Princípio da incerteza e pacotes de ondas

Escolha a forma e a largura do pacote. A página mostra, lado a lado, o pacote e a distribuição dos números de onda que o compõem, e calcula Δx·Δk. Indique uma partícula e um intervalo de tempo para saber quanto o pacote se alargou depois de libertado.

Exemplo resolvido — Princípio da incerteza e pacotes de ondas

Dispersão do número de onda	0,5000 nm⁻¹
Produto das duas dispersões	0,5000
Dispersão do momento linear	5,273×10⁻²⁶ kg·m/s
Dispersão da velocidade	5,788×10⁴ m/s
Tempo para duplicar a largura	29,92 fs
Largura 100,0 fs após a libertação	5,874 nm

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Princípio da incerteza e pacotes de ondas

Um pacote de ondas é uma soma de ondas planas e^ikx, cujas amplitudes φ(k) se distribuem por um intervalo de números de onda e se combinam numa onda confinada a uma região. As larguras Δx e Δk são os desvios padrão de |ψ(x)|² e |φ(k)|². Para qualquer soma deste tipo, Δx·Δk ≥ ½, com igualdade apenas no caso gaussiano. Numa onda de matéria, o momento linear é p = ħk; a mesma desigualdade torna-se, portanto, o princípio da incerteza de Heisenberg: Δx·Δp ≥ ħ/2.

O que significa cada símbolo

Δx: o desvio padrão da posição, obtido de |ψ(x)|²
Δk: o desvio padrão do número de onda, obtido do espetro |φ(k)|²
Δp: o desvio padrão do momento linear, ħΔk
ħ: a constante de Planck reduzida, h/2π = 1,055×10⁻³⁴ J s
t₂: o tempo que um pacote livre demora a duplicar o seu Δx

Pressupõe: Uma partícula livre numa dimensão, sem qualquer força a atuar após a libertação, e um pacote real e simétrico no instante em que é libertado. Assim, a sua velocidade média é nula e nenhuma das partes começa adiantada em relação às restantes. Adota-se a energia não relativista, E = p²/2m. As larguras são desvios padrão, daí o limite ½; se forem medidas como larguras a meia altura, o produto da gaussiana passa a ser 4 ln 2 ≈ 2,77.
Falha quando: Se a fase variar ao longo do pacote, como num pacote com modulação de frequência, |ψ(x)|² mantém-se, mas o espetro é mais largo e o produto fica acima do limite. Caso as componentes mais rápidas comecem atrás, o pacote estreita antes de se alargar. Uma força altera por completo esta evolução: num poço harmónico, uma gaussiana com a largura adequada, correspondente ao estado fundamental do oscilador, conserva indefinidamente essa largura. Na prática, nenhum grão de pó permanece isolado durante tempo suficiente para se alargar. As colisões com moléculas do ar e os fotões térmicos registam a sua posição muito antes de a largura poder duplicar. É este o domínio da decoerência.

Só a gaussiana atinge ½; uma caixa nem sequer se aproxima 🖖

Todos os pacotes aqui são somas de ondas planas, e Δx·Δk ≥ ½ é uma afirmação sobre essas somas: vale para o som e para a luz antes de dizer seja o que for sobre eletrões. Observe a tabela com cinco formas, todas com o mesmo Δx. A gaussiana dá 0,5000. O triângulo dá 0,5477; o arco de cosseno, 0,5679; a exponencial, cuja amplitude em k é uma lorentziana, 0,7071. A caixa, que parece a mais confinada das cinco, dá infinito. As suas bordas são degraus, e um degrau exige ondas de todos os números de onda. É por isso que uma <a href="/math/fourier-series">série de Fourier</a> de uma onda quadrada nunca fica sem harmónicas. O seu espectro decai apenas como 1/k², e o integral que define Δk não converge. Prima Caixa: o espectro conserva uma ondulação de lobos laterais até às duas extremidades do gráfico e para além delas, muito depois de o da gaussiana ter chegado a zero. A igualdade verifica-se apenas para a gaussiana, como garante um teorema, não por uma particularidade destas cinco formas. Multiplicando por ħ, pois p = ħk para uma onda de matéria, obtém-se a relação de incerteza de Heisenberg, Δx·Δp ≥ ħ/2.

Um eletrão confinado a 1 nm duplica a largura em 29,92 femtossegundos 🖖

Quando um pacote é libertado, as ondas que o compõem afastam-se umas das outras, cada qual com o seu momento linear ħk. A dispersão da velocidade é Δv = ħΔk/m, a largura cresce como √(Δx² + (Δv t)²) e duplica quando Δv t = √3 Δx. Para uma gaussiana, esse tempo é 2√3 mΔx²/ħ: é proporcional à massa e ao quadrado da largura inicial. Prima Eletrão, 1 nm: 29,92 fs. Depois, Eletrão, 0,1 nm: dez vezes mais estreito e cem vezes mais rápido, 0,2992 fs. Experimente agora Grão de pó. Um micrograma confinado a um micrómetro duplica a largura em 1,041×10⁶ anos e, um ano após a libertação, esta continua a ser 1,000 µm, com quatro algarismos significativos. O grão também se alarga. Tem uma massa 10²¹ vezes superior à do eletrão e começa com uma largura mil vezes maior; ambos os fatores multiplicam o tempo de duplicação.

