Linhas Espectrais do Hidrogénio e a Fórmula de Rydberg

Escolha uma série e uma transição para observar onde o hidrogénio posiciona as suas linhas e quantas delas o seu olho consegue, de facto, alcançar.

Exemplo resolvido — Linhas Espectrais do Hidrogénio e a Fórmula de Rydberg

Comprimento de onda (vácuo)	656,47 nm
Energia do fotão	1,889 eV
Comprimento de onda no ar	656,29 nm
Banda	Visível
Limite da série (vácuo)	364,71 nm
Energia limite	3,400 eV
Linhas nesta janela (todas as séries)	7

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Linhas Espectrais do Hidrogénio e a Fórmula de Rydberg

O elétron do hidrogênio só pode ocupar determinadas energias, e um salto entre duas delas emite ou absorve um fóton que carrega exatamente a diferença: E = hc/λ. Uma série reúne todos os saltos que terminam no mesmo nível inferior — Lyman em n = 1, Balmer em n = 2, Paschen em n = 3 —, motivo pelo qual as raias surgem em famílias, aglomerando-se em direção a um limite em vez de se espalharem uniformemente.

O que significa cada símbolo

n₁: o nível inferior, aquele que dá nome à série
n₂: o nível superior do qual o elétron decai
R∞: a constante de Rydberg, o único número medido em toda a fórmula

Pressupõe: Um único elétron e um núcleo em repouso, razão pela qual a mesma fórmula exige uma correção para o deutério e uma constante diferente para o hélio. A página exibe separadamente um comprimento de onda no vácuo e outro no ar porque o ar reduz a velocidade da luz em cerca de uma parte em 3.700: uma raia catalogada a partir do solo e outra catalogada por um satélite são a mesma raia com números diferentes.

Dois números inteiros e uma constante dão-lhe todo o espectro 🖖

As quatro linhas brilhantes que um espectroscópio escolar extrai do hidrogénio correspondem a um eletrão que desce para n₁ = 2 a partir de n₂ = 3, 4, 5 e 6. No vácuo, situam-se em 656,47, 486,27, 434,17 e 410,29 nm: vermelho, ciano, azul e violeta. A constante de Rydberg define a escala e os dois números inteiros escolhem a linha. Não entra mais nada na equação. Um espectrógrafo terrestre regista 656,29 nm para a primeira linha, pois o índice de refração do ar encurta o comprimento de onda. A linha Comprimento de onda no ar apresenta igualmente esse valor.

Prima n₁ = 1 e não altere mais nada. Basta um inteiro diferente para a linha que estava a observar passar de 656,47 nm para 102,57 nm: trata-se do mesmo átomo e da mesma fórmula, mas não resta nada no visível. A linha Banda indica Ultravioleta para qualquer n₂ que possa selecionar. Baixe n₂ para 2 e obterá Lyman-alfa a 121,57 nm, a linha mais longa desta série, que fica, ainda assim, a 258 nm do violeta. A linha Comprimento de onda no ar permanece sempre em branco. Como o oxigénio molecular absorve toda a série de Lyman, não existe um comprimento de onda no ar para referir. Estas linhas são medidas acima da atmosfera.

Quantas linhas consegue ver é uma característica do seu olho 🖖

Cinco linhas, num limite de janela de 390 nm. Arraste esse limite para 380 e a linha de contagem passa a indicar 7. Desloque-o para 370, suba "Mostrar linhas até n₂ =" para 16 e o resultado será 14. Todas da série de Balmer. Não há mais nada no hidrogénio a cair nessa janela, pois Lyman termina aos 91,18 nm e nenhuma linha de Paschen é inferior a 820,59 nm.

As linhas acumulam-se junto ao limite de Balmer, aos 364,71 nm, e não existe uma última linha. Entre os 365 e os 750 nm, o hidrogénio concentra 68 linhas, o que requer um n₂ até 70. A ferramenta desenha no máximo 40, pelo que a contagem para nas 38. As restantes continuam lá, comprimidas no último nanómetro.

O limite da série é uma energia de ionização 🖖

Com a série de Balmer selecionada, a linha Energia limite indica 3,400 eV. Prima n₁ = 1 e o valor passa para 13,598 eV, que corresponde à energia de ionização do hidrogénio a partir do estado fundamental: o trabalho necessário para levar o eletrão de n = 1 até um estado livre. O limite da série é exatamente essa quantidade, lida como um fotão.

O fator entre eles é quatro, um valor exato e não medido. A energia limite é dada por hcR_H/n₁², pelo que passar de n₁ = 2 para n₁ = 1 multiplica o valor por 2². A linha apresenta três casas decimais e, se dividir o valor observado, obterá 3,9994. A exatidão reside na fórmula e não no arredondamento.

