Playground de convolução e mapas de características

veja quais padrões visuais sobrevivem a cada escolha de núcleo

Valores iniciais — Playground de convolução e mapas de características

Imagem de entrada	traços tipo dígitos
Núcleo	sobel-x
Stride	1

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

Sem preenchimento, uma rede profunda encolhe a imagem até o nada 🖖

Um núcleo 3×3 sem preenchimento, com passo 1, retira um píxel a cada borda; por isso, a entrada 28×28 desta ferramenta produz uma saída 26×26. Parece inofensivo até se sobreporem camadas: dez reduzem a imagem a 8×8 e, depois de catorze, já não resta nada. É precisamente para evitar isso que existe o preenchimento "same": acrescentar uma borda de um píxel repõe as dimensões da entrada na saída e permite construir uma rede tão profunda quanto se queira. O passo atua no sentido oposto e o efeito acumula-se por divisão, não por subtração: uma desfocagem com passo 2 transforma 28×28 em 14×14 numa só camada. As duas definições desta ferramenta estão longe de ser meramente cosméticas: determinam quantas camadas a arquitetura comporta antes de a imagem desaparecer.

Uma janelinha que desliza 🖖

Uma convolução desliza uma pequena grade de números, o kernel, sobre a imagem. Em cada parada, multiplica os valores sobrepostos e os soma em um único pixel de saída. O resultado é um mapa de características que se ilumina onde o padrão do kernel aparece. Experimente aqui o kernel de detecção de bordas: regiões planas escurecem e as fronteiras se acendem, porque o kernel responde à mudança, não ao brilho em si.

Não é bem uma convolução 🖖

A operação que quase toda CNN chama de "convolução" é na verdade uma correlação cruzada. A convolução matemática verdadeira primeiro inverte o kernel de cima para baixo e da esquerda para a direita antes de deslizá-lo; as bibliotecas de aprendizado profundo pulam essa inversão. Como a rede aprende os pesos de qualquer forma, um kernel invertido seria simplesmente aprendido ao contrário e daria um resultado idêntico, e por isso o nome errado pegou. Com um kernel simétrico como o de desfoque, as duas são indistinguíveis.

Intuição errada comum

Um mapa de características mais profundo nem sempre é "melhor". Um stride alto ou núcleos agressivos podem remover informações de que as camadas posteriores precisavam.

Problema resolvido na íntegra

Tamanho do mapa de saída para um mapa de entrada 28×28 e kernel sobel-x 3×3 6 passos
A camada: um mapa de entrada de 28×28, um núcleo sobel-x de 3×3, passo 1, preenchimento mesmo. Calcule o tamanho do mapa de saída e o custo de uma passagem em multiplicações-adições — depois determine quantas camadas destas têm de ser empilhadas antes que um único píxel de saída dependa de todos os píxeis da imagem.
1. O preenchimento fixa o tamanho, por isso resolva-o primeiro. O preenchimento mesmo coloca uma borda de zeros de um píxel em redor do mapa, o que é exatamente o suficiente para uma janela de 3×3 ficar centrada num píxel do canto em vez de ficar pendurada fora da extremidade. A borda de que um núcleo precisa é metade da sua dimensão, sem contar com o centro.
  
  $P = \frac{K _{s} - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$
2. Deslize a janela ao longo de uma linha. A sua extremidade esquerda começa em 0 e avança segundo o passo até que a sua extremidade direita alcance o fim da linha com preenchimento, pelo que contar os píxeis de saída é uma contagem de postes de vedação: o número de avanços, mais 1 para a posição inicial. Ao passo 1, a borda devolve exatamente as 2 colunas que o núcleo retira, razão pela qual recebe o nome de mesmo.
  
