A Média Móvel como Filtro

Uma série diária, uma média de M dias consecutivos, e o efeito dessa média em cada ciclo que a série possa conter. Explore primeiro os registos reais. Depois, altere M num dia e observe o padrão semanal regressar.

Exemplo resolvido — A Média Móvel como Filtro

Ganho no ciclo semanal (1/7)	0,0000
Variação semanal na série	70,5 pts
Variação semanal na média	0,8 pts
Ciclo com potência a metade	15,66 dias
Atraso de cada média	0,0 dias
Últimos dias sem média	3
Média mais alta, e onde	25.851 por dia, 21 de dez. de 2020

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

Uma média móvel de M pontos substitui cada valor de uma série pela média de M valores consecutivos. Trata-se de uma convolução com uma caixa de M pesos 1/M. Pelo teorema da convolução, o seu efeito num ciclo de f ciclos por amostra corresponde a uma multiplicação pela transformada de Fourier da caixa, o ganho H(f) = sin(πfM)/(M sin πf). H é zero em f = 1/M, 2/M, …, negativo entre o primeiro e o segundo zeros. Apresenta-se real quando cada média é colocada no centro da sua janela. Colocados no final da janela, os mesmos valores comportam um atraso de (M − 1)/2 amostras.

O que significa cada símbolo

M: o número de dias em cada média
f: a frequência de um ciclo, em ciclos por dia, de 0 a ½
H(f): o ganho: o fator pelo qual a média multiplica um ciclo de frequência f; um valor negativo significa inversão

Pressupõe: Um valor por dia, sem falhas, para que a janela abranja sempre M dias de calendário. O cancelamento exige que os próprios valores registados se repitam a cada 7 dias. Um atraso de notificação constante preserva o caráter semanal e não altera nada. Contudo, um dia em falta, um feriado ou um atraso que varie de semana para semana quebram esse padrão.

Uma média de 7 dias elimina o ciclo semanal, qualquer que seja a sua forma 🖖

Prima Alemanha, 7 dias. Estes registos abrandam no início de cada semana e acumulam-se mais tarde. As segundas-feiras representam, em média, 60,1% da semana ao seu redor, e as quintas-feiras 130,7%. Na média de 7 dias, a variação semanal é de 0,8 pontos. Cada janela de sete dias consecutivos contém exatamente uma segunda-feira, uma terça-feira e assim sucessivamente até domingo. Por isso, qualquer padrão de repetição semanal soma a mesma quantidade a cada janela, independentemente da sua forma. No gráfico inferior, o ganho sin(7πf)/(7 sin πf) é exatamente zero em 1/7, 2/7 e 3/7 de ciclos por dia, correspondendo ao ciclo semanal e aos dois únicos harmónicos que uma série de valores diários consegue comportar. Esse 0,8 não é um zero absoluto porque o padrão real não se repete com exatidão. Prima Apenas o padrão semanal e verá 0,0. Os feriados interrompem logo a repetição. O dia de Natal regista 0 e o dia seguinte 39.988, o valor mais alto de toda a série. A 22 de dezembro a média centrada cai assim para 21.025, pois a sua janela termina nesse zero. Um dia depois, já com os 39.988 incluídos, volta aos 22.266. Altere agora o valor de M num dia. Oito dias contêm um dia da semana em duplicado e conservam uma oitava parte da variação, ou seja, 8,8 pontos em 70,7 na semana sintética. Seis dias deixam de fora um dia da semana e retêm uma sexta parte, 11,8. Catorze e vinte e um eliminam-no novamente. Uma média atrasada apresenta os mesmos números num dia posterior, eliminando o ciclo semanal com idêntica eficácia.

Algumas ondas emergem da média invertidas 🖖

Prima Uma onda de 5 dias: um cosseno com um período de 5 dias, submetido à mesma média de 7 dias. Supõe-se que a suavização reduz uma oscilação rápida. O fantasma a tracejado representa essa expectativa, exibindo a onda menor mas direita. Contudo, a média emerge a −0,2311 da onda original: menor e invertida, com os seus picos a coincidirem com os vales da entrada. O motivo cabe dentro de uma janela. Quaisquer cinco dias consecutivos abrangem um ciclo completo, cuja soma é zero. Assim, uma janela de 7 dias fica apenas com os seus dois dias extremos, a 3 dias de cada lado do centro. Três dias equivalem a seis décimos de um ciclo. Os dois dias tão afastados de qualquer ponto somam 2 cos(6π/5) = −1,618 vezes o valor da onda nesse local. Ao dividirmos por 7, obtemos −0,2311. No gráfico inferior, o ganho é negativo para todos os períodos entre 3,5 e 7 dias, atingindo o seu ponto mais baixo a −0,2330 perto dos 4,86 dias, para se tornar novamente positivo entre 2,33 e 3,5. Prima Um dia sim, um dia não: a oscilação mais rápida que uma série diária suporta atravessa o filtro a −0,1429, uma sétima parte do seu tamanho. O manual de DSP de Steven W. Smith classifica a média móvel como "um filtro de suavização excecionalmente bom" e "um filtro passa-baixo excecionalmente mau" numa só frase. Estes lobos explicam porquê.