Para lá do limite não existem linhas. Observe a extremidade tracejada a âmbar na faixa enquanto sobe o n₂. As barras acumulam-se na sua direção, provenientes do lado dos comprimentos de onda mais longos, mas nunca a atravessam. Um fotão que transporte mais de 3,400 eV pode perfeitamente ser absorvido por um átomo que se encontre em n = 2. Contudo, em vez de promover o eletrão, acaba por ionizá-lo. O excedente transforma-se na energia cinética do eletrão livre, podendo assumir qualquer valor. É nesse ponto que o padrão de linhas discretas dá lugar a uma banda contínua.

Problema resolvido na íntegra

Uma linha e o fotão que vai um passo mais além 7 passos
Um espectro de hidrogénio obtido em laboratório exibe uma linha aos 486,13 nm, medida no ar. Identifique a transição. De seguida, determine se um fotão de 3,00 eV poderia ionizar um átomo de hidrogénio que já se encontrasse nesse mesmo nível inferior e indique o que faria um fotão de 4,00 eV em alternativa.

Abrir este problema na ferramenta
1. A fórmula de Rydberg contém dois números inteiros e já conhece um deles. Uma linha visível no hidrogénio significa que o eletrão aterrou em n₁ = 2, logo a única incógnita é o nível a partir do qual caiu.
  
  $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{1}^{2}} - \frac{1}{n _{2}^{2}}), n_{1} = 2$
2. Antes de inverter qualquer termo, é necessário considerar o meio. O valor de 486,13 nm foi medido no ar. Como o ar abranda a luz, a linha chega mais curta do que quando partiu. A fórmula está concebida para o vácuo. Se multiplicar pelo índice de refração, 1,0002763, obterá 486,266 nm. Caso ignore este passo, a aritmética abaixo devolverá 4,0018. Este valor não é um número inteiro, logo não representa uma transição.
  
  $λ = n_{air} λ^{'} = 1.0002763 \times 486.13 = 486.266 nm$
3. Agora, reorganize a equação. 1/λ = R_H(1/4 − 1/n₂²) passa a 1/n₂² = 0,25 − 1/(λR_H) e o comprimento de onda no vácuo devolve n₂ = 4,0000989.
  
  $\frac{1}{n _{2}^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{λ R _{H}} = 0.25 - \frac{1}{486.266 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.09677576 \times 1 0 ^{7}}$
4. O valor é 4 e a parte decimal merece um momento de reflexão, pois não é aquilo que parece. Não estamos perante uma limitação do modelo de Rydberg. Se inserir o valor não arredondado que a própria ferramenta prevê para o ar, 486,138 nm, nas mesmas três linhas de cálculo, o n₂ regressa como 4,0000000. O 0,0000989 decorre do arredondamento a duas casas decimais do valor inicial de 486,13 que lhe foi facultado. O modelo apresenta, de facto, o seu próprio limite intrínseco. Este surge na ordem de uma parte em 10⁵ e deve-se à estrutura fina e ao desvio de Lamb, fenómenos que o modelo desconhece. Contudo, essa margem não é visível a este nível de precisão.
  
  $n_{2} = 4.0000989 \Rightarrow n_{2} = 4 (λ^{'} = 486.138 \Rightarrow n_{2} = 4.0000000)$
5. Agora vejamos a energia. Calcular E = hc/λ com o comprimento de onda no vácuo dá 2,550 eV, valor com o qual a linha Energia do fotão concorda. Trata-se de um fotão desta linha. É aquilo que o átomo emite ao cair de n = 4 para n = 2, ou que absorve no percurso inverso. Não corresponde ao custo de remover o eletrão.
  
  $E = \frac{h c}{λ} = 2.550 eV$
6. A remoção do eletrão corresponde ao limite da série. Se fizer o n₂ tender para o infinito, o termo 1/n₂² desaparece e resta apenas hcR_H/n₁². Para n₁ = 2, este cálculo resulta em 3,400 eV, valor que surge expresso na linha Energia limite. Todas as linhas de Balmer transportam um valor inferior a esse limite, acumulando-se na sua direção sem nunca o alcançar.
  
  $E_{\infty} (n_{1} = 2) = \frac{h c R _{H}}{2 ^{2}} = 3.400 eV$
7. Portanto, o fotão de 3,00 eV falha o objetivo e fá-lo por 0,400 eV. O eletrão não tem nenhum estado de energia onde possa aterrar e também não dispõe de energia suficiente para se libertar. O átomo permanece exatamente como está e o fotão segue o seu caminho.
  
  $3.00 eV < 3.400 eV$
Resposta

A linha é n = 4 → 2, a segunda da série de Balmer. Trata-se da H-beta a 486,27 nm no vácuo e 486,14 nm no ar, transportando 2,550 eV. Um fotão de 3,00 eV não consegue causar ionização a partir de n = 2, pois esse processo custa 3,400 eV. Um fotão de 4,00 eV já consegue cumprir a tarefa. Os 0,600 eV que sobram transformam-se na energia cinética do eletrão libertado. É precisamente neste ponto que o espectro de linhas termina e começa um contínuo, uma vez que o excedente pode assumir qualquer valor.

$E_{kin} = 4.00 - 3.400 = 0.600 eV$

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.