mesmo. Altere o comprimento da janela e observe as notas próximas a separar-se enquanto o tempo se esbate, ou o inverso. As barras tracejadas representam a partitura: o local onde as notas realmente estão.

Exemplo resolvido — Espectrograma

Semitom acima da nota base	26,16 Hz
Um batimento desse semitom	38,2 ms
Janela que o divide sempre	50,6 ms
Janela (semicolcheias 120 bpm)	0,31
Lobo principal, centro ao primeiro zero	26,2 Hz
Picos até 6 dB na fatia em 1,06 s	dois
Fatias que mostram dois picos	61,9%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Espectrograma

Um espectrograma mostra como o espectro de um sinal muda no tempo. O sinal é cortado em fatias sobrepostas, sendo cada uma multiplicada por uma janela de comprimento T e sujeita à transformada de Fourier (a transformada de Fourier de curto termo), após o que as magnitudes são dispostas lado a lado. Uma janela de comprimento T desfoca o tempo em cerca de T e a altura em cerca de 1/T, logo nenhum comprimento único revela alturas próximas e mudanças rápidas em simultâneo. Duas alturas separadas por um semitom diferem em Δf = f(2^1/12 − 1), e batem uma vez a cada 1/Δf.

Pressupõe: Tons senoidais puros de igual sonoridade. Onde uma nota real possui harmónicos, os enésimos harmónicos de duas notas separadas por um semitom encontram-se n vezes mais afastados do que as próprias notas, pelo que um espectrograma separa esses harmónicos com janelas mais curtas do que os tons fundamentais requerem; a proporção de um som de baixo que reside nos seus harmónicos depende do instrumento.

Duas notas separadas por um semitom requerem uma janela mais longa do que um batimento 🖖

Prima Um batimento, retangular. O Lá4 e o Lá♯4 estão distanciados por 26,16 Hz, logo batem em conjunto 26,16 vezes por segundo, uma vez a cada 38,2 ms. Uma janela com esta duração é a regra prática habitual: a resolução de frequência é um a dividir pelo comprimento da janela. A página conta as fatias, e apenas 61,9% apresentam dois picos. Aquelas que falham são os momentos em que os dois tons estão em fase e se somam num único pico a meio caminho entre as suas alturas; um batimento depois, voltam a estar em fase. Todas as fatias se separam apenas quando a janela contém 1,33 batimentos, 50,6 ms, no caso de uma janela retangular, ou 1,88 batimentos, 72,0 ms, para a de Hann, cujas extremidades atenuadas a fazem escutar por menos tempo do que o seu comprimento. Prima Suficientemente longa: aos 80 ms, todas as fatias mostram as duas notas. A regra de Julius Smith em Spectral Audio Signal Processing, de dois batimentos para a retangular e quatro para a de Hann, é mais segura do que a exigida por este teste, pois pede que os dois lobos principais não se sobreponham de todo.

Uma linha de baixo precisa de um relógio mais lento do que uma melodia 🖖

Um semitom é um rácio fixo, 2^1/12, pelo que a sua largura em hertz encolhe com a altura: 52,33 Hz no Lá5, 3,27 Hz no Lá1, quatro oitavas abaixo. A janela tem de crescer para acompanhar, e a tabela por baixo dos resultados ilustra esta escada: uma janela de Hann requer 36,0 ms para separar um semitom no Lá5 e 576,2 ms no Lá1, o que equivale a mais de quatro semicolcheias e meia a 120 batidas por minuto. Prima Trilo melódico: Lá5 e Lá♯5 a alternar em semicolcheias, e uma janela de 36 ms mostra qual a nota que toca em 95,0% das fatias. Prima Trilo de baixo, o mesmo trilo quatro oitavas abaixo, através de uma janela com a duração de uma nota, 125 ms: 1,2%. Agora arraste a janela. Curta, é demasiado imprecisa para distinguir 55 Hz de 58,27 Hz; suficientemente longa para os distinguir, abrange quatro ou cinco notas e escuta ambas em simultâneo. Nenhuma janela entre 10 ms e um segundo revela qual a nota de baixo que toca num quarto das fatias. Os analisadores construídos para a música resolvem esta questão ao atribuir a cada altura a sua própria janela: a transformada de Q constante de Judith Brown, de 1991, faz o comprimento da janela variar inversamente com a frequência, longa para os graves e curta para os agudos.