Comprima-o dez vezes mais e acabará quase dez vezes mais largo 🖖

Uma largura inicial menor implica uma maior dispersão das velocidades; com tempo suficiente, é esta dispersão que prevalece. Prima Eletrão, 1 nm e consulte a linha da largura nos resultados: 100 fs após a libertação, o pacote tem 5,874 nm de largura. Prima Eletrão, 0,1 nm. Começou dez vezes mais estreito e tem agora 57,88 nm. Para qualquer tempo t existe uma largura inicial ótima, √(ħt/2m). Para 100 fs, essa largura é 2,406 nm, e o pacote termina com √2 vezes esse valor, 3,402 nm. Se começar mais estreito ou mais largo, terá uma largura maior ao fim de 100 fs. A sequência de larguras iniciais mostra o ponto de viragem. No gráfico do alargamento, a linha roxa, correspondente a um início dez vezes mais estreito, cruza a azul nos primeiros femtossegundos e permanece acima dela. Confinar mais um eletrão agora torna a sua posição futura menos definida.

Problema resolvido na íntegra

Porque tem um átomo o tamanho que tem 5 passos
Um eletrão permanece junto de um protão devido à atração entre ambos. Se o princípio da incerteza determinar o seu menor momento linear, qual será o tamanho do átomo e com que energia estará o eletrão ligado? Prima Eletrão, 0,1 nm para o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Confinado a Δx = 0,1 nm, o menor desvio do momento linear permitido pelo limite é ħ/2Δx, valor que a página apresenta para a gaussiana:
  
  $Δ p = \frac{ℏ}{2 Δ x} = \frac{1 . 0546 \times 1 0 ^{- 34} J s}{2 \times 1 0 ^{- 10} m} = 5.273 \times 1 0^{- 25} kg m/s$
2. Só este desvio já corresponde à energia cinética:
  
  $E_{k} = \frac{Δ p ^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 5 . 273 \times 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \times 9 . 109 \times 1 0 ^{- 31} kg} = 1.526 \times 1 0^{- 19} J = 0.9525 eV$
3. Designe agora o confinamento por r, aproxime o momento linear por ħ/r e acrescente a atração exercida pelo protão. A energia total é
  
  $E (r) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$
4. A energia é mínima quando a sua derivada se anula:
  
  $\frac{d E}{d r} = - \frac{ℏ ^{2}}{m _{e} r ^{3}} + \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} = 0 \Rightarrow r = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} = 5.292 \times 1 0^{- 11} m$
5. e a energia mínima é
  
  $E (r) = - \frac{m _{e} e ^{4}}{2 ( 4 π ε _{0} ) ^{2} ℏ ^{2}} = - 2.180 \times 1 0^{- 18} J = - 13.61 eV$
Resposta

A estimativa coloca o eletrão a 0,05292 nm do protão, ligado por 13,61 eV: obtêm-se o raio de Bohr e, com um erro inferior a 0,1%, a energia de ionização do hidrogénio. Parte desta concordância é fortuita, pois p ≈ ħ/r é uma escolha; com ħ/2r, o raio seria quatro vezes menor. Mas não é por acaso que o átomo tem um tamanho. Aproximar mais o eletrão aumenta a sua energia cinética como 1/r², enquanto o ganho devido à atração cresce apenas como 1/r. Abaixo de certo raio, comprimir custa mais energia do que permite ganhar. Um eletrão clássico não teria esse limite e cairia sobre o protão.

$r = 0.05292 nm = a_{0}, E = - 13.61 eV (hydrogen: - 13.598 eV)$

Percurso de aprendizagem

Mecânica quântica: a matéria como onda

Referências (3)

A packet built from plane waves, how its width grows once released, σ²(t) = Δx² + α²t²/(4Δx²) with α = ħ/m, and Δx·Δk ≳ ½ from the same analysis: R. Fitzpatrick, "Evolution of Wave Packets" and "Heisenberg's Uncertainty Principle", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The mathematics of the inequality: Heisenberg's Δx·Δk ≥ ½ for any square-integrable function, with equality only for Gaussians, and its many variants: G. B. Folland and A. Sitaram, "The uncertainty principle: A mathematical survey", Journal of Fourier Analysis and Applications 3, 207–238 (1997).
The constants, ħ = h/2π, the electron and proton masses and ε₀, and the Bohr radius the worked problem lands on: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.