Efeito túnel quântico

Escolha uma partícula, a sua energia E e a altura U e a largura a da barreira que encontra. A página resolve exatamente a equação de Schrödinger à frente da barreira, no seu interior e para lá dela, representa a onda e apresenta a fração transmitida ao lado da estimativa para barreiras espessas, 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

Exemplo resolvido — Efeito túnel quântico

Número de onda fora da barreira	3,623 nm⁻¹
Comprimento de onda fora da barreira	1,734 nm
Constante de decaimento na barreira	3,623 nm⁻¹
Largura da barreira em unidades de 1/κ	1,811
Transmissão exata	10,14%
Estimativa para barreira espessa	10,68%
Fator de redução de T por mais 0,1 nm	2,009×
O mesmo fator pela estimativa	2,064×

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Efeito túnel quântico

O efeito de túnel quântico consiste na passagem de uma partícula por uma região onde a sua energia E é inferior à energia potencial U, algo proibido pela mecânica clássica. No interior dessa barreira, a função de onda não oscila. É uma combinação de e^−κx e e^+κx; numa barreira espessa, a componente decrescente representa quase toda a função, com κ = √(2m(U − E))/ħ, e a amplitude que resta do outro lado prossegue como uma onda progressiva. O coeficiente de transmissão T é a fração da corrente de probabilidade incidente que atravessa a barreira. Para uma barreira retangular, tem uma expressão exata e fechada; quando κa ultrapassa 2, difere menos de 4% de 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

O que significa cada símbolo

E: a energia cinética da partícula fora da barreira
U: a altura da barreira: a energia potencial da partícula no seu interior
a: a largura da barreira
κ: a constante de decaimento no interior da barreira; numa barreira espessa, |ψ|² diminui por um fator e ao longo de uma distância 1/(2κ)
T: o coeficiente de transmissão, isto é, a fração de partículas que atravessam a barreira; R = 1 − T corresponde às partículas refletidas

Pressupõe: Uma dimensão, uma barreira de lados verticais e topo plano e o mesmo potencial de ambos os lados. Considera-se uma partícula com uma energia bem definida, descrita por uma onda plana e não por um pacote de ondas, pelo que T é uma probabilidade por partícula. Desprezam-se os efeitos relativistas: as energias usadas aqui medem-se em eletrões-volt, muito abaixo dos 511 keV da energia de repouso do eletrão.
Falha quando: Uma barreira real tem lados inclinados. A lacuna de vácuo de um microscópio é rebaixada e arredondada pela carga-imagem que um eletrão induz em cada metal, enquanto a tensão aplicada inclina o topo. Se o campo for suficientemente intenso, a barreira torna-se triangular e os eletrões saem de um metal frio por efeito de túnel. Trata-se de emissão de campo, regida pela lei de Fowler–Nordheim e não pela expressão usada aqui. Para uma barreira suave, a aproximação WKB substitui κa pelo integral de κ(x) ao longo da barreira. Além disso, uma experiência envia um pacote de ondas com uma distribuição de energias. A transmissão é então calculada como média sobre essa distribuição, o que esbate as ressonâncias bem definidas acima do topo.

Acima de 0,4 nm, cada aumento de 0,1 nm na distância divide a corrente por 8,8 🖖

Prima Intervalo do STM. O eletrão está 4,5 eV abaixo do topo da barreira, um valor próximo da função de trabalho de um metal, e o intervalo mede 0,5 nm. Aumentá-lo em 0,1 nm faz T diminuir 8,789 vezes; a estimativa para uma barreira espessa, e^{2κ × 0,1 nm}, dá 8,790. A tabela abaixo dos resultados mostra o mesmo passo para todas as larguras a partir de 0,4 nm, com uma diferença inferior a 0,3%. Só os primeiros passos são menores: de 0,1 a 0,2 nm, o fator é 7,293, pois uma barreira tão fina ainda não é espessa em unidades de 1/κ. Gerd Binnig, Heinrich Rohrer e os seus colegas do laboratório de investigação da IBM em Zurique aproveitaram esta forte dependência para construir o microscópio de efeito túnel, apresentado em 1982. Se a corrente for mantida constante enquanto a ponta percorre a amostra, a altura da ponta tem de acompanhar a superfície. Além disso, um átomo recuado 0,2 nm, dois passos abaixo na tabela, conduz cerca de 77 vezes menos corrente. Quase toda a corrente passa, portanto, pelo único átomo no ápice. O fator 8,8 também não depende de E. Altere E e U em conjunto, mantendo U − E em 4,5 eV, e o fator permanece em 8,79, porque κ = √(2m(U − E))/ħ depende apenas da diferença.

