Calculadora de Desvio para o Vermelho Cosmológico

Estique um fóton através do universo em expansão. Defina z, escolha um comprimento de onda emitido e veja o espectro se deslocar.

Exemplo resolvido — Calculadora de Desvio para o Vermelho Cosmológico

Definição do desvio para o vermelho	0.1000
Comprimento de onda observado	721.6 nm
Velocidade de recessão	28487 km/s (9.50% of c)
Fator de escala a	0.9091

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Três horizontes diferentes, e só num deles v = c 🖖

O desvio para o vermelho cosmológico é muitas vezes descrito como efeito Doppler, mas é mais subtil. Uma galáxia não se move pelo espaço — o espaço entre nós e ela se estica, e o comprimento de onda do fóton cresce em proporção ao fator de escala a(t). Em z baixo a distinção é acadêmica, já que as duas imagens dão v ≈ H₀d. Passado z ≈ 1,5 a velocidade de recessão excede c, o que é impossível para movimento pelo espaço e nada notável para o espaço em si: o limite de velocidade da relatividade rege o deslocamento pelo espaço-tempo, não a sua expansão. Três distâncias distintas se confundem aqui. A recessão alcança c no raio de Hubble, c/H₀ ≈ 14,5 bilhões de anos-luz — e observamos rotineiramente galáxias muito além dele, a prova mais simples de que recessão superluminal não esconde nada. O que não conseguimos ver além é o horizonte de partículas, a cerca de 46 bilhões de anos-luz, a distância que a luz teve tempo de percorrer. E o que é permanentemente inalcançável é fixado por uma terceira superfície, o horizonte de eventos, perto de 16 bilhões de anos-luz: a luz que hoje deixa uma galáxia além dele nunca chegará.

O que o desvio para o vermelho realmente mede 🖖

A luz de uma galáxia distante chega com seus comprimentos de onda esticados para o vermelho. Divida o comprimento de onda observado pelo emitido, subtraia 1 e você tem z. Quanto maior o z, mais tempo a luz viajou — então z é ao mesmo tempo o relógio e a régua do cosmos. Em z = 1, a luz deixou sua galáxia há cerca de 8 bilhões de anos, quando o universo tinha metade do tamanho atual (fator de escala a = 1/(1+z) = 0.5).

O desvio para o vermelho também estica o tempo 🖖

A expansão estica cada comprimento de onda por um fator (1+z) — mas estica a duração dos eventos pelo mesmo fator. Uma supernova do tipo Ia em z = 1 é observada brilhando e desvanecendo ao longo do dobro de dias que uma idêntica próxima. Foi exatamente esse esticamento que se mediu, descartando a velha ideia da 'luz cansada': só uma expansão real atrasa o relógio além de avermelhar a luz.

Problema resolvido na íntegra

Velocidade de recessão quando a linha Hα do hidrogénio chega a 721,6 nm 5 passos
A linha Hα do hidrogénio sai de uma galáxia a 656 nm e chega a 721,6 nm. Determine a velocidade de recessão. A fórmula óbvia erra por cerca de 1500 km/s aqui, e a desvios para o vermelho mais elevados falha por completo.
1. O desvio para o vermelho é definido como o alongamento fracionário do comprimento de onda, pelo que é lido diretamente a partir dos dois números. z = 0,1: a luz chegou 10% mais vermelha do que partiu.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{721.6 - 656}{656} = 0.1000$
2. A fórmula a que quase toda a gente recorre é v = cz, herdada do efeito Doppler a baixas velocidades. Resulta em 29 979 km/s, um décimo da velocidade da luz.
  
  $v_{naive} = cz = 0.1 \times 299792 = 29979 km/s$
3. Mas um décimo da velocidade da luz não é uma velocidade baixa. A relação Doppler relativística associa 1 + z a uma raiz quadrada de (1 + β)/(1 − β); resolver em ordem a β exige uma linha de álgebra e dá 0,09502, e não 0,1.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} = \frac{0.21}{2.21} = 0.09502$
4. Isso dá 28 487 km/s. O valor ingénuo sobreestima-a em 5,2% — aproximadamente 1500 km/s, o que é maior do que as diferenças de velocidade sobre as quais os astrónomos discutem habitualmente.
  
  $v = 0.09502 c = 28487 km/s (\frac{29 979}{28 487} = 1.052)$
5. Leve z a 1 e a discrepância deixa de ser uma mera correção. v = cz resulta exatamente em c; a fórmula relativística devolve três quintos desse valor.
  
  $a = \frac{1}{1 + z} = 0.9091; z = 1 : v_{naive} = c, β = \frac{3}{5} = 0.600$
Resposta

A ferramenta mostra 721,6 nm, 28 487 km/s e 9,50% de c, com um fator de escala de 0,9091 — o universo tinha 91% do seu tamanho atual quando essa luz partiu. A ideia a reter é o passo 5: a z = 1 o atalho devolve exatamente a velocidade da luz, enquanto a resposta é 0,600c. Clique na predefinição de campo profundo e verifique. As galáxias são catalogadas a z = 7 e além, onde cz lhe daria sete vezes a velocidade da luz — o que não é um paradoxo sobre a relatividade, mas sim uma fórmula a ser utilizada muito fora do regime em que foi deduzida.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} : z = 0.1 \Rightarrow 0.0950 c, z = 1 \Rightarrow 0.600 c (not c)$

Referências (2)

The distinction between the three horizons the first block separates: T. M. Davis and C. H. Lineweaver, "Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe." Publications of the Astronomical Society of Australia 21(1), 97–109, 2004.
The H₀ value the Hubble radius is computed from: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.