Sandbox de causalidade

Gere dados sintéticos a partir de diferentes estruturas causais e observe como a correlação e a inclinação mudam.

Exemplo resolvido — Sandbox de causalidade

r(X,Y)	−0.8871
Inclinação Y~X	−0.8077
r(X,Z)	0.9452
r(Y,Z)	−0.9315

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

por que grafos causais superam tabelas de correlação 🖖

Uma correlação mostra que duas variáveis se movem juntas — não por quê. O mesmo número pode surgir de três estruturas fundamentalmente diferentes:

Causa direta (X → Y): remover X muda Y.
Fator de confusão (Z → X, Z → Y): Z causa ambos; X e Y são correlacionados, mas nenhum causa o outro. Controlar por Z elimina a correlação.
Colisor (X → Z ← Y): X e Y são independentes, mas se você selecionar ou condicionar sobre Z, cria um vínculo espúrio entre eles.

O grafo acíclico dirigido (DAG) no gráfico codifica quais variáveis são causas e quais são efeitos. Sem ele, não é possível distinguir esses casos a partir de um único coeficiente de correlação — por isso a inferência causal sempre começa com um modelo estrutural, não com uma matriz de correlação.

correlação é ver, causalidade é agir 🖖

Tudo depende aqui da diferença entre observar uma variável e alterá-la. Tanto os fatores de confusão como os colisores induzem em erro, pois os dados observados já foram moldados por um processo oculto. Uma experiência aleatorizada permite ultrapassar este problema: atribuir X por lançamento de moeda corta todas as setas que apontam para X, pelo que qualquer correlação com Y que persista terá de ser causal. É por isso que um ensaio controlado pode resolver uma questão que nenhum volume de dados observacionais conseguiria esclarecer.

o paradoxo das admissões de Berkeley 🖖

O cenário de Simpson não é brincadeira. Em 1973, as admissões de pós-graduação da UC Berkeley mostraram cerca de 44% dos homens admitidos contra 35% das mulheres, sugerindo viés. No entanto, departamento por departamento, as mulheres eram admitidas a taxas ligeiramente maiores — elas simplesmente haviam se candidatado em número muito maior aos departamentos mais concorridos. Agregar entre os departamentos inverteu a tendência interna de cada grupo, exatamente a reversão que a linha tracejada traça nesta ferramenta.

Problema resolvido na íntegra

Correlação de −0,8871 em 400 pontos com Z fixo 6 passos
X e Y apresentam uma correlação de −0,8871 em 400 pontos. Calcule quanto dessa relação se mantém ao fixar Z, e expresse o nível de confiança permitido para cada número.
1. Três correlações, todas medidas a partir dos mesmos 400 pontos. Tudo o que se segue é aritmética sobre estes três números — não é necessário qualquer outro acesso aos dados, o que é a parte útil.
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. A correlação parcial procura saber o que resta de X–Y depois de subtraída a parte de cada um que Z explica. A fórmula é a correlação dos dois resíduos, expressa em termos das correlações brutas.
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. O numerador é onde a resposta se decide. O efeito de Z sobre X multiplicado pelo efeito de Z sobre Y justifica 0,8805 dos 0,8871 observados — a correlação é uma sombra, não um sinal.
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. O denominador apenas reescala. Note-se que é construído a partir da variância não explicada por Z, razão pela qual um Z que explique quase tudo torna a estimativa instável.
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1323 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. Adicione agora uma barra de erro a ambos. A transformação de Fisher converte uma correlação em algo aproximadamente normal, e a multiplicação por √(n−3) revela a distância até zero em erros padrão — ou √(n−4) para a parcial, que consumiu um grau de liberdade com Z.
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 - k : r = - 0.8871 (k = 0) \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 (k = 1) \Rightarrow z = - 1.10$
6. Para uma verificação rápida, o erro padrão de r próximo de zero é 1/√(n−3). Sendo 0,050, a correlação parcial de −0,055 encontra-se a pouco mais de um erro padrão de distância.
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
Resposta

Praticamente nada se mantém: −0,0553. Ao converter ambos para o z de Fisher, a correlação bruta afasta-se 28 erros padrão de zero, enquanto a parcial fica a 1,1 — a exata diferença entre o dado mais seguro da amostra e um resultado que o puro acaso geraria uma em cada quatro vezes. O cálculo traz consigo dois alertas. O numerador é a diferença de dois números quase idênticos, 0,8871 contra 0,8805. Logo, os quatro algarismos fornecidos rendem apenas dois na resposta. Além disso, a aritmética não consegue revelar se Z atua como fator de confusão em vez de mediador; essa conclusão exige saber o que Z é. Condicionar a análise a um mediador aniquila um efeito real com a mesma força com que condicionar a um fator de confusão aniquila um falso.

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

Referências (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.