Um protão atravessa a barreira cerca de 10⁶⁶ vezes menos 🖖

Prima Eletrão, 0,5 eV e depois Protão, 0,5 eV: a mesma energia, a mesma barreira de 1 eV, os mesmos 0,5 nm. O eletrão atravessa-a em 10,14% das vezes. O protão, 1 836 vezes mais pesado, tem uma probabilidade de transmissão de 1,535×10⁻⁶⁷. A massa entra em κ sob uma raiz quadrada, por isso o κa do protão é apenas √1 836 ≈ 42,85 vezes o do eletrão: 77,62 contra 1,811. Contudo, κa surge num expoente, e e^−2κa transforma um fator de 43 numa diferença de 66 ordens de grandeza. O muão, com 206,8 massas do eletrão, fica entre ambos, em 9,530×10⁻²³; a tabela abaixo contém os três valores. O efeito túnel não é uma propriedade geral dos objetos pequenos. Favorece partículas leves e barreiras finas: reduza a largura para 0,05 nm e o T do protão sobe para 7,252×10⁻⁷.

Acima do topo, 46% continua a ser refletido 🖖

Prima 1,2 eV sobre 1 eV. O eletrão tem mais 20% de energia do que a altura da barreira, pelo que, segundo a física clássica, a transporia sempre. A página dá T = 53,64%. A reflexão nasce nas extremidades. Em x = 0, o comprimento de onda muda bruscamente de 1,120 nm, no exterior, para um valor maior no interior. Qualquer mudança abrupta no meio de propagação de uma onda devolve parte dela, tal como o vidro reflete uma pequena fração da luz que nele entra. As reflexões nas extremidades dianteira e traseira interferem. Quando a barreira contém um número inteiro de meios comprimentos de onda, qa = nπ, anulam-se exatamente e T = 1. Isto acontece para E − U = n²h²/(8ma²), os níveis de energia de uma <a href="/phy/particle-in-a-box">partícula numa caixa</a> com a largura da barreira. Prima Nível da caixa: para uma barreira de 1 nm, E − U = 0,376 eV, o nível fundamental de um eletrão numa caixa de 1 nm, e T = 100,00%. O gráfico da energia assinala estes níveis com linhas tracejadas, e a curva toca em 1 em cada um deles.

Problema resolvido na íntegra

Que desnível mínimo consegue detetar um microscópio de efeito de túnel? 4 passos
A eletrónica de um microscópio de efeito de túnel mantém a corrente de túnel constante com uma precisão de 2%. O eletrão está 4,5 eV abaixo do topo de uma lacuna de 0,5 nm. A que variação da distância corresponde uma alteração de 2% na corrente? Prima Lacuna STM para ver o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. A página apresenta a constante de decaimento no interior da barreira, que é espessa quando a sua largura é medida em unidades de 1/κ:
  
  $κ = \frac{2 m _{e} \times 4 . 5 eV}{ℏ} = 10.87 n m^{- 1}, κa = 5.434$
2. Para esta espessura, T é o produto de e^−2κa por um fator que não depende de a. Como a corrente acompanha T, ln T diminui linearmente com a:
  
  $T \approx \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} e^{- 2 κa} \Rightarrow ln T = ln \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} - 2 κa$
3. Reduzir a distância em Δa aumenta a corrente em 2%, o que corresponde a um aumento de ln 1,02 em ln T:
  
  $Δ a = \frac{ln 1 . 02}{2 κ} = \frac{0 . 019803}{21 . 736 n m ^{- 1}} = 9.111 \times 1 0^{- 4} nm = 0.9111 pm$
4. Resolvendo a expressão exata para obter o mesmo fator de 1,02, em vez de usar a estimativa, chega-se ao mesmo resultado com quatro algarismos:
  
  $T (a + Δ a) = \frac{T ( a )}{1 . 02} (exact formula) \Rightarrow Δ a = 0.9111 pm$
Resposta

Uma variação de 0,9111 pm na distância altera a corrente em 2%: apenas a quinquagésima oitava parte do raio de Bohr, 52,92 pm, conseguida por uma eletrónica cuja única função é manter a corrente constante. A ponta não precisa de ser tão fina; basta que termine num átomo mais próximo da amostra do que os seus vizinhos, pois a corrente é determinada quase por completo pela distância desse átomo à superfície. É esta sensibilidade que permite a um microscópio de efeito de túnel acompanhar uma superfície com uma resolução vertical muito inferior à altura de um átomo.

$Δ a = 0.9111 pm \approx \frac{a _{0}}{58}, a_{0} = 52.92 pm$

Percurso de aprendizagem

Mecânica quântica: a matéria como onda

Referências (3)

The rectangular barrier solved exactly, with the reflection and transmission probabilities for E below the top in closed form, the same formula this page evaluates: R. Fitzpatrick, "Square Potential Barrier", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The first scanning tunnelling microscope, which turned the exponential dependence of the tunnelling current on the gap into a picture of a surface: G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber and E. Weibel, "Surface Studies by Scanning Tunneling Microscopy", Physical Review Letters 49, 57–61 (1982).
The constants: the Planck constant and the elementary charge, exact in the SI, and the electron, muon and proton masses: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.