Calculadora de efeito Doppler astronômico

Insira os valores espectrais de repouso e observados para estimar z e comparar a velocidade clássica com a relativística.

Exemplo resolvido — Calculadora de efeito Doppler astronômico

651.66 nm	664.62 nm
Velocidade relativística	1694.501 km/s
Diferença entre modelos	0.2842%
Desvio para o vermelho z	0.00566831

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Com grande desvio para o vermelho, o atalho v = zc devolve três vezes a velocidade da luz 🖖

A ferramenta mostra a velocidade relativista e a clássica v = zc lado a lado, e a diferença entre as duas é o ponto todo. Nas duas predefinições de hidrogénio z vale cerca de 0,006 e ambas coincidem no dígito, portanto o atalho é inofensivo. Carregue então a predefinição quasar: Lyman-α passou de 121,567 nm para 486,268 nm, exatamente quatro vezes o seu comprimento de onda em repouso, logo z = 3. Agora v = zc dá 3c — três vezes a velocidade da luz — enquanto o β relativista = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) dá 0,882c. O atalho exagera a velocidade em 240 % e parte a física ao fazê-lo.

O que um desvio para o vermelho realmente mede 🖖

Uma linha espectral é uma impressão digital fixa: em repouso, o hidrogênio sempre emite a 656.28 nm. Veja onde essa linha realmente aparece: se desliza para um comprimento de onda maior (mais vermelho), a fonte se afasta; menor (mais azul), aproxima-se. O desvio para o vermelho z é simplesmente o estiramento relativo. Ver H-alfa a 660 nm em vez de 656.28 nm dá z ≈ 0.0057, uma velocidade de recessão de cerca de 1700 km/s.

O desvio para o vermelho passa de 100% sem romper c 🖖

Carregue a predefinição do quasar: Lyman-alfa passa de 121.567 nm para 486.268 nm, então z = 3 e a linha quadruplica (1 + z = 4). O ingênuo v = zc afirmaria três vezes a velocidade da luz — impossível. A fórmula relativística β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) dá, em vez disso, 15/17 ≈ 0.88, abaixo de c. Por maior que z fique, β nunca atinge 1.

Problema resolvido na íntegra

Velocidade de recessão quando a linha hidrogénio-alfa de uma galáxia se situa a 660,00 nm 6 passos
A linha H-alfa de uma galáxia situa-se em 660,00 nm em vez de 656,28 nm. Determine a sua velocidade de recessão de forma rigorosa e estabeleça se a fórmula escolar v = cz é suficientemente boa neste caso — e onde deixa de o ser.
1. O desvio para o vermelho é definido como a variação relativa do comprimento de onda, e é a única grandeza medida nesta página. Tudo o que se segue são operações aritméticas sobre esse valor.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{660.00 - 656.28}{656.28} = 0.00566831$
2. A fórmula do efeito Doppler relativístico para uma fonte a afastar-se diretamente combina o desvio clássico com a dilatação do tempo. Invertendo-a em ordem a β — elevar ambos os membros ao quadrado reduz o isolamento da variável a uma única linha.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1}$
3. Substitua. O numerador é essencialmente 2z e o denominador é essencialmente 2, razão pela qual a resposta está tão próxima de z para pequenos desvios para o vermelho, e pela qual essa concordância tem de se romper assim que z² deixa de ser desprezável.
  
  $(1 + z)^{2} = 1.01136877, β = \frac{0.01136877}{2.01136877} = 0.0056522$
4. Multiplique por c de ambas as formas e compare. A diferença de 4,8 km/s é muito menor do que a velocidade peculiar de uma galáxia num aglomerado, pelo que, para este desvio para o vermelho, a escolha da fórmula não constitui o erro limitante.
  
  $v_{rel} = β c = 1694.501 km/s; v_{class} = z c = 1699.317 km/s; Δ = 0.2842%$
5. Aumentando o valor de z, as duas expressões divergem. A expressão clássica não tem limite superior; a relativística traz β → 1 incorporado na sua álgebra.
  
  $z = 0.1 \Rightarrow β = 0.09502 (classical is 5.24% high); z = 1 \Rightarrow β = 0.600 (classical gives c)$
6. Mais um passo converte a velocidade numa distância. A lei de Hubble com H₀ = 70 km/s/Mpc situa esta galáxia a cerca de 24 Mpc de distância — muito para além do Grupo Local, uma distância que nenhum outro elemento da medição poderia ter fornecido.
  
  $d = \frac{v}{H _{0}} = \frac{1694.5}{70} = 24.2 Mpc \approx 79 million light years$
Resposta

1694,501 km/s, contra 1699,317 km/s a partir de v = cz — uma sobreestimativa de 0,28%. Para este desvio para o vermelho, o atalho é inofensivo. Permanece inofensivo durante algum tempo e depois falha abruptamente: para z = 0,1 fica 5,2% acima, e para z = 1 devolve exatamente c, o que não é um erro grande, mas uma resposta impossível. A forma relativística não pode fazer isso, porque β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) aproxima-se de 1 por baixo, independentemente de quão grande z se torne. Forneça-se-lhe z = 5 e devolve 0,946c; forneça-se ao atalho z = 5 e devolve cinco vezes a velocidade da luz.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} \Rightarrow v = 1694.501 km/s$

Referências (1)

The relativistic treatment this tool uses rather than the classical shortcut — the Doppler section is §7: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322, 891–921, 1905.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-06

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Problemas de exemplo

H-alfa afastando-se - O deslocamento da linha H-alfa para comprimentos de onda maiores indica afastamento (desvio para o vermelho).
H-alfa aproximando-se - Um comprimento de onda observado mais curto indica aproximação (desvio para o azul).
Fonte de rádio de 21 cm - Uma frequência de 21 cm observada mais baixa corresponde a um desvio para o vermelho positivo.
Quasar de z alto - Caso de z grande, em que a correção relativística de velocidade se torna essencial.