Teste t de Student

Realize testes de hipóteses para determinar se as médias diferem significativamente.

Exemplo resolvido — Teste t de Student

Estatística t	4.1079
Graus de liberdade	29
valor-p	0.0002982

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

o que p < 0,05 realmente significa 🖖

O valor-p é a probabilidade de observar uma estatística de teste pelo menos tão extrema quanto a sua, assumindo que H₀ é verdadeira. NÃO é a probabilidade de H₀ ser verdadeira. Um valor-p de 0,03 significa: se a hipótese nula fosse verdadeira, você veria um resultado tão extremo apenas 3% das vezes por acaso — incomum o suficiente para rejeitá-la. Mas uma significância de 5% significa que 1 em cada 20 testes rejeitará uma hipótese nula verdadeira por puro acaso (erro tipo I). Um α menor é mais rigoroso, mas aumenta os erros tipo II (não detectar efeitos reais). O gráfico mostra isso diretamente: se a linha vermelha estiver além do limiar âmbar, então p < α.

Uma relação sinal-ruído para as médias 🖖

No fundo, a estatística t não passa de uma relação sinal-ruído: a diferença entre as médias dos grupos (o sinal) dividida pelo erro padrão (o ruído da amostragem aleatória). Um t grande indica que a diferença se destaca da dispersão; um t pequeno poderia facilmente ser acaso. A lição prática: a mesma diferença de médias torna-se mais convincente quanto maiores forem as amostras ou menor a sua dispersão, pois isso reduz o ruído no denominador.

Os graus de liberdade de Welch não são inteiros 🖖

Seria de esperar que os graus de liberdade fossem um inteiro limpo — o número de peças de informação independentes. Mas o teste t de Welch usa a fórmula de Welch-Satterthwaite, que costuma devolver um valor fracionário como df = 17.4. É uma aproximação deliberada: quando as variâncias são desiguais, não existe um df inteiro exato, então o método interpola para se ajustar o mais possível à distribuição real. Por isso o df de Welch costuma diferir do clássico n₁ + n₂ − 2.

O TESTE t — QUAL DESENHO, E O QUE O VEREDITO DIZ DE FATO?

Em que caso do teste t você está?

Aqui tudo é decidido por duas perguntas. Primeiro o desenho: você compara um grupo com um valor afirmado, ou dois grupos entre si? Isso fixa a fórmula e os graus de liberdade. Depois a leitura: um p pequeno rejeita a hipótese nula, mas um p grande não a prova — na maioria das vezes só indica que a amostra era pequena demais para distinguir. Os dois enganos são mais comuns do que erros de conta.

Uma amostra contra um valor afirmado — a evidência passa da barra t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)

Uma diferença menor — sem veredito, o que não é o mesmo que sem efeito p > α ⇏ H₀

Dois grupos independentes — Welch, sem supor variâncias iguais SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)

A mesma comparação, sem poder — uma diferença que a amostra não resolve 1 − β ∝ δ√n/s

Uma amostra contra um valor afirmado — a evidência passa da barra

O que você sabe: Um grupo de medidas e um número com que confrontá-las. A estatística é t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) com n − 1 graus de liberdade.

Estatística: t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)

Exemplo resolvido: x̄ = 78 contra μ₀ = 72 com s = 8 e n = 30 → SE = 1,461, t = 4,108, df = 29, p = 0,0003

Abrir este caso: Exame (rejeita H₀)

Uma amostra contra um valor afirmado — a evidência passa da barra. O t observado cai bem fora dos valores críticos, no fundo da região de rejeição sombreada. Um grupo de medidas e um número com que confrontá-las. A estatística é t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) com n − 1 graus de liberdade. — O t observado cai bem fora dos valores críticos, no fundo da região de rejeição sombreada.

Uma diferença menor — sem veredito, o que não é o mesmo que sem efeito

O que você sabe: Mesmo desenho e mesmo n, mas a diferença é pequena diante do ruído. O p fica acima de α, então a nula não é rejeitada.

Estatística: p > α ⇏ H₀

Exemplo resolvido: x̄ = 73 contra μ₀ = 72 com s = 8 e n = 30 → t = 0,685, p = 0,499

Abrir este caso: Exame (não rejeita)

Uma diferença menor — sem veredito, o que não é o mesmo que sem efeito. O t observado fica entre os valores críticos, na faixa em que o teste não consegue decidir nada. Mesmo desenho e mesmo n, mas a diferença é pequena diante do ruído. O p fica acima de α, então a nula não é rejeitada. — O t observado fica entre os valores críticos, na faixa em que o teste não consegue decidir nada.

Dois grupos independentes — Welch, sem supor variâncias iguais

O que você sabe: Duas amostras separadas, cada uma com sua média, sua dispersão e seu tamanho. SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂), e os graus de liberdade saem fracionários.

Estatística: SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)

Exemplo resolvido: 82 ± 10 em 40 sujeitos contra 75 ± 12 em 38 → SE = 2,508, t = 2,791, df = 72,1, p = 0,0067

Abrir este caso: Ensaio clínico (sig.)