  $N_{o u t} = ⌊ \frac{N _{in} + 2 P - K _{s}}{S} ⌋ + 1 = ⌊ \frac{28 + 2 - 3}{1} ⌋ + 1 = 28$
3. Cada um dos 784 píxeis de saída é uma soma ponderada de 9 valores de entrada. Some os pesos de sobel-x e eles anulam-se para 0, de modo que qualquer janela cujas 9 entradas sejam todas iguais devolve exatamente 0 — independentemente do brilho dessa região. O mapa fica escuro onde quer que a imagem seja uniforme e responde apenas onde a coluna esquerda da janela difere da direita.
  
  $y = i, j \sum w_{ij} x_{ij}, i, j \sum w_{ij} = (- 1 + 0 + 1) + (- 2 + 0 + 2) + (- 1 + 0 + 1) = 0$
4. A conta aritmética resulta daqui: 9 multiplicações-acumulações por píxel de saída, um píxel de saída por posição da janela. O painel apresenta essa contagem.
  
  $MACs = N_{o u t}^{2} \times K_{s}^{2} = 2 8^{2} \times 9 = 7056$
5. A profundidade é a parte interessante. Após uma camada, um píxel de saída vê 3 píxeis de entrada de largura. Adicione uma segunda e cada um desses 3 era ele próprio uma janela de 3 — mas as janelas vizinhas sobrepõem-se em 2, pelo que o alcance atinge 5, não 9. Cada camada adicional 3×3 de passo 1 alarga-o em exatamente 2.
  
  $r_{1} = 3, r_{L} = r_{L - 1} + 2 ⟹ r_{L} = 2 L + 1$
6. Defina o alcance para cobrir todas as 28 colunas e determine a profundidade. 13 camadas atingem 27 e ficam a faltar uma coluna; a 14.ª é a primeira cujos píxeis de saída podem ser influenciados pela imagem inteira.
  
  $2 L + 1 \geq 28 ⟹ L \geq 13.5 ⟹ L = 14, r_{14} = 29$
Resposta

Saída de 28×28, 7056 multiplicações-adições por camada, e 14 camadas antes que um píxel veja a imagem inteira. Agora calcule o custo desse alcance. As 14 camadas empilhadas gastam 14 × 9 = 126 multiplicações-acumulações por píxel de saída. Uma única camada que alcance a mesma distância necessita de um núcleo de 29×29, a 841 por píxel de saída — 6,7 vezes mais aritmética para exatamente o mesmo campo de visão. A profundidade compra alcance de forma muito mais barata do que a largura, razão pela qual as redes de visão são pilhas longas de núcleos de 3×3 em vez de pilhas curtas de núcleos grandes.

$\frac{2 9 ^{2}}{14 \times 3 ^{2}} = \frac{841}{126} = 6.7$

Referências (1)

Insight block 3 — the operation called convolution is cross-correlation: I. Goodfellow, Y. Bengio and A. Courville, Deep Learning, ch. 9. MIT Press, 2016. ISBN 978-0-262-03561-3 — "many machine learning libraries implement cross-correlation but call it convolution".

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-18

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Problemas de exemplo

dígito sobel-x - A soma dos coeficientes de Sobel-x é zero, portanto qualquer região uniforme fica preta e só se conserva a variação vertical. O preenchimento "same", com passo 1, mantém a saída em 28x28.
bordas de formas - A soma dos coeficientes do núcleo de deteção de contornos também é zero: 8 no centro e oito valores -1. Assim, as regiões uniformes desaparecem e restam apenas as fronteiras. A saída mantém-se em 28x28.
desfoque + stride 2 - É a única predefinição que reduz por divisão: o passo 2 transforma 28x28 em 14x14, ou seja, num quarto dos píxeis. A soma dos coeficientes da desfocagem é 1, por isso o brilho conserva-se mesmo quando se perde o detalhe.
nitidez valid - É a única predefinição que reduz por subtração: o preenchimento "valid" transforma 28x28 em 26x26, retirando um píxel a cada borda. A soma dos coeficientes do realce é 1, pelo que as regiões uniformes mantêm o seu nível e os contornos ficam mais vincados.