Uma nota deslizante tem uma janela ideal, e uma mais longa desfoca-a 🖖

Prima Um glissando: um tom a deslizar de 440 Hz para 880 Hz em dois segundos, 220 Hz a cada segundo. Através de uma janela de Hann de 140 ms, a sua linha tem uma largura de 18,2 Hz a meio. Reduza a janela para metade, 70 ms, e a linha alarga para 29,0 Hz, tal como uma janela mais curta deve fazer. Duplique para 280 ms e esta alarga também, para 30,8 Hz. Uma janela mais longa possui um lobo principal mais estreito, mas a altura move-se enquanto esta escuta: em 280 ms o glissando cobre 61,6 Hz, e a janela esbate toda essa extensão numa única linha. Os dois esbatimentos puxam em sentidos opostos, e para este glissando a linha é mais estreita perto dos 140 ms. Um acorde mantido não possui tal comprimento ideal: para lá dos 72,0 ms todas as fatias de Hann se dividem, e uma janela mais longa apenas estreita os lobos. Na base de ambos encontra-se um limite sobre quão pequena a dispersão no tempo de uma janela multiplicada pela sua dispersão na frequência pode ser. É precisamente disto que trata a página sobre pacotes de ondas.

Problema resolvido na íntegra

A nota mais grave do piano 4 passos
O Lá mais grave de um piano é o Lá0, a 27,5 Hz. Qual o comprimento de uma janela de Hann que um espectrograma exige para revelar o Lá0 e o Lá♯0 como dois picos em todas as fatias, e como se compara com uma semicolcheia a 120 batidas por minuto? Que janela utiliza aí um analisador de Q constante como o de Judith Brown? Prima primeiro Trilo de baixo: a página fornece os valores para o Lá1, uma oitava acima.

Abrir este problema na ferramenta
1. O semitom acima do Lá0:
  
  $Δ f = 27.5 Hz \times (2^{1/12} - 1) = 27.5 \times 0.05946 = 1.635 Hz$
2. Uma janela de Hann requer 1,8845 batimentos. Uma oitava abaixo do Lá1 a diferença cai para metade, pelo que a janela duplica os 576,2 ms da página:
  
  $T = \frac{1 . 8845}{1 . 635 Hz} = 1.152 s = 2 \times 576.2 ms$
3. Em semicolcheias a 120 batidas por minuto, 125 ms cada:
  
  $\frac{1 , 152 ms}{125 ms} = 9.2$
4. As janelas de Q constante de Brown contêm Q = 34 ciclos da altura que analisam (com forma de Hamming, para uma resolução de um quarto de tom), pelo que o seu comprimento é Q/f:
  
  $T_{Q} = \frac{Q}{f} = \frac{34}{27 . 5 Hz} = 1.236 s; \frac{34}{440 Hz} = 77.3 ms$
Resposta

Cerca de 1,15 s, mais de nove semicolcheias. Com essa duração, uma janela abrange mais de nove notas de uma passagem rápida na oitava inferior do piano. A janela de Brown no Lá0, de 1,24 s, é ainda mais longa; no Lá4, os seus 77,3 ms ficam próximos dos 72,0 ms da página para a de Hann, a partir de um critério diferente.

$T \approx 1.15 s > 9 \times 125 ms$

Percurso de aprendizagem

A transformada de Fourier na prática

Referências (2)

How long a window must be to resolve two sinusoids Δf apart: M ≥ K fₛ/|f₂ − f₁|, “the window length M must span at least K periods of the difference frequency”, with K = 2 for the rectangular window and 4 for Hann, a sharper empirical K* of 1.44 and 2.36, and the summary that “the window must ‘see’ at least 1.5 cycles of the minimum difference frequency”: J. O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing, W3K Publishing (2011), “Resolving Sinusoids”, “Simple Sufficient Condition for Peak Resolution” and “Summary”.
The constant-Q transform, built because the DFT's fixed resolution does not suit musical pitch: “for the ratio of frequency to bandwidth to be a constant (constant Q), then the window size must vary inversely with frequency”, with Q = f/δf = f/0.029f = 34 for quarter-tone resolution and window length N[k] = (S/fₖ)Q samples (p. 427): J. C. Brown, “Calculation of a constant Q spectral transform”, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 425–434 (1991).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.