Uma média atrasada é a média centrada, com três dias de atraso 🖖

Prima Atrasada, nos painéis. Um painel de controlo não pode calcular a média de dias que ainda não aconteceram. Por isso, coloca cada média de 7 dias no último dia da sua janela. Trata-se dos mesmos sete números e da mesma média, registada 3 dias após o meio da janela. A linha a tracejado mostra a média centrada e a linha contínua corresponde a essa curva deslizada para a direita. A média de 7 dias mais elevada nestes registos, 25.851 por dia, pertence à semana de 18 a 24 de dezembro. Estando centrada, recai sobre 21 de dezembro. Atrasada, recai sobre o dia 24. Nenhuma destas posições é perfeita. A média centrada é pontual, mas para 3 dias antes dos dados, pois as suas últimas janelas ainda não estão completas. A média atrasada chega ao dia de hoje, descrevendo uma semana cujo centro ocorreu há 3 dias. Numa tendência linear, acumula um atraso exato de 3 dias de mudança. O ganho mantém-se intocado, pelo que o ciclo semanal continua a desaparecer. Apenas a marcação temporal se altera, refletindo os mesmos 3 dias em todas as frequências. Numa janela de M dias, o atraso é de (M − 1)/2 dias. Logo, uma média atrasada de 14 dias regista um atraso de 6,5 dias.

Calcular a média da média 4 passos
Uma média de 7 dias inverte uma oscilação de 5 dias. Um colega sugere calcular a média de 7 dias sobre a própria média de 7 dias. O que acontece agora à onda de 5 dias e ao ciclo semanal? Qual é o custo desta segunda passagem? Prima primeiro Uma onda de 5 dias: a página fornece o ganho de uma passagem.

Abrir este problema na ferramenta
1. Uma passagem, segundo a página:
  
  $H (\frac{1}{5}) = \frac{sin ( 7 π /5 )}{7 sin ( π /5 )} = - 0.2311$
2. Uma segunda passagem multiplica a onda novamente pelo mesmo ganho. Um negativo vezes um negativo resulta num positivo:
  
  $H_{7 \times 7} (\frac{1}{5}) = H (\frac{1}{5})^{2} = (- 0.2311)^{2} = 0.0534$
3. As duas passagens em conjunto representam uma média sobre 13 dias com pesos triangulares, equivalendo à caixa convoluída consigo mesma:
  
  $z_{t} = \frac{1}{49} (x_{t - 6} + 2 x_{t - 5} + \dots + 7 x_{t} + \dots + 2 x_{t + 5} + x_{t + 6})$
4. O seu ponto de meia potência afasta-se, passando de H² = ½ para uma passagem, para H⁴ = ½ para duas:
  
  $H (f)^{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{f} = 21.74 d (H (f)^{2} = \frac{1}{2} : 15.66 d)$
Resposta

A onda de 5 dias surge direita, a 0,0534 do seu tamanho. O ciclo semanal continua a ser eliminado, uma vez que 0 × 0 = 0. O preço a pagar é um suavizador que também atenua ciclos mais lentos. O período cuja potência é reduzida a metade passa de 15,66 para 21,74 dias. Adicionalmente, uma versão centrada exige 6 dias de cada lado em vez de 3, pelo que o cálculo para 6 dias antes de os dados terminarem. Hyndman e Athanasopoulos chamam a isto uma média móvel de uma média móvel, uma 3×3-MA no exemplo deles. Neste caso, trata-se de uma 7×7-MA.

$H_{7 \times 7} (\frac{1}{5}) = 0.0534 > 0, H_{7 \times 7} (\frac{1}{7}) = 0 \times 0 = 0$

Percurso de aprendizagem

Referências (3)

The source of the page's real series: the daily difference of Germany's cumulative confirmed cases in the JHU CSSE COVID-19 Data Repository, licensed CC BY 4.0, with the dashboard paper its terms of use ask users to cite: COVID-19 Data Repository by the Center for Systems Science and Engineering (CSSE) at Johns Hopkins University, time_series_covid19_confirmed_global.csv (archived 10 March 2023). E. Dong, H. Du and L. Gardner, An interactive web-based dashboard to track COVID-19 in real time. The Lancet Infectious Diseases 20(5), 533–534 (2020). doi:10.1016/S1473-3099(20)30120-1
The moving average as a convolution with a rectangular pulse, the centred and one-sided forms, and its frequency response H[f] = sin(πfM)/(M sin πf) (equation 15-2), with the verdict the second insight quotes: "an exceptionally good smoothing filter", "an exceptionally bad low-pass filter": S. W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing (online edition, © 1997–2011). Chapter 15, Moving Average Filters.
The m-MA of a time series, why symmetric moving averages have odd order, the 2×m-MA for an even seasonal period, the statement that "a 7-MA can be used to estimate the trend-cycle of daily data with a weekly seasonality" while other orders leave the estimate contaminated by the seasonality, and moving averages of moving averages (the 3×3-MA), which the worked problem extends to 7×7: R. J. Hyndman and G. Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, 3rd edition. OTexts, Melbourne, 2021. Section 3.3, Moving averages.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

A Média Móvel como Filtro

A teoria — A Média Móvel como Filtro

O que significa cada símbolo

Uma média de 7 dias elimina o ciclo semanal, qualquer que seja a sua forma 🖖

Algumas ondas emergem da média invertidas 🖖

Uma média atrasada é a média centrada, com três dias de atraso 🖖

Problema resolvido na íntegra

A transformada de Fourier na prática