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Alargamento de Linhas Espectrais

Defina uma temperatura, um elemento e uma velocidade de rotação para observar qual dos dois mecanismos alarga mais uma linha espectral.

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Lição

A teoria — Alargamento de Linhas Espectrais

Uma linha espectral não tem qualquer largura própria que valha a pena observar. A largura medida é, na verdade, a dispersão dos desvios de Doppler dos átomos que a originaram. O calor confere a cada átomo uma velocidade aleatória na nossa linha de visão. A rotação, por sua vez, imprime a um limbo inteiro da estrela uma velocidade na nossa direção e afasta o outro. Ambos os efeitos esbatem a mesma linha. O que nos chega é um perfil único. A largura total a meia altura desse mesmo perfil é o número que esta página calcula.

O que significa cada símbolo

FWHM
a largura da linha no ponto onde a sua profundidade é metade da do centro
v sin i
a velocidade de rotação que é efetivamente visível, que oculta o ângulo do eixo
Pressupõe
Uma dispersão maxwelliana das velocidades térmicas e uma estrela a rodar como um corpo sólido. Nenhuma das premissas é rigorosamente exata. Uma estrela real roda mais depressa no equador do que nos polos. As duas larguras abordadas somam-se aqui em quadratura só porque ambos os perfis se aproximam de uma gaussiana.
Falha quando
A alta densidade, situação em que nenhum dos mecanismos referidos nesta página dita as regras. As colisões com partículas vizinhas interrompem a emissão e alargam a linha num grau que depende da pressão. É desta forma que distinguimos uma anã branca de uma gigante à mesma temperatura, fenómeno que não é minimamente modelado aqui.

A linha do hidrogénio é 7,443 vezes mais larga do que a do ferro 🖖

Um gás a 6000 K, uma linha em H-α, dois elementos. A meia largura térmica 1/e do hidrogénio regista 2,1779 × 10⁻² nm; selecione Ferro e a mesma linha no mesmo gás passa a indicar 2,9261 × 10⁻³ nm. A linha da razão indica 7,443, e assim ficará: arraste a temperatura para qualquer ponto entre 1000 K e 50 000 K, deslize o comprimento de onda por toda a faixa visível, e ambas as curvas dilatam e contraem em uníssono enquanto esse único número permanece inalterado.

A temperatura entra como √T e o comprimento de onda entra como λ, e ambos multiplicam as duas larguras por igual, pelo que se cancelam na divisão. O que resta é √(55,845/1,008) = 7,443, a raiz quadrada da razão de massas e nada mais. Um átomo de ferro é 55 vezes mais pesado do que um átomo de hidrogénio e possui a mesma energia cinética a 6000 K, movendo-se ao longo da sua linha de visão 7,443 vezes mais devagar, causando um desvio Doppler no seu fotão 7,443 vezes menor.

A largura é um termómetro, e nada precisa de viajar até lá 🖖

A equação Δλ = λ·√(2kT/(A·u·c²)) contém uma única incógnita. As constantes são constantes, λ lê-se diretamente do espectro e A retira-se da tabela periódica. Resolver em ordem a T para uma largura de linha medida devolve a temperatura do gás que a emitiu, que é a direção em que a espectroscopia real opera.

Observe o fenómeno no controlo deslizante. A 6000 K a meia largura do hidrogénio regista 2,1779 × 10⁻² nm; arraste para 24 000 K e passará a 4,3559 × 10⁻² nm, exatamente o dobro, dado que a largura varia com √T. O valor obtido é a temperatura cinética dos átomos que criaram aquela linha, mas apenas enquanto o movimento térmico determinar a sua largura, o que nesta página implica o controlo de rotação no 0. A turbulência e a pressão também alargam uma linha, e um espectroscopista tem ambas em consideração antes de acreditar no número. Lida no sentido inverso, T varia com o quadrado da largura, pelo que uma largura medida com 1% de excesso reporta um gás 2% demasiado quente.

A rotação supera o calor a 9,95 km/s, o ferro a 1,34 km/s 🖖

Ambos os mecanismos esticam a linha de forma proporcional a λ: o movimento térmico por √(2kT/(A·u·c²)), a rotação por v·sin i / c. Igualando os dois o comprimento de onda desaparece, restando uma velocidade que depende apenas da temperatura e do número de massa. A 6000 K é de 9,95 km/s para o hidrogénio e de 1,34 km/s para o ferro. A componente térmica transporta o fator 1/√A, logo essa velocidade de cruzamento também o possui, e a do hidrogénio é √(55,845/1,008) = 7,443 vezes a do ferro. Trata-se do mesmo número que a razão de larguras, pelo mesmo motivo.

Selecione o ferro e suba gradualmente o controlo de rotação a partir do 0. Aos 2 km/s a rotação já dominou a linha do ferro; o hidrogénio resiste até aos 10. A 50 km/s a largura rotacional atinge 1,0946 × 10⁻¹ nm, cinco vezes a largura térmica do hidrogénio, e os dois perfis no gráfico sobrepõem-se quase por completo, pelo que agora ambos reportam a rotação da estrela e nenhum deles a sua temperatura. A ferramenta desenha a estrela vista de perfil, sin i = 1; uma estrela inclinada em direção ao polo mantém as suas larguras térmicas mas perde a rotacional.

