Semiamplitude de Velocidade Radial

Use a relação de semiamplitude de VR para estimar a detectabilidade ou obter m sin(i) a partir da oscilação Doppler observada.

Exemplo resolvido — Semiamplitude de Velocidade Radial

Semiamplitude de VR K	0.2968 m/s
Massa mínima m sin(i)	1 Massas terrestres (0.00315 Massas jovianas)
Oscilação de VR pico a pico	0.5936 m/s
sin(i)	1
Raio orbital da estrela	40.814 km

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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A velocidade radial só consegue dar uma massa mínima 🖖

A oscilação informa o movimento da estrela ao longo da nossa linha de visada, e nada sobre o movimento atravessando-a. Então o que sai da medição não é a massa do planeta, mas m sin i, onde i é uma inclinação orbital que ninguém consegue ler nos mesmos dados. Vista de perfil, com i = 90°, o valor é a massa verdadeira. A 30° o planeta real é duas vezes mais pesado que o relatado; a 10° é 5,8 vezes; a 5° é 11,5 vezes. Um sinal anunciado como do tamanho de Netuno pode portanto ser uma anã marrom vista quase de frente, e a velocidade radial sozinha nunca poderá excluir isso. É exatamente por isso que um trânsito — que só acontece se a órbita estiver quase de perfil, fixando i — transforma uma massa mínima numa real.

Como a oscilação de uma estrela revela um planeta oculto 🖖

Um planeta não orbita simplesmente a sua estrela: ambos os corpos giram em torno do centro de massa comum, de modo que a estrela também traça um pequeno laço. Ao aproximar-se de nós, a sua luz sofre desvio para o azul; ao afastar-se, para o vermelho. K é a velocidade máxima dessa oscilação na linha de visão. Júpiter faz o Sol oscilar a cerca de 12.5 m/s, o ritmo de um ciclista veloz; a Terra, apenas 0.09 m/s.

A oscilação não enfraquece com a distância 🖖

Quase todo sinal astronômico enfraquece com a distância: o brilho cai com o quadrado dela. A semiamplitude de velocidade radial K não: está gravada na própria órbita, de modo que uma estrela a 10 ou 1000 parsecs oscila exatamente à mesma velocidade. A distância só limita quantos fótons se pode reunir para o espectro. Instrumentos como o ESPRESSO já alcançam cerca de 10 cm/s, detectando uma estrela que se desloca mais devagar que um humano a passear, a trilhões de quilômetros de distância.

Problema resolvido na íntegra

Oscilação estelar a 0,2968 m/s de um planeta de massa terrestre numa órbita de 10 dias 5 passos
Um planeta com a massa da Terra numa órbita de 10 dias faz a sua estrela oscilar a 0,2968 m/s. Isso é o ritmo de uma caminhada. Calcule a distância que a estrela realmente percorre — e por que razão os Júpiteres quentes foram descobertos primeiro.
1. Ambos os corpos orbitam o seu centro de massa comum, pelo que a estrela descreve uma pequena elipse própria. A semiamplitude K é a velocidade desse movimento projetada na nossa linha de visão, que é tudo o que um espetrógrafo consegue medir.
  
  $K = (\frac{2 π G}{P})^{1/3} \frac{m _{p} sin i}{( M _{⋆} + m _{p} ) ^{2/3}} \cdot \frac{1}{1 - e ^{2}}$
2. Tudo na fórmula é conhecido aqui, exceto o planeta: uma estrela com a massa do Sol, uma órbita circular vista de perfil e uma massa terrestre a dez dias.
  
  $P = 10 d, m_{p} = 1 M_{\oplus}, M_{⋆} = 1 M_{⊙}, i = 9 0^{\circ}, e = 0$
3. O resultado é 0,2968 m/s. Um espetrógrafo deve, portanto, resolver um desvio Doppler de uma parte em mil milhões — razão pela qual a área dependeu da estabilidade dos instrumentos e não do tamanho dos telescópios.
  
  $K = 0.2968 m/s ⟹ peak-to-peak = 0.5936 m/s$
4. A órbita da estrela é ainda menor, e calculá-la oferece outro caminho para chegar à mesma velocidade. Pela terceira lei de Kepler, um período de dez dias em torno de uma massa solar corresponde a uma órbita planetária de 1,359 × 10¹⁰ m. A órbita da própria estrela é menor na razão entre as massas, uma parte em 333 000: 40,8 km, um círculo que se poderia atravessar de carro, descrito por um astro com 1,4 milhões de quilómetros de diâmetro. Uma volta em dez dias dá 0,2968 m/s, a semi-amplitude obtida sem recorrer à fórmula combinada.
  
  $a_{⋆} = a \frac{m _{p}}{M _{⋆} + m _{p}} = 40.814 km$
5. As relações de escala explicam a ordem de descoberta. K diminui apenas com a raiz cúbica do período, pelo que o mesmo planeta a um ano de distância ainda produz 0,0895 m/s — mas K aumenta em proporção direta com a massa, pelo que um Júpiter a três dias produz 141 m/s.
  
  $K \propto P^{- 1/3} : P = 365 d \Rightarrow 0.0895 m/s; 318 M_{\oplus} at 3 d \Rightarrow 141 m/s$
Resposta

A ferramenta apresenta K = 0,2968 m/s, uma variação pico a pico de 0,5936 e um raio da órbita estelar de 40,814 km. A razão entre estes valores sintetiza toda a história desta área: um Júpiter quente produz cerca de 475 vezes o sinal desta Terra e aproximadamente 1600 vezes o de uma Terra a um ano de distância. É por isso que os primeiros exoplanetas descobertos foram planetas de grande massa em órbitas curtas — não por serem comuns, mas por serem os únicos que os instrumentos de 1995 conseguiam detetar. Ajuste o período para 365 dias e observe K a descer para os 0,0895 m/s que a Terra real produz.

$K \propto \frac{m _{p}}{M _{⋆}^{2/3}} P^{- 1/3} : Earth moves the Sun 0.3 m/s$

Referências (1)

The measurement this tool models, and the m·sin i limit it carries: M. Mayor and D. Queloz, "A Jupiter-mass companion to a solar-type star." Nature 378, 355–359, 1995 — 51 Pegasi b, found by exactly this wobble.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-05

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Problemas de exemplo

Análogo Terra-Sol - Um planeta com a massa da Terra, numa órbita de um ano, faz o Sol mover-se a 0,0894 m/s: menos de 10 cm/s, mesmo no limite do ESPRESSO. É a deteção mais difícil desta página.
Júpiter quente - Um planeta com a massa de Júpiter, numa órbita de três dias, produz 140,7 m/s, cerca de 1 570 vezes o sinal do sistema Terra-Sol. Os primeiros exoplanetas descobertos foram Júpiteres quentes porque têm períodos curtos e massas elevadas.
Mini-Netuno - 17 massas terrestres, numa órbita de 12 dias em torno de uma estrela com 0,8 massas solares: 5,5 m/s. É sessenta vezes o sinal do sistema Terra-Sol e vinte e cinco vezes menor do que o do Júpiter quente, um valor realista num levantamento observacional.
Deduzir a partir de K medido - O modo inverso devolve m sen i, nunca m. Incline a mesma órbita para 30° e a massa real do planeta será o dobro do valor indicado; a 5°, será 11,5 vezes maior.