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Regressão à média

Cada pessoa tem uma competência real estável, à qual cada resultado acrescenta alguma sorte. Escolha quanto da dispersão se deve à competência e quanto se deve à sorte, selecione um grupo com base num resultado e veja como se sai no seguinte. A página calcula a alteração esperada exata e mostra-a numa população simulada. A tabela sob o gráfico apresenta os cálculos.

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Lição

A teoria — Regressão à média

Quando uma medição é a soma da competência real e de sorte independente, duas medições das mesmas pessoas têm correlação r = σS² ÷ (σS² + σL²), a proporção da variância devida à competência. Para um grupo selecionado por ter resultados extremos numa medição, espera-se o resultado μ + r(x̄ − μ) na outra: a distância à média multiplicada por r. É a regressão à média. Não exige uma causa, funciona nos dois sentidos e não implica que a dispersão da população diminua. Aqui, permanece igual.

O que significa cada símbolo

r
a correlação entre duas medições, igual à proporção da variância devida à competência. 1 significa ausência de sorte; 0, apenas sorte
σ_S
a dispersão da competência real na população
σ_L
a dispersão da sorte numa única medição
μ
a média da população, para a qual o grupo regride
λ
a razão inversa de Mills: a média do grupo selecionado fica λ desvios-padrão acima de μ, pelo que, num grupo superior, é μ + σλ

Os melhores pioram na vez seguinte sem ninguém ter piorado 🖖

Prima Top 10%, r = 0,5. Quem obteve os resultados mais altos na primeira vez tem uma média de 124,8; na segunda, espera-se uma média de 112,4. Ninguém perdeu competência. Em média, os 10% melhores eram mais competentes e também mais afortunados do que os restantes. Na segunda sessão, a competência mantém-se, mas a sorte é novamente sorteada. O segundo resultado esperado é μ + r(x̄ − μ): com r = 0,5, conserva-se metade da distância à média. Prima Fiabilidade perfeita: não há sorte a perder e nada se desloca. Com Pura sorte, não há competência a conservar e o grupo regressa por completo a 100.

Um tratamento ineficaz resulta com os piores 🖖

Prima Piores 10% tratados. As pessoas com resultados mais baixos recebem um tratamento cujo efeito está fixado exatamente em zero; na sessão seguinte, melhoraram 12,4 pontos. Um explicador, um remédio ou um novo gestor, quando destinado a quem teve o pior desempenho da última vez, parecerá mais eficaz do que realmente é, por uma margem semelhante, se não houver um grupo de comparação. Daniel Kahneman conta que alguns instrutores de voo estavam convencidos de que gritar com um cadete depois de uma má aterragem resultava e de que elogiá-lo depois de uma boa aterragem tinha o efeito contrário. Em ambos os casos, os resultados estavam apenas a regressar à média. Prima Com grupo de controlo. Metade dos piores recebe o tratamento e a outra metade não; ambos os grupos melhoram cerca de 12 pontos. Espera-se que a única medida rigorosa do efeito do tratamento, a diferença entre os dois grupos, seja zero.

Funciona para trás no tempo sem ninguém convergir 🖖

Prima Alturas: pais e filhos: os 10% de pais mais altos medem em média 187,4 cm; espera-se que os filhos meçam em média 181,2. Francis Galton publicou este resultado em 1886, a partir das alturas de pais e filhos adultos, e chamou-lhe regressão para a mediocridade. Prima agora Alturas, ao contrário: selecione antes os filhos mais altos. Neste modelo, em que as duas gerações têm a mesma dispersão, espera-se que os pais sejam mais baixos do que os filhos pela mesma diferença. Não há, portanto, uma força que puxe as pessoas para a média ao longo do tempo. A dispersão também não diminui: a tabela apresenta praticamente a mesma dispersão nas duas medições, 7,09 e 7,10 cm. Em cada medição surgem pessoas extremas diferentes, porque a sorte favorece pessoas diferentes.

Problema resolvido na íntegra

  1. Quanto descem os 10% melhores 5 passos

    As classificações de um teste têm média 100. A dispersão da competência real é 10 e a dispersão da sorte numa sessão também é 10. Os 10% melhores da primeira sessão voltam a fazer o teste. Determine a média na primeira sessão e a média esperada na segunda. Prima Top 10%, r = 0,5 para conferir.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. A correlação entre sessões é a proporção da variância devida à competência, e a dispersão total obtém-se assim:

    2. Os 10% melhores começam no percentil 90, a 1,2816 desvios-padrão acima da média:

    3. A média de todos os que ficam acima desse limiar, calculada a partir da altura e da cauda da curva normal nesse ponto:

    4. Na segunda sessão, a média esperada conserva apenas a fração r da distância a μ:

    5. Espera-se, portanto, que a média do grupo desça:

    Resposta

    Os 10% melhores obtêm uma média de 124,8 na primeira vez; na segunda, espera-se uma média de 112,4. É uma descida de 12,4 pontos, sem qualquer alteração na competência. Estima-se que a competência real média do grupo seja sempre 112,4. A segunda sessão já não está enviesada pela sorte que levou à seleção inicial, pois essa sorte não volta a ser selecionada.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.