Problema resolvido na íntegra

  1. Uma largura que pode medir, e uma temperatura que não pode 6 passos

    Uma estrela do tipo A a 9600 K roda suficientemente depressa para que v sin i = 150 km/s. Tome a sua linha H-gama, 434,05 nm no ar, e calcule a largura total à meia altura que iria medir. Depois faça o que um espectro o convida silenciosamente a fazer: interprete toda essa largura como movimento térmico e veja que temperatura é devolvida.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. O alargamento térmico começa com a velocidade de um único átomo ao longo da linha de visão. Um gás de Maxwell-Boltzmann confere à linha um perfil gaussiano de largura λ√(2kT/(Auc²)), e essa largura corresponde à meia largura 1/e. Não é o desvio padrão, que é menor num fator de √2, nem a FWHM, maior em 1,6651. A linha da tabela chama-se Meia largura térmica (1/e) para que não existam dúvidas sobre a qual nos referimos. Para o hidrogénio a 9600 K o radicando é 1,76211 × 10⁻⁹, a sua raiz quadrada 4,19775 × 10⁻⁵, e 434,05 nm vezes isso totaliza 1,8220 × 10⁻² nm.

    2. A rotação alarga a mesma linha através de um mecanismo totalmente distinto. O limbo em aproximação sofre um desvio para o azul de λ v sin i / c e o limbo em afastamento sofre um desvio idêntico para o vermelho, espalhando o perfil por toda essa extensão. 150 km/s divididos por c = 2,99792458 × 10⁵ km/s resulta em 5,00346 × 10⁻⁴, e 434,05 nm vezes isso perfaz 2,1718 × 10⁻¹ nm. Repare no que a ferramenta assumiu por si: i = 90°, vista de perfil, sin i = 1. Uma estrela vista mais próxima do polo oculta parte da sua rotação, e nenhuma medição de uma única linha consegue determinar o caso em questão.

    3. Some as duas grandezas em quadratura. O procedimento é exato para um par de gaussianas, e o núcleo de rotação não é uma gaussiana, pelo que a ferramenta utiliza uma gaussiana com a mesma meia largura 1/e e é honesta quanto aos poucos por cento de erro que isso custa. √((1,8220 × 10⁻²)² + (2,1718 × 10⁻¹)²) = 2,1794 × 10⁻¹ nm. Analise a contribuição do termo térmico: a largura combinada é 0,35% superior à obtida unicamente pela rotação.

    4. O número que um espectroscopista cita é a FWHM, e para um perfil escrito como exp(−(x/Δλ)²) esse valor corresponde a 2√(ln 2) vezes a meia largura. 1,6651 × 2,1794 × 10⁻¹ = 3,6289 × 10⁻¹ nm, impresso na linha FWHM combinada. Arraste a velocidade de rotação para zero e a mesma linha desce aos 3,0339 × 10⁻² nm, doze vezes mais estreita, o que corresponde à linha que esta estrela apresentaria se deixasse de rodar.

    5. A linha Razão de larguras térmicas mantém-se nos 7,443 independentemente das alterações à temperatura ou ao comprimento de onda, porque √(A_Fe/A_H) é tudo o que sobrevive após o resto se cancelar. Selecione agora Ferro com a rotação ainda nos 150 km/s. A largura térmica do ferro é de facto 7,443 vezes mais estreita, 2,4479 × 10⁻³ nm, e a sua largura combinada é de 2,1719 × 10⁻¹ nm contra os 2,1794 × 10⁻¹ do hidrogénio. Temos dois átomos com uma diferença de massa de 55 vezes, e as linhas que iria efetivamente medir diferem num terço de um por cento.

    6. Converta a largura térmica de volta para unidades de velocidade de forma a identificar onde se encontra o ponto de cruzamento. Δλ_th/λ é v_th/c com v_th = √(2kT/(Au)), o que para o hidrogénio a 9600 K equivale a 12,58 km/s. A superfície da estrela desloca-se 11,92 vezes mais depressa do que os seus próprios átomos ao longo da linha de visão. Abaixo de cerca de 12,6 km/s o termo térmico domina e a largura continua a medir a temperatura; acima disso, a rotação assume o controlo e prevalece.

    Resposta

    A linha mede 3,6289 × 10⁻¹ nm à meia altura. Introduza essa largura na fórmula térmica assumindo ausência de rotação e obterá 1,37 × 10⁶ K, porque a temperatura encontra-se sob uma raiz quadrada na largura e, como tal, sai da equação elevada ao quadrado: (2,1794 × 10⁻¹ / 1,8220 × 10⁻²)² = 143,1, e 143,1 × 9600 K dita o resultado final. O controlo deslizante de temperatura para nos 50 000 K, vinte e sete vezes antes. O que salva uma medição real é o facto de os dois mecanismos deixarem perfis distintos, uma gaussiana contra uma mancha quase elíptica, permitindo a um bom ajuste separá-los onde uma única largura nunca o conseguirá fazer.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.