Misturador de Sinal do Ermo

Ajuste três amplitudes harmônicas e um controle de ruído para caçar um sinal fantasma escondido na estática do ermo.

Exemplo resolvido — Misturador de Sinal do Ermo

RMS	0.73
Pico	1.26
Clareza	83%
Erro	0.08
Ruído estático	18%
Frequência base	3x

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Qualquer onda irregular é uma pilha de ondas suaves 🖖

Qualquer onda periódica, por mais irregular que pareça, pode ser construída sobrepondo ondas senoidais em múltiplos inteiros de uma frequência base — uma fundamental mais seus harmônicos. A ideia de Fourier também funciona ao contrário: um sinal complexo, seja uma voz, uma transmissão de rádio ou a estática do ermo, pode ser decomposto de volta nesses mesmos componentes senoidais. A pontuação de clareza acima é, na verdade, o inverso do erro de reconstrução entre sua mistura e a onda fantasma escondida — o mesmo tipo de matemática que os filtros de um receptor de rádio real usam para eliminar ruído de um sinal, ou que um JPEG usa para comprimir uma imagem em um punhado de frequências dominantes.

Mesma altura, forma diferente 🖖

O controle de frequência base define a altura — com que frequência toda a onda se repete —, enquanto os três controles de amplitude apenas a remodelam. Como cada harmônico é um múltiplo inteiro exato da fundamental, empilhá-los enriquece o caráter da onda sem alterar seu ritmo de repetição. É por isso que uma flauta e um violino tocando a mesma nota soam inconfundivelmente diferentes e ainda partilham uma mesma altura: mesma fundamental, receita de harmônicos diferente. Para captar o sinal fantasma, você precisa encontrar ambos — altura e receita.

A altura que seu ouvido inventa 🖖

O sinal fantasma se apoia em sua fundamental na frequência 3, mas seu ouvido na verdade não precisa dela. Remova a fundamental e deixe apenas os harmônicos superiores: o cérebro ainda ouve aquela altura grave original, uma curiosidade chamada fundamental ausente. É por isso que um minúsculo alto-falante de celular, incapaz de mover ar suficiente para graves profundos, ainda o faz ouvi-los, reconstruindo a fundamental apenas a partir do espaçamento entre os harmônicos.

Problemas resolvidos na íntegra

O RMS de 0,73 a partir de y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x) 5 passos
A equação em tempo real indica y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x), e a caixa de estatísticas regista um valor RMS de 0,73. Deduza esse 0,73 apenas a partir das amplitudes — e observe o que nunca entra no cálculo.
1. RMS significa exatamente o que a sigla indica: elevar a onda ao quadrado, calcular a média ao longo de um ciclo completo e extrair a raiz. Elevar a soma ao quadrado deixa um quadrado por harmónica e um produto cruzado por par, pelo que toda a questão reside no que fazem os produtos cruzados.
  
  $y_{rms} = \overline{y^{2}}, \overline{f} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f d x$
2. Não fazem nada. sin(3x)·sin(6x) reescreve-se como metade de cos(3x) menos metade de cos(9x), e a média de um ciclo completo de cosseno é 0; o mesmo cancelamento ocorre para cada par. Na aritmética da própria ferramenta, o cancelamento é exato em vez de aproximado, porque esta soma 180 amostras ao longo de um período, e 3, 6 e 9 dividem todos 180.
  
  $\overline{sin m x sin n x} = 0 (m \neq = n), \overline{sin^{2} n x} = \frac{1}{2}$
3. Os 3 quadrados sobrevivem, e a média de cada um deles é 0,5. Assim, o quadrado médio é metade de 0,81 + 0,2025 + 0,0625. As potências somam-se; as amplitudes não.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}) = \frac{1}{2} (0.81 + 0.2025 + 0.0625)$
4. Metade de 1,075 é 0,5375, cuja raiz é 0,7331 — o 0,73 na caixa.
  
  $\overline{y^{2}} = 0.5375 ⟹ y_{rms} = 0.5375 = 0.7331 \to 0.73$
5. Reveja o que entrou no cálculo: 3 amplitudes e nada mais. Nenhuma fase, nenhuma frequência. A alavanca da frequência base varia de 1x a 8x e nenhuma dessas posições altera o RMS de 0,73. O pico é um caso diferente: |y| nunca pode exceder 0,90 + 0,45 + 0,25 = 1,60, mas o quão perto chega depende inteiramente de as 3 cristas coincidirem, pelo que o fator de crista aqui varia até 2,18, enquanto um seno isolado se fixa nos 1,414.
  
  $∣ y ∣ \leq A_{1} + A_{2} + A_{3} = 1.60, \frac{1.60}{0.7331} = 2.18 (2 = 1.414)$
Resposta

RMS de 0,73, a partir de 3 posições de alavanca e nada mais. Divida o 1,075 por termo e a fundamental detém 75,3% do total, a segunda harmónica 18,8%, a terceira 5,8% — pelo que 24,7% do que este transmissor radia situa-se acima da nota que lhe dá o nome. Essa razão tem um nome padrão, distorção harmónica total, √(A₂² + A₃²) / A₁ = 57,2%, e nenhuma caixa no painel a apresenta. O painel também não separa os 2 limites com que estas alavancas se confrontam. A potência média segue o RMS, que o passo 5 acabou de mostrar ser alheio à fase. A margem de pico segue o pico, que não é de todo alheio a esta: as mesmas 3 amplitudes limitam a onda a 1,60, e a posição exata em que se situa entre 0,73 e 1,60 é decidida unicamente pela fase. A leitura do RMS responde à questão da potência e nada diz sobre a outra.

$THD = \frac{A _{2}^{2} + A _{3}^{2}}{A _{1}} = \frac{0.265}{0.90} = 57.2%$
O menor desfasamento que as 3 alavancas de amplitude alcançam 5 passos
Este é o Inferno Estático: alavancas a 0,50, 0,60 e 0,40 com a frequência base a 5x, pelo que a onda transmitida é y = 0,50·sin(5x) + 0,60·sin(10x) + 0,40·sin(15x). O fantasma a ser caçado assenta em 3x, com harmónicas a 6x e 9x. Encontre o menor desajuste que as 3 alavancas de amplitude conseguem alcançar enquanto a frequência se mantém onde está.
1. Chame ao desajuste d = y − g e eleve-o ao quadrado. Calcular a média ao longo de um ciclo divide d² no seu quadrado médio, no do fantasma e num termo cruzado. Apenas o termo cruzado pode ser negativo, pelo que apenas o termo cruzado pode cancelar seja o que for.
  
  $d = y - g, \overline{d^{2}} = \overline{y^{2}} - 2 \overline{y g} + \overline{g^{2}}$
2. Aqui não pode. Cada produto no seu interior emparelha uma harmónica de {5, 10, 15} com uma de {3, 6, 9}; os conjuntos não partilham nenhum elemento; e a média do produto de senos a frequências de números inteiros diferentes ao longo do período é 0. O termo cruzado não é pequeno. É 0.
  
  ${5, 10, 15} \cap {3, 6, 9} = \emptyset ⟹ \overline{y g} = 0$
3. O que resta é uma soma de 2 partes não negativas, e as alavancas alcançam apenas a primeira. A sua é metade de 0,25 + 0,36 + 0,16, que é 0,385, e a sua raiz 0,6205 é o 0,62 que o painel apresenta como RMS.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (0.25 + 0.36 + 0.16) = 0.385 ⟹ y_{rms} = 0.6205 \to 0.62$
4. Portanto, o desajuste obedece a d_rms ≥ 0,62 independentemente do que o fantasma venha a ser — não precisa de saber nenhuma das suas amplitudes para afirmar isso. A caixa do Erro não apresentará 0,62, porque calcula a média da diferença absoluta em vez da quadrada; o limite refere-se a uma média diferente da mesma onda.
  
  $\overline{d^{2}} = 0.385 + \overline{g^{2}} \geq 0.385 ⟹ d_{rms} \geq 0.62$
5. A 5x, portanto, cada alavanca levantada piora o desajuste, e o mínimo situa-se com 0,50, 0,60 e 0,40 todas reduzidas a 0. A 3x, pelo contrário, os 2 conjuntos de harmónicas coincidem, a onda da diferença tem amplitudes A_i − G_i, e essas mesmas 3 alavancas podem levar o desajuste para exatamente 0.
  
  $f = 3 : \overline{d^{2}} = \frac{1}{2} i \sum (A_{i} - G_{i})^{2} A_{i} \to G_{i} 0$
Resposta

O melhor que estas alavancas podem fazer a 5x é desligarem-se: transmitir nada é melhor do que transmitir isto. Isso torna o controlo de frequência num portão, não num ajuste. 3 seletores deslizantes contínuos valem precisamente nada até que 1 número inteiro esteja correto, e nenhum cuidado com eles compra uma fração do bloqueio — o que é uma regra mais severa do que um jogo de sintonização normalmente implica. Também dá à caixa do RMS uma segunda função. Em condições normais, informa o quão forte é o seu sinal; com a frequência base errada, é o limite inferior do quão errado está, porque toda a sua potência cai no erro em vez de cancelar qualquer parte da do fantasma. A ortogonalidade é o que torna o portão absoluto: 2 ondas construídas sobre conjuntos disjuntos de harmónicas de números inteiros não se podem cancelar mutuamente nem ligeiramente, por mais que as escale.

$A_{1}, A_{2}, A_{3} min \overline{d^{2}} = \overline{g^{2}}_{A_{1} = A_{2} = A_{3} = 0}$

Referências (2)

The decomposition the clarity score is built on: J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris, 1822.
The same transform as used in image compression: N. Ahmed, T. Natarajan and K. R. Rao, "Discrete Cosine Transform." IEEE Transactions on Computers C-23(1), 90–93, 1974.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

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Problemas de exemplo

Sinal puro - Fundamental pura: y = sin(3x) — harmônico único, ruído zero
Doof Warrior - Mistura de três harmônicos com freq=3 e ruído moderado — transmissão padrão do deserto
Inferno estático - Ruído alto com freq=5 — a clareza despenca abaixo de 10%
Correspondência fantasma - Mistura quase no alvo — faça ajustes finos para travar no sinal fantasma