Dois grupos independentes — Welch, sem supor variâncias iguais. Duas dispersões, dois tamanhos de amostra e um df que não é inteiro — a assinatura de Welch. Duas amostras separadas, cada uma com sua média, sua dispersão e seu tamanho. SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂), e os graus de liberdade saem fracionários. — Duas dispersões, dois tamanhos de amostra e um df que não é inteiro — a assinatura de Welch.

A mesma comparação, sem poder — uma diferença que a amostra não resolve

O que você sabe: De novo dois grupos, mas menores e mais próximos um do outro. O resultado não se distingue do ruído.

Estatística: 1 − β ∝ δ√n/s

Exemplo resolvido: 77 ± 11 em 25 sujeitos contra 75 ± 12 em 28 → SE = 3,160, t = 0,633, df = 51,0, p = 0,530

Abrir este caso: Ensaio clínico (não sig.)

A mesma comparação, sem poder — uma diferença que a amostra não resolve. O t observado fica quase no centro da distribuição, onde mora quase toda a probabilidade. De novo dois grupos, mas menores e mais próximos um do outro. O resultado não se distingue do ruído. — O t observado fica quase no centro da distribuição, onde mora quase toda a probabilidade.

Problema resolvido na íntegra

Uma amostra de 30 com pontuação de 78 onde a média populacional é 72 5 passos
Uma amostra de 30 obtém uma média de 78 quando a média populacional alegada é 72, com s = 8. Execute o teste — e, em seguida, responda à pergunta a que o p-valor não responde.
1. Uma única média é uma estimativa ruidosa, e o seu ruído é o erro padrão — a dispersão da amostra dividida pela raiz do tamanho da amostra. Amostras maiores não tornam os indivíduos menos variáveis; tornam a média menos variável.
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{8}{30} = 1.4606$
2. A estatística t pergunta quantos erros padrão separam o que observou do que foi alegado. É uma distância medida em unidades da sua própria incerteza.
  
  $t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{SE} = \frac{78 - 72}{1.4606} = 4.1079$
3. Os graus de liberdade são um a menos do que o tamanho da amostra, porque a média amostral já foi gasta a estimar o centro. A calculadora acima exibe tanto este valor como a estatística.
  
  $df = n - 1 = 29$
4. O p-valor é a probabilidade de um |t| tão grande se a alegação fosse verdadeira. A ferramenta exibe 0.0002982 — cerca de 3 em 10 000.
  
  $p = P (∣ T_{29} ∣ > 4.1079) = 0.0002982$
5. Agora a parte sobre a qual o p-valor se cala: quão grande é a diferença. O d de Cohen divide pela dispersão dos dados em vez da dispersão da média, e por isso não diminui à medida que a amostra cresce.
  
  $d = \frac{x ˉ - μ _{0}}{s} = \frac{6}{8} = 0.75$
Resposta

t = 4.1079 com 29 df, p = 0.0002982. O tamanho do efeito é d = 0.75, uma diferença verdadeiramente grande. Manter os dois separados é toda a essência da disciplina: p responde a "isto poderia ser ruído?", e pode ser tornado arbitrariamente pequeno recolhendo mais dados, porque n aparece no erro padrão. d responde a "isto importa?", e não se altera com n. Um estudo com n = 10 000 pode relatar p < 0.001 para um d de 0.02 — estatisticamente certo, praticamente nada.

$t = 4.1079, df = 29, p = 0.0002982 d = 0.75$

Percurso de aprendizagem

Quando é que uma diferença é real?

Conduz a ANOVA

Referências (1)

The paper that introduced the distribution, published under a pseudonym: "Student" (W. S. Gosset), "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1–25, 1908.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-27

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Estatística e Finanças →

Problemas de exemplo

Exame (rejeita H₀) - Uma turma com média de 78 contra um alvo de 72, dispersão de 8, trinta alunos: t = 4,1079 e p = 0,0002982. A diferença é de seis pontos numa dispersão de oito, o que não é um grande efeito, mas revela-se decisivo de qualquer modo — a significância é definida pelo erro padrão de 1,4606, não pela dimensão da diferença.
Exame (não rejeita) - Mude a média da turma de 78 para 73 e não altere mais nada: a mesma dispersão, os mesmos trinta alunos. O p passa de três em dez mil para 0,499. Metade de todas as turmas provenientes de uma população com uma verdadeira média de 72 ficaria pelo menos a esta distância. Não rejeitar não é constatar que a diferença não existe. São os dados a recusar responder.
Ensaio clínico (sig.) - Observe os graus de liberdade: 72,137, não 76. Quarenta pacientes e trinta e oito dariam 76 com o t de Student, mas as duas dispersões divergem, 10 contra 12. A correção de Welch penaliza isso em frações de grau. Obtemos t = 2,7912 contra um valor crítico de 1,9934. Portanto, p = 0,006716 e o resultado mantém-se.
Ensaio clínico (não sig.) - O mesmo ensaio com uma diferença menor e menos pacientes: 2 pontos em vez de 7, com 25 e 28 em vez de 40 e 38. O erro padrão fica em 3,1596, um valor superior à própria diferença que tenta medir. Logo, t = 0,633 e p = 0,5296. Nada aqui diz que o medicamento não funciona. Diz apenas que o ensaio foi pequeno demais para